1、1 . 对 于 二 阶 全 微 分 方 程 a ， 不 同 的 a,b,c 取 值 会 求 出 不 同 的 解 析解 ， 解 析 解 又 是 由 齐 次 解 和 特 解 组 成 。 其 中 ， 齐 次 解 由 特 征 方 程 决 定 ， 而 特 解 的 决 定 因素 则 比 较 复 杂 。2 . 对 于 二 阶 全 微 分 方 程 的 分 析 ， 我 们 大 致 分 为 三 种 情 况 ：b2 -4 ac0 (两 个 不 同 的 实 根 )b2 -4 ac=0 （ 两 个 相 同 的 重 根 ）b2 -4 ac0 的 情 况STEP1 ： 求 解 析 解s1=dsolve(D2y+3*Dy+2
2、*y=0,y(0)=2,Dy(0)=0,t);s2=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(t),y(0)=2,Dy(0)=0,t);s3=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(2*t),y(0)=2,Dy(0)=0,t);s4=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(5*t),y(0)=2,Dy(0)=0,t);s5=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(13*t),y(0)=2,Dy(0)=0,t);s6=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(25*t),y(0)=2,Dy(0)=0,t);STEP2 ： 绘 制 图 形（ 1 ） 求 w=1
3、情 况 下 的 通 解 和 齐 次 解t=1:0.1:10;s1=4*exp(-t)-2*exp(-2*t)%generalsolutions2=-3/10*cos(t)+1/10*sin(t)-11/5*exp(-2*t)+9/2*exp(-t)%specialsolutionsubplot(2,1,1);plot(t,s2);xlabel(t)ylabel(y(t)title(generalsolution)subplot(2,1,2);plot(t,s1);xlabel(t)ylabel(y(t)title(specialsolution)Figure1 -1(2 )求 通 解 随 w
4、变 化 的 规 律.w在 （0,1） 之 间 的 全 微 分 方 程 通 解clcclearalls1=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=0,y(0)=2,Dy(0)=0,t);l2=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(0.05*t),y(0)=2,Dy(0)=0,t);l3=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(0.15*t),y(0)=2,Dy(0)=0,t);l4=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(0.25*t),y(0)=2,Dy(0)=0,t);l5=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(0.5*t),y(0)=2,Dy(0)=0,
5、t);l6=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=sin(0.75*t),y(0)=2,Dy(0)=0,t);t=1:0.1:10;s1_n=eval(s1);l2_n=eval(l2);l3_n=eval(l3);l4_n=eval(l4);l5_n=eval(l5);l6_n=eval(l6);holdonplot(t,s1_n);plot(t,l2_n,m*);plot(t,l3_n,rx);plot(t,l4_n,g);plot(t,l5_n,bp);plot(t,l6_n,ko);holdoff.w在 （1,+） 之 间 的 全 微 分 方 程 通 解t=1:0.1:10;s1=-
6、2*exp(-2*t)+4*exp(-t);s2=-3/10*cos(t)+1/10*sin(t)-11/5*exp(-2*t)+9/2*exp(-t);s3=-3/20*cos(2*t)-1/20*sin(2*t)-9/4*exp(-2*t)+22/5*exp(-t);s4=-15/754*cos(5*t)-23/754*sin(5*t)-63/29*exp(-2*t)+109/26*exp(-t);s5=693/170*exp(-t)-39/29410*cos(13*t)-359/173*exp(-2*t)-167/29410*sin(13*t);s6=-1283/629*exp(-2*t
7、)-75/393754*cos(25*t)+2529/626*exp(-t)-623/393754*sin(25*t);holdonplot(t,s1);plot(t,s2,m*);plot(t,s3,rx);plot(t,s4,g);plot(t,s5,bp);plot(t,s6,ko);holdoff结 论 ： 在 b2 -4 ac0 的 情 况 下 ， 特 解 的 形 式 是 C1 *sint+C2 *cost,齐 次 解 的 形 式 是C1 *EXP(R1 *t)+C2 *EXP(R2 *t).若 w 为 正 值 且 随 w 的 增 大 ， 通 解 的 形 式 趋 近 于 齐次 解 。
8、5 .b2 -4 ac=0 的 情 况STEP1 ： 求 解 析 解S1=dsolve(D2y+y=0,y(0)=2,Dy(0)=1,t)S2=dsolve(D2y+y=sin(t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)s3=dsolve(D2y+y=sin(2*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)s4=dsolve(D2y+y=sin(6*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)s5=dsolve(D2y+y=sin(10*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)s6=dsolve(D2y+y=sin(100*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)l0=dsolve(D2y+y=sin(
9、0.05*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)l1=dsolve(D2y+y=sin(0.15*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)l2=dsolve(D2y+y=sin(0.25*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)l3=dsolve(D2y+y=sin(0.5*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)l4=dsolve(D2y+y=sin(0.75*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)STEP2 ： 绘 制 图 形（ 1 ） 求 w=1 情 况 下 的 通 解 和 齐 次 解t=1:0.1:10;s1=2*exp(-2*t)+5*exp(-2*t).*t;s2=54/25*
10、exp(-2*t)+26/5*exp(-2*t).*t-4/25*cos(t)+3/25*sin(t);subplot(2,1,1);plot(t,s1);xlabel(t)ylabel(y(t)title(homogenioussolution)subplot(2,1,2);plot(t,s2);xlabel(t)ylabel(y(t)title(generalsolution)（ 2 ） (2 )求 通 解 随 w 变 化 的 规 律.w在 （0,1） 之 间 的 全 微 分 方 程 通 解t=1:0.1:10;s1=2*exp(-2*t)+5*exp(-2*t).*t;l2=515840
11、2/2563201*exp(-2*t)+8025/1601*exp(-2*t).*t-32000/2563201*cos(1/20*t)+639600/2563201*sin(1/20*t);l3=5273762/2588881*exp(-2*t)+8105/1609*exp(-2*t).*t-96000/2588881*cos(3/20*t)+636400/2588881*sin(3/20*t);l4=8706/4225*exp(-2*t)+329/65*exp(-2*t).*t-256/4225*cos(1/4*t)+1008/4225*sin(1/4*t);l5=610/289*exp(
12、-2*t)+87/17*exp(-2*t).*t-32/289*cos(1/2*t)+60/289*sin(1/2*t);l6=11426/5329*exp(-2*t)+377/73*exp(-2*t).*t-768/5329*cos(3/4*t)+880/5329*sin(3/4*t);holdonplot(t,s1);plot(t,l2,m*);plot(t,l3,rx);plot(t,l4,g);plot(t,l5,bp);plot(t,l6,ko);holdoff.w在 （1,+） 之 间 的 全 微 分 方 程 通 解t=1:0.1:10;s1=2*exp(-2*t)+5*exp(-
13、2*t).*t;s2=54/25*exp(-2*t)+26/5*exp(-2*t).*t-4/25*cos(t)+3/25*sin(t);s3=3522/1681*exp(-2*t)+215/41*exp(-2*t).*t-160/1681*cos(5/2*t)-36/1681*sin(5/2*t);s4=350/169*exp(-2*t)+68/13*exp(-2*t).*t-12/169*cos(3*t)-5/169*sin(3*t);s5=1702/841*exp(-2*t)+150/29*exp(-2*t).*t-20/841*cos(5*t)-21/841*sin(5*t);s6=1
14、04942/52441*exp(-2*t)+1160/229*exp(-2*t).*t-60/52441*cos(15*t)-221/52441*sin(15*t);holdonplot(t,s1);plot(t,s2,m*);plot(t,s3,rx);plot(t,s4,g);plot(t,s5,bp);plot(t,s6,ko);holdoff结 论 ：W属 于 （0,1） 时 ， 随w的 增 大 在 齐 次 解 的 旁 边 波 动 ；w属 于 （1，+） ， 随w的增 大 逐 渐 趋 近 于 齐 次 解 。4 . b2 -4 ac0 s2=dsolve(D2y+Dy+y=sin(t),
15、y(0)=2,Dy(0)=1,t)s3=dsolve(D2y+Dy+y=sin(2*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)s4=dsolve(D2y+Dy+y=sin(2.5*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)s5=dsolve(D2y+Dy+y=sin(3*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)s6=dsolve(D2y+Dy+y=sin(3.5*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)s7=dsolve(D2y+Dy+y=sin(5*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t).w在 （0,1） 之 间 的 全 微 分 方 程 通 解.w在 （1,+） 之 间 的 全 微 分 方 程
16、 通 解2 .b.w在 （0,1） 之 间 的 全 微 分 方 程 通 解.w在 （1,+） 之 间 的 全 微 分 方 程 通 解2 .b=0 STEP1 ： 求 解 析 解S1=dsolve(D2y+y=0,y(0)=2,Dy(0)=1,t)S2=dsolve(D2y+y=sin(t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)s3=dsolve(D2y+y=sin(2*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)s4=dsolve(D2y+y=sin(6*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)s5=dsolve(D2y+y=sin(10*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)s6=dsolve(
17、D2y+y=sin(100*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)l0=dsolve(D2y+y=sin(0.05*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)l1=dsolve(D2y+y=sin(0.15*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)l2=dsolve(D2y+y=sin(0.25*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)l3=dsolve(D2y+y=sin(0.5*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)l4=dsolve(D2y+y=sin(0.75*t),y(0)=2,Dy(0)=1,t)STEP2 ： 绘 制 图 形（ 3 ） 求 w=1 情 况 下 的 通 解 和 齐
18、 次 解t=1:0.1:10;s1=sin(t)+2*cos(t);s2=3/2*sin(t)+2*cos(t)-1/2.*cos(t).*t;subplot(2,1,1);plot(t,s1);xlabel(t)ylabel(y(t)title(homogenioussolution)subplot(2,1,2);plot(t,s2);xlabel(t)ylabel(y(t)title(generalsolution)(2 )求 通 解 随 w 变 化 的 规 律.w在 （0,1） 之 间 的 全 微 分 方 程 通 解t=1:0.1:10;l0=379/399*sin(t)+2*cos(t
19、)+400/399*sin(1/20*t);l1=331/391*sin(t)+2*cos(t)+400/391*sin(3/20*t);l2=11/15*sin(t)+2*cos(t)+16/15*sin(1/4*t);l3=1/3*sin(t)+2*cos(t)+4/3*sin(1/2*t);l4=-5/7*sin(t)+2*cos(t)+16/7*sin(3/4*t);s1=sin(t)+2*cos(t);holdonplot(t,s1);plot(t,l0,m*);plot(t,l1,rx);plot(t,l2,g);plot(t,l3,bp);plot(t,l4,ko);holdof
20、f.w在 （1,+） 之 间 的 全 微 分 方 程 通 解t=1:0.1:10;l2=11/15*sin(t)+2*cos(t)+16/15*sin(1/4*t);l3=1/3*sin(t)+2*cos(t)+4/3*sin(1/2*t);s1=sin(t)+2*cos(t);%s2=3/2*sin(t)+2*cos(t)-1/2*cos(t)*t;s3=5/3*sin(t)+2*cos(t)-1/3*sin(2*t);s4=41/35*sin(t)+2*cos(t)-1/35*sin(6*t);holdonplot(t,s1);plot(t,s3,rx);plot(t,s4,g);plot(t,l2,bp);plot(t,l3,ko);holdoff结 论 ： w=1是 特 殊 情 况 ，s2=3/2*sin(t)+2*cos(t)-1/2*cos(t)*t（ 见figure） ；W属 于 （0,1） 时 ， 随w的 增 大 在 齐 次 解 的 旁 边 波 动 ；w属 于 （1，+） ， 随w的 增大 逐 渐 趋 近 于 齐 次 解 。
