1、四川省资阳市 2015 届高三第一次诊断性测试理科数学试卷（解析版）一、选择题1集合 ， ，则|(2)0Mx|13NxMN（A） （B）|2|（C） （D）3|x|x【答案】B【解析】试题分析： ， ，2|02| xxM21|xNM故答案为 B.考点：1、一元二次不等式的解法；2、集合的交集.2在复平面内，复数 ， 对应的点分别为 A、B，则线段 AB 的中点 C 对应i31i的复数为（A）42i （B）42i （C）2i （D）2i 【答案】D【解析】试题分析：复数 对应的点 ， 对应的点 ，线段i313,1Aii321,3B的中点 ，对应的复数 .AB,2Ci2考点：复数的几何意义.3已知
2、 ，下列命题正确的是Rba,（A）若 ，则 （B）若 ，则|bab1（C）若 ，则 （D）若 ，则|a2 |2【答案】D【解析】试题分析：当 时， 不正确；当 ， 不正确；当 ，2,1bA2,1baB2,1ba不正确；对应 ， ，则 ，故答案为 D.CD0a2考点：比较大小.4已知向量 ， ， ，则bAB3bC35baD3（A）A、B、C 三点共线 （B）A、B、D 三点共线（C）A、C、D 三点共线 （D）B、C、D 三点共线【答案】B【解析】试题分析： ，由于 与 有公共点 ，因此 、ABba26DABA、 三点共线，故答案为 B.B考点：向量共线定理的应用.5已知命题 ， 若 是真命题，
3、则实数 的取值范围是p0xR20axpa（A） （B）0,4 (,4)（C） （D）(,)(,),0,)【答案】A【解析】试题分析： ， 是真命题， 恒成立，pRx2ax02ax，解得042a，故答案为 A.考点：1、恒成立的问题；2、含有量词命题的否定.6将函数 的图象向右平移 （ ）个单位，所得图象关于原点 对称，sin(2)3yx0O则 的最小值为（A） （B） （C） （D）3612【答案】C【解析】试题分析：将函数 的图象向右平移 个单位，得32sinxy02sinxy是奇函数， ，解得 ，故答案为 C.3six0236考点：三角函数的图象平移.7 莱因德纸草书 （ Papyrus）
4、是世界上最古老的数学著作之一书中有这样一道Rhind题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较17小的两份之和，问最小的一份为（A） （B） （C） （D）5316136103【答案】A【解析】试题分析：设五个人所分得的面包为 （其中 ） ，则dada2,20， ，1052dada 由 ，解得 ，所以最小 1 份为271 6d，故答案为 A.35602da考点：数列的应用.8若执行下面的程序框图，输出 的值为 3，则判断框中应填入的条件是S（A） （B）?6k?7k（C） （D）89【答案】C【解析】试题分析：第一次执行循环体时， ，第二次执行循环
5、体时，3,log2kS4logl3og22S，第三次执行循环体时， ，第四次执行循环体时，4k 5,l5l24k，第五次执行循环体时，6,l6l522k，7og7ogS第六次执行循环体时， ，此时判断框的条件不成立，8,3log8l22 kS故答案为 C.考点：程序框图的应用.9已知函数 ， ，则下列不等式正确的Rxxf 13sin212()0fxf是（A）x 1x 2 （B）x 1x 2（C）x 1x 20 （D）x 1x 20【答案】D【解析】试题分析： xfxxxxf x 13sin231sin213sin2，故函数 是奇函数， 在 上是增函数，令f xxx R，则xxhsin2恒成立，
6、因此 在 上是增函数，因此0co xsin2是 上增函数，由 ，得Rxxf 13sin2 021xff，即 ， ， ，故答案为 D.21ff2ff21x21考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、奇函数的应用.10已知 ，函数 ，若函数Rm2|,()log(1),xf2()gxm有 6 个零点，则实数 的取值范围是()yfgxm（A） （B） （C） （D）30,53(,)543(,1)4(1,3)【答案】A【解析】试题分析：函数 的图象如图所示，令 ， 与 的图象最1log2xxf txgtfym多有 3 个零点，当有 3 个零点，则 ，从左到右交点的横坐标依次 ，由30m321tt于函数有
7、 6 个零点， ，则每一个 的值对应 2 个 的值，则 的值不能22xt tx为最小值，对称轴 ，则最小值 ，由图可知， ，11mt13则 ，由于 是交点横坐标中最小的，满足 211mt1t 21m30联立得 ，故答案为 A.530考点：函数零点的个数.二、填空题11函数 的定义域为_ 2()log1fx【答案】 ,【解析】试题分析：使函数有意义满足 ，解得 ，因此函数的定义域 .01log2x2x,2考点：求函数的定义域.12已知向量 ， 若 ，则实数 1,2a,bab【答案】5【解析】试题分析： ，由于 ， ，解得,a014.5考点：向量垂直的条件.13已知点 是不等式组 所表示的平面区域
8、内的一个动点，点 ，A310,xy (2,1)B为坐标原点，则 的最大值是_ OOB|【答案】 10【解析】试题分析：不等式表示平面区域阴影部分如图所示，设 ， ，baA,baO,，则1,2OB， 表示 到 的距离，,baA221aOBA,1,2当 运动到 点时，C距离最大，由 ，得 ，最大距离是 .031yx,1C022考点：线性规划的应用.14若两个正实数 满足 ，且 恒成立，则实数 的取值范围yx,21y2xymm是_【答案】 2,4【解析】试题分析：由于 恒成立，只需 ，myx2min2yxyxyx412，因此 ，解得 .84x22考点：1、基本不等式的应用；2、恒成立的问题.15已知
9、定义在 上的函数 的图象连续不断，若存在常数 ，使得R()fx Rt对任意的实数 x 成立，则称 f（x）是回旋函数，其回旋值为 t给出下列()(0fxtf四个命题：函数 为回旋函数的充要条件是回旋值 t1；()2fCB若 （a0，且 a1）为回旋函数，则回旋值 t1；xya若 为回旋函数，则其最小正周期不大于 2；()sin(0)f对任意一个回旋值为 t（t0）的回旋函数 f（x） ，方程 均有实数根()0fx其中为真命题的是_（写出所有真命题的序号） 【答案】【解析】试题分析：对应当 时， ， ，则 ，1t2txfxf02xtff若函数 为回旋函数，则 ，即 ，得 ，所以2xf 002t1
10、对；对应若 是回旋函数，则 ，得 ，整理得xayxtff xta，即 不对；对应若 是回旋函数，有0tax 0t sin，得 对任意实数 成立，ff 0sinsinxtxx令 ，得 ，令 ，0x0sit2，02sinicosin2sin ttt， ，解得 ，tco102tt， ；对应如 ，显然 ，方程ZkkT0t0xf有实根成立，下面考虑 的情况，令 ，得 ，0xf 0txtff则 ，由于 ，因此 与 异号，即 ，函数存在零点，tfftftf0tf方程 0xf有实根，正确；故正确的是.考点：抽象函数及其应用.三、解答题16 （本小题满分 12 分）在各项均为正数的等比数列 中， ，且 ， ，
11、成等差数列na211a32（1）求等比数列 的通项公式；na（2）若数列 满足 ，求数列 的前 n 项和 的最大值.bna2log1bT【答案】 （1） ；（2）25n【解析】试题分析：（1）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用;（2）等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用；（3）求前 项和的最大值或最小值的常用方法，看这个数列是递增数列还是递减数列，看n从第几项开始出现变号，所有的正项加起值最大，所有的负项加起最小，注意看是否某一项为 0.试题解析：（1）
12、设数列 的公比为 q， .na0na因为 ， ， 成等差数列，所以 ，则 ，12a32 123211aq所以 ，解得 或 （舍去） ， 4 分0qq又 ，所以数列 的通项公式 6 分12ana2na（2） ， 8 分2log1nb则 ， ，故数列 是首项为 9，公差为2 的等差数列，191nnb所以 ， 10 分2()10nT(5)所以当 时， 的最大值为 25 12 分5n考点：1、等比数列的通项公式；2、数列的前 项和的最大值.n17 （本小题满分 12 分）已知向量 ， ， ，1,3cosm1,4tan()2,且 5mn（1）求 ；（2）设向量 与 的夹角为 ，求 的值tan()【答案】
13、 （1） ；（2）mn【解析】试题分析：（1）先用数量积的概念转化为三角函数的形式，寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围；（2）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中 ；（3）利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需Zk,要根据角 的范围确定，二是利用诱导公式进行化简时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐，特别注意函数名称和符号的确定，掌握两角和的正切.试题解析：（1）由 ，解得 ， 2 分mn12costan51sin3因为 ，所以 ， 4 分()
14、2,3t则 ， ，所以 ，1,1,2nn(2,)所以 6 分m（2）由（1）知 ， ，则 ， 81,21,2n 53cos,9mn分，所以 ， 10 分2536sin()9tan5所以 12 分24ta()15考点：1、求向量的模；2、两角和的正切公式.18 （本小题满分 12 分）已知函数 在点 处的切线方程是 ，其中 是自然xebaxf2(0,)f 21yxe对数的底数（1）求实数 a、b 的值；（2）求函数 在区间 上的值域()fx2,3【答案】 （1） ；（2）1,2,e【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点 处的切线方程，注意这个点的切0,f点,利用导数的几何意义求切线
15、的斜率；函数 在某个区间内可导，则若 ，xy0xf则 在这个区间内单调递增，若 ，则 在这个区间内单调递减；（2）解xf 0xfxf决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数 在xfy区间 内使 的点，再计算函数 在区间内所有使 的点和区ba,0xf xfy0f间端点处的函数值，最后比较即得.试题解析：（1）由 ，得 ，2()exfab2()()exfab因为函数 在点 处的切线方程是 ，()fx0, 1yx所以 即 解得 ， 6 分1,()2f,2ba3ab（2）由（1）知 ， ， 8 分()31)exfx2()e(1)2exxf令 ，得 或 与 的关系如下表：()
16、0fx12xx 2 （2,1） 1 （1, 2） 2 （2, 3） 3()f 0 0 ()fx21e 5e e 2 e3由上表可知，函数 在区间 上的值域是 12 分()fx2,32,考点：1、导数的几何意义；2、利用导数求函数在闭区间上的最值.19 （本小题满分 12 分）已知函数 在区间2()sincosfxmxxnRm,上的值域为 0,41,2（1）求函数 的单调递增区间；()fx（2）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，当 m0 时，若 ，()1fA，ABC 的面积为 ，求边长 a 的值sin4i()B3【答案】 （1） ， ， （ ） ，0m,6kZk， ， （ ）02,63k（2） ， 1a
