1、 第卷(共 60 分)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合 ,集合 ,则 等于( )|(1)50Mx|4NxyMNA B C D(1,4,44,)(,5)2.设复数 为纯虚数,且 ,则复数 的实部为( )z29x2(1zA -6 B C.-8 D683.下面是 2010 年 3 月安徽省芜湖楼市商品住宅板块销售对比饼状图,由图可知,戈江区 3 月销售套数为( )A350 B340 C330 D 3064.已知 ,则下列不等式成立的是( )1()2abA. B. 2lnabC. D.1ab5.若 ,则 等
2、于( )sincota390si2A. B. C. D. 234346.如图所示的五边形是由一个矩形截去一个角而得,且 , , , ,则 等1BC2DE3A4BCD于( )A B 123BE123AEC. D7.直线 与双曲线 的左支、右支分别交于 两点, 为坐标原点,且2yb21(0,)xyabAB、 O为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为( )AOBA B C. D523235358.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A 40 B48 C. 56 D929.执行如图所示的程序框图,若输入的 , ,则输出的 等于( )2x4nsA94 B 99 C. 45 D20310.飞
3、机的航线和山顶在同一个铅垂平面内,已知飞机的高度为海拔 15000 ,速度为 1000 ,飞行m/kh员先看到山顶的俯角为 ,经过 108 后又看到山顶的俯角为 ,则山顶的海拔高度为( )18s78A B (1583sinco78)km(1583sin78)kmC. D201 20111.已知抛物线 的焦点为 ,点 为 上一动点, , ,且2:(04)CypxFPC(4,0)A(,2)Bp的最小值为 ,则 等于( )|PA5|BFA 4 B C. 5 D921212.已知函数 在区间 上存在 3 个不同的 ,使得 ,则()sin3cos(0)fxx(,)0x0()1fx的取值范围为( )A B
4、 C. D523(,652(,)6319(,)2619(,26第卷(共 90 分)二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13.函数 的零点为_.()23xf14.设 满足约束条件 ,则 的最小值为_.y, 802yx2zxy15.已知四面体 的每个顶点都在球 的表面上, , , 底面 ,ABCDO5ABC8ADBC为 的重心,且直线 与底面 所成角的正切值为 ,则球 的表面积为_.GGC12O16.设函数 ,且 ,则当 时, 的导函数 的极小值()ln,0)2xaf(1)(ff0x()fx()fx为_.三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、
5、证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 12 分)已知数列 的的前 项和 .na1()2nSa(1)求数列 的通项公式;(2)求数列 的前 项和 .12nAnT18. (本小题满分 12 分)为调查了解某高等院校毕业生参加工作后,从事的工作与大学所学专业是否专业对口,该校随机调查了 80位该校 2015 年毕业的大学生,得到具体数据如下表:专业对口 专业不对口 合计男 30 10 40女 35 5 40合计 65 15 80(1)能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”?参考公式: ( ) 22()(nadbcknabcd附表:(2)求
6、这 80 位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的频率,并估计该校近 3 年毕业的 2000 名大学生中从事的工作与大学所学专业对口的人数;(3)若从工作与所学专业不对口的 15 人中选出男生甲、乙,女生丙、丁,让他们两两进行一次 10 分钟的职业交流,该校宣传部对每次交流都一一进行视频记录,然后随机选取一次交流视频上传到学校的网站,试求选取的视频恰为异性交流视频的概率.19. (本小题满分 12 分)在四棱锥 中,底面 为矩形,平面 平面 ,PABCDABPABCD, , 为线段 上一点,且 ,点 分别为线段32E:7:2EFG,的中点.、(1)求证: 平面 ;PEABCD(2)若平面 将四棱
7、锥 分成左右两部分,求这两部分的体积之比.EFGPABCD20. (本小题满分 12 分)如图,已知椭圆 的长轴长是短轴长的 2 倍,右焦点为 ,点 分别是该椭圆的上、21()xyaF,BC下顶点,点 是直线 上的一个动点(与 轴交点除外) ,直线 交椭圆于另一点 ,记直线P:lyPM, 的斜率分别为 .BM12k,(1)当直线 过点 时,求 的值;PMFPBMA(2)求 的最小值.12|k21. (本小题满分 12 分)已知曲线 在 处的切线与直线 平行.2()(0,)fxexa1x2(1)06exy(1)讨论 的单调性;y(2)若 在 , 上恒成立,求实数 的取值范围.()lnkfst(,
8、)s(,tek请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲如图,过点 分别作 的切线 与割线 , 为切点, 与 交于 两点,圆心 在AOAPCACOB、 O的内部, , 与 交于点 .PC/BDBN(1)在线段 上是否存在一点 ,使 四点共圆?若存在,请确定点 的位置;若不存BCMAPO、 、 、 M在,请说明理由.(2)若 ,证明: .PDCN23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 中,圆 的方程为 ,以 为极点, 轴的非负半轴为极轴建立xOyC22(3)(1)9x
9、yOx极坐标系.(1)求圆 的极坐标方程;(2)直线 与圆 交于点 ,求线段 的长.:6P()pRMN,24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲已知 , 为不等式 的解集.()|2|1|fxx()0fx(1)求 ;M(2)求证:当 时, .,y|15y高三数学试卷参考答案(理科)一、选择题1-5: 6-10: 11、12:ACDBCBADBA二、填空题13. 14.-2 15. 16.22log310三、解答题17.解:(1) , , , , ,1()2nSa1()2a11()2nS1()2nS两式相减得 ,(2)na而当 时, 也满足 ,所以 .6 分1nana .12 分(
10、1)2nnT18.解:(1)根据列联表中的数据,得到 的观测值为2K,280(350)8.513.844619k故不能在犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”.5 分(2)这 80 位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的频率为 .6 分651380由此估计该校近 3 年毕业的 2000 名大学生中从事的工作与大学所学专业对口的人数为.7 分130625(3)两两进行一次 10 分钟的职业交流的所有结果为(甲,乙) , (甲,丙) , (甲,丁) , (乙,丙) , (乙,丁) , (丙,丁) ,共有 6 个基本事件,10分其中异性交流的有 4 个
11、基本事件,故所求概率为 .12 分4263P19.(1)证明:在等腰 中, ,APB1cosBA则由余弦定理可得 , .2 分2232()39E423PE , .3 分24PB平面 平面 ,平面 平面 ,ACDPABCDAB 平面 .4 分E(2)解:设平面 与棱 交于点 ,连接 ,因为 ,所以 平面 ,EFGCDNE/GFAD/FABCD从而可得 .6 分/NA延长 至点 ,使 ,连接 , ,则 为直三棱柱.7 分CMMMN 到 的距离为 , ,FE123P7AE ,7239AEFS , ,142AFEDMNV 17239GDMNV .5AFEGAFEN又 ,18233PABCDABCDVS
12、矩 形 .12 分525:():77右左20.解:(1)由椭圆 的长轴长是短轴长的 2 倍得 .1 分21()xyaa由题意 , ,焦点 ,当直线 过点 时,则直线 的方程为 ,(0,)B(,)C(3,0)FPMFPM13xy即 ,令 得 ,则 .3 分31yx2yx(,2)联立 解得 或 (舍) ,即 .4 分2431yx837y01y831(,)7M因为 , ,5 分(3,)PB153(,)7M所以 .6 分4907A(2)设 ,且 ,则直线 的斜率为 ,(,2)mP1(2)0km则直线 的方程为 ,7 分P1yx联立 化简得 ,解得 ,8 分214yx248()0xm2284(,)M所以
13、 , ,10 分22121844mk2()30km则 ,当且仅当 ,即 时取等号.1233|1|423所以 的最小值为 .12|k21.解:(1)由条件可得 , ,221()fea1a由 可得 .2()+fxe22 xfx由 可得 解之得 或 ;()0f210,1e由 可得 解之得 或 .()fx2,ex0x1e 在 , 上单调递增,在 上单调递减.5 分f1,)e(,)(,),(2)令 ,当 , 时, , ,(lngtt0s1,te0fs()ln0gtt由 可得 在 , 时恒成立.)lkfstl()tkf(,)(,t即 ,故只需求出 的最小值和 的最大值.maxaxln()()tgtfsfs
14、()fs()gt由(1)可知, 在 上单调递减,在 上单调递增,10,e1,e故 的最小值为 .()fs1()2fe由 可得 在区间 上恒成立,lngttln0gt(1,e 在 上的最大值为 ,()1,e()le只需 ,2k实数 的取值范围是 .12 分,)22.(1)解:当点 为 中点时, 四点,证明如下:MBCAPOM、 、 、 为 的中点,故 ,即 .O90又 , ,PA90P 与 互补, 四点共圆.5 分A、 、 、(2)证明: , ,/BDCNBP连接 , 为切线, , , , ,CNPDC又 , , .10 分N23.解:(1) 可化为 ,22(3)(1)9xy23250xyxy故其极坐标方程为 .5 分cosin50(2)将 代入 ,得 ,6222 , ,12125 .10 分212|()46MN24.解:(1) ,3,()12,xfx当 时,由 得, ,舍去;2x303当 时,由 得, ,即 ;1x1x132x当 时,由 得, ,即 .2x2