2019年四川省高三第一次诊断性考试理科数学试卷(图片版).zip

高三数学(理科)一诊答案 第1 页(共4页)四川省2019届高三第一次诊断性考试数学试题(理科)参考答案及评分意见一、选择题:1. D 2. A 3. D 4. B 5. C 6. A 7. B 8. A 9. B 10. A 11. C 12. D二、填空题:13． -8 14． 3 15． 1010 16． (1,6- 23)∪ (6+ 23,+∞)三、解答题:17．解:(1)因为sinA+cosA= 2cos(A-45°)= 0,所以cos(A-45°)= 0, … … … … 2分又0°= n→ · SD→| n→ | |SD→ |= -2 374 × 16=- 217 , … … … … 11分所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为217 . … … … … 12分20.解:(1)因为l:x+ 3y- 3 =0与x轴交点为( 3,0),与y轴交点为(0,1),又直线l与坐标轴交点为椭圆C的顶点,所以椭圆的顶点为( 3,0),(0,1).故所求椭圆方程为x23 +y2 =1. … … … … 5分(2)由题意知M,N是椭圆x23 +y2 =1上的两点,且OM⊥ ON,故设M(r1cosθ,r1sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ).其中r1 = |OM|,r2 = |ON|. … … … … 7分于是r21(cos2θ3 +sin2θ)= 1,r22(sin2θ3 +cos2θ)= 1,从而1r21+ 1r22= 13 +1= 43 . … … … … 9分又(r21+r22)( 1r21+ 1r22)= 2+r21r22 +r22r21 ≥ 4(当且仅当r1 =r2时取等号)高三数学(理科)一诊答案 第3 页(共4页)所以|MN→ | 2× 43 ≥ 4, 即|MN→ | 2≥ 3,|MN→ |≥ 3.故所求|MN→ |的最小值为3. … … … … 12分21．解:(1)由题意f(1)= 0,又f ′(x)= lnx+1,所以f ′(1)= 1,因此y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=1×(x-1),即x-y-1=0. … … … … 4分(2)证明:因为01.由于f(a)+f(b)-2f(a+b2 )= alna+blnb-2· a+b2 ln a+b2 =aln 2aa+b+bln 2ba+b, … … … … 6分① f(a)+f(b)-2f(a+b2 )0等价于ln 21+ ba+ ba ln2( ba )1+ ba0,令x= ba 1,设函数F(x)= ln 21+x+xln 2x1+x(x≥ 1),F ′(x)= [ln2-ln(1+x)+xln2x-xln(1+x)]′,=ln 2x1+x.当x1时, 2x1+x1,所以F ′(x)0,所以F(x)在(1,+∞)上是单调递增函数,又F(1)= 0,所以F(x)0 (x1),所以F( ba )0 即f(a)+f(b)-2f(a+b2 )0. … … … … 9分② f(a)+f(b)-2f(a+b2 )1,设函数g(x)= ln 41+x+xln x1+x (x≥ 1)g ′(x)= [ln4-ln(1+x)+xlnx-xln(1+x)]′=ln x1+x.高三数学(理科)一诊答案 第4 页(共4页)当x1时,01)所以g( ba )-2,故`-21时,不等式化为2x0 所以-2 3 a0,所以ba 1.由于f(a)+(a+b)ln2f(a+b)-f(b)等价于ln 21+ ba+ ba ln2( ba )1+ ba0,令x= ba 1, … … … … 8分设函数F(x)= ln 21+x+xln 2x1+x(x≥ 1),F ′(x)= [ln2-ln(1+x)+xln2x-xln(1+x)]′,=ln 2x1+x. … … … … 10分当x1时, 2x1+x1,所以F ′(x)0,所以F(x)在(1,+∞)上是单调递增函数,又F(1)= 0,所以F(x)0 (x1)所以F( ba )0,所以f(a)+(a+b)ln2f(a+b)-f(b). … … … … 12分22．解:(1)将曲线P的参数方程消去参数t,得y2 =4x.将ρ2 =x2+y2,x=ρcosθ代入曲线C的极坐标方程得x2-8x+y2+15=0 即(x-4)2+y2 =1.… … … … 5分高三数学(文科)一诊答案 第4 页(共4页)(2)由(1)知,圆C的圆心C(4,0),半径r=1.由抛物线的参数方程,设点M( t24 ,t)则|MC| = ( t24 -4)2+(t-0)2 = 116t4-t2+16 = 14 (t2-8)2+192.所以当t2 =8即t=±2 2时,|MC|取得最小值14 192 =2 3,此时|MN|的最小值为|MC| min-r=2 3 -1. … … … … 10分23．解:(1)不等式f(x)-g(x)-2,故`-21时,不等式化为2x4,解得x2,故1x2,综上得若a=-4,不等式f(x)-g(x)0解集为{x| -2x2} … … … … 5分(2)因为f(x)= |x+1| +|x-1|≥ |(x+1)-(x-1) | =2,所以f(x)min =2.要使函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有交点,需f(x)min≤ -a.故a的取值范围是:(-∞,-2]. … … … … 10分