1、Oyx1x2y3图 1广东省七校 2015 届高三上学期第二次（12 月）联考数学（理）试题本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必填写好答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷的相应位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每
2、小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 .1. 复数 (其中 为虚数单位)的虚部为( )34iiA B C 3i 4D i2命题“ , ”的否定是( )xRe0xA , B ,xRe0xC , D ,x 3. 设向量 , ,且 , 方向相反,则 的值是( )1a4babxA B C 202D4. 下列四个函数中,最小正周期为 ,且图象关于直线 对称的是( )1xA B C Dsin23xysin23ysin23yxi5已知三个正态分布密度函数 21eixiix( , )的图象如图 所示,则( )Rx12,3iA ,321B ,321C , 321D ,3216已知 在 上是奇函数,且满
3、足 ,当 时, ,则fxR4fxf02x2fx4434正视图 侧视图俯视图 图 2开始 1,nxa3否输出 x结束是图 321n( )7fA B C D2298987已知双曲线的中心在原点,一个焦点为 ,点 在双曲线上,且线段 的中点150FP1PF坐标为 ,则此双曲线的方程是( )0A B C D214yx24xy23xy238. 由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪.直到 1872 年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续 2000 多年的数学史上的
4、第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集 划分为两个非空的子集Q与 ,且满足 , , 中的每一个元素都小于 中的每一个MNQMNN元素,则称 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割 ,下列选项中,不 M可能成立的是( )A 没有最大元素, 有一个最小元素 B 没有最大元素, 也没有最小元素C 有一个最大元素, 有一个最小元素 D 有一个最大元素, 没有NN最小元素二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分）(一)必做题(913 题)9. 一支田径队有男运动员 人,女运动员 人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取2821位运动员进行健康检查,则男运动
5、员应抽取_人.1410.一个几何体的三视图(单位: )如图 所示,则该几何体的体积是 _ .cm3cm11.某程序框图如图 所示,该程序运行后,输出的 值为 ,则 a等于_.3112.若 ( ),记 ,则 的值为201520151xaxax R20153iS2015S_.:A BCDPO图 413.已知 为 平面内的一个区域. :点 ； :点xOyp20,36xyabq.如果 是 的充分条件,那么区域 的面积的最小值是_,abpq(二)选做题（14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系 中,已知曲线 : ( 为参xOy1
6、tyx2数)与曲线 : ( 为参数)相交于 、 两点,则线段 的长为 .2Csin3coyxAB15.(几何证明选讲选做题)如图 , 、 为 的两条割线,4PCD:若 , , , ,则 .5PA7B12三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分 12 分)设 的内角 所对边的长分别为 ,且 .ABC, abc2sin3sin2BCA() 求 的度数； () 若 , ,求 的面积 .7a5bABCABCS17.(本题满分 12 分)某中学校本课程共开设了 共 门选修课,每个学生必须且只能选修 门选修,ABCD41课,现有该校的甲、乙、
7、丙 名学生.3() 求这 名学生选修课所有选法的总数；() 求恰有 门选修课没有被这 名学生选择的概率；2() 求 选修课被这 名学生选择的人数 的分布列和数学期望.AXCC1B1AA1BD图 518.(本题满分 14 分)如图 ,三棱柱 中, , ,平面51ABC12ABC160AC平面 ,1ABC1与 相交于点 .D() 求证: 平面 ；1() 求二面角 的余弦值.1AB19.(本题满分 14 分)已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ,且 ( ).nanS24na*N() 求 的值及数列 的通项公式； 1a() 记数列 的前 项和为 ,求证: ( )；3nnT532n*20.(本题满分
8、14 分)已知两点 、 ,动点 与 、 两点连线的斜率 、 满足20A,BPABPAkB.14PABk() 求动点 的轨迹 的方程；E（） 是曲线 与 轴正半轴的交点,曲线 上是否存在两点 、 ,使得HyEMN是以 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在, 请说明有几个；若不存在,请说明MN理由.21.(本题满分 14 分)已知函数 , (其中 ).2fxa21gxaxaR() 如果函数 和 有相同的极值点,求 的值,并直接写出函数yfy的单调区间；f() 求方程 在区间 上实数解的个数.0fxg1,3参考答案与评分标准一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号 1 2 3 4
9、 5 6 7 8答案 A B C C D A A C二、填空题：本题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，共 30 分必做题9 ； 10 ； 11 ； 12 ； 13. ； 选做题14 ； 80312415.6三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.【解析】() 因为 , ,2sin3sin2BCABC所以 , 2sin3coA2 分又 ,所以 ,所以 , i0sista4 分因为 ,所以 . A36 分() 在 中, 由余弦定理可得 ,BC22cosabA8 分即 ,解得 或 (舍去) 2495c8c310 分所以 ABCS1
10、sin5102b12 分17.【解析】()每个学生有四个不同选择,根据分步计数原理,选法总数2 分 46N() 设“恰有 门选修课没有被这 名学生选择”为事件 ,则23E,即恰有 门选修课没有被这 名学生选择的概率为 .4391CAPE239165 分() 的所有可能取值为 ,且X03, ,327046123746CPXCC1B1AA1BDH第 18 题传统法图, 23946CPX 3146CPX 9 分所以 的分布列为 X0123P6427641所以 的数学期望 .9E12 分或:因为 选修课被每位学生选中的概率均为 ,没被选中的概率均为 .A1434所以 的所有可能取值为 ,且 ,X012
11、3XB:, ,37046P213746PC, 23194XC 3146PX 9 分所以 的分布列为 X0123P64276491所以 的数学期望 .3E12 分18.【解析】()依题意,侧面 是菱形, 是 的中点,因为 ,所以1ACD1AC1BAC,1BDAC又平面 平面 ,且 平面 ,平面 平面1B1111所以 平面 .5 分()传统法由()知 平面 , 面 ,所以 ,D1ACD1AC又 , ,所以 平面 ,1CAB过 作 ,垂足为 ,连结 ,则 ,DHH所以 为二面角 的平面角. 9 分1在 中, ,Rt,3,2A所以 , 12 分2AB215CD10 分10 分C1B1ACA1BDxzy
12、第 18 题向量法图所以 ,即二面角 的余弦值是 . 5cosDHC1CAB514 分向量法以 为原点,建立空间直角坐标系 如图所示, Dxyz6 分由已知可得 112, 3,6AB故 ,0,03,00DC则 ,8 分,3,B设平面 的一个法向量是 ,Cxyzn则 ,即 ,解得0An03xzy3令 ,得 11 分1z,1显然 是平面 的一个法向量, 12 分0DC1ABC所以 ,即二面角 的余弦值是 .35cos,n1CB514 分19.【解析】()当 时, ,解得 或 (舍去) 2 分1n2114aSa1210a当 时, , ,相减得 ,22nSn2114nnna4 分即 ,又 ,所以 ,则
13、 ,11nnaa0n10na1na所以 是首项为 ,公差为 的等差数列,故 226 分() 证法一:当 时, 1n314582Ta7 分当 时,2n3221188nan 10 分16所以 333121n nTaa 3312462n3 16 .11158628623n综上,对任意 ,均有 成立.*N53T14 分证法二:当 时, 1n31482a7 分当 时,先证 ,即证2n显然成立 .232440所以 10 分311183nann所以 3123nTaa 33312462n,311158832 综上,对任意 ,均有 成立.*nN532nT14 分20.【解析】()设点 的坐标为 ( ),则 ,P
14、,xy02PAykx,2 分02PBykx依题意 ,所以 ,化简得 ,41PBAk412xy12y4 分所以动点 的轨迹 的方程为 ( ).E25 分 注: 如果未说明 (或注 ),扣 1 分.x0y（）设能构成等腰直角 ,其中 为 ,HMN由题意可知,直角边 , 不可能垂直或平行于 轴,故可设 所在直线的方程xHM为 ,1kxy(不妨设 ),则 所在直线的方程0为 7 分联立方程 ,消去 整理得 ,解得 ,214ykxy21480kx2814Mkx将 代入 可得 ,故点 的坐标为28Mxk2M.28,114kM所以 ,22 2881444kkkH9 分同理可得 ,由 ,得 ,21kNHNM2
15、2kk所以 ,整理得 ,解得0423k2130或 11 分15当 斜率 时, 斜率 ；当 斜率 时, 斜率 ；HM1kN1H25kHN253当 斜率 时, 斜率 ,25323综上所述,符合条件的三角形有 个.14 分21.【解析】() ,232fxaxax则 , 234f1 分令 ,得 或 ,而二次函数 在 处有极大值,所以0fxa3gx12或 ,12a解得 或 ； 4 分当 时, 的递增区间为 , ,递减区间为 .3afx131,35 分当 时, 的递增区间为 ,递减区间为 .1f ,6 分() 21fxgxaxa21xax,21a8 分令 , ,2hxx21413aa当 即 时, 无实根,故原方程的解为 ,满足题103a0h13xa意,
