1、四川省成都实验外国语高 2015 届高三 11 月月考数学（理）试题第 I 卷（选择题，50 分）一、选择题（每小题 5 分，10 小题，共 50 分，每小题只有一个选项符合要求）1. 若集合 1|2xM， 1|Nxy，则 NM=DA N B C D |01x2下列结论正确的是 CA若向量 ，则存在唯一的实数 使得 ；/ababB已知向量 为非零向量，则“ 的夹角为钝角”的充要条, ,件是“ ”；0C “若 ，则 ”的否命题为“若 ，则31cos23”；1cos2D若命题 ，则2:,10pxR:,x3.某 程 序 框 图 如 图 1 所 示 ， 若 该 程 序 运 行 后 输 出 的 值 是
2、,则 C95A B C D6a54a74等差数列 的前 n 项和为 ，若 为一确定常数，下列各式也为确定常数的是（ C ）nS15A B C D213a23a1815a185a5、某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形，则此四面体的外接球的表面积为 AA. B. C. D.34256.若(9 x )n（nN *）的展开式中第 3 项的二项式系数为 36，则其展开式中的常数项为 AA84 B252 C252 D847在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，点 P 在线段 AD1上运动，则异面直线 CP 与 BA1所成的角的取值范围是 ( D )A. B. C.D
3、. 俯视图正视图 侧视图8如图所示，在 中， ， 在线段 上，设 ， ， ，则ABCDBFCDABaCbAFxayb的最小值为 D14xyA. B. 9 3 6+2C. 9 D. 6+429设函数 f(x) 其中x表示不超过 x 的最大整数，如1.3x x， x 0f（ x 1） ， xa3, a3a5 时称为波形数,则由 1,2,3,4,5 任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率为 2/15 14、动点 在不等式组 表示的平面区域内部及其边界上运动，则 的取值范(,)Pab0xy 31abw围是 . (,13,)15. 若数列 n满足：存在正整数 T，对于任意正整数 n都有 nTa
4、成立，则称数列 na为周期数列，DCBFA周期为 T. 已知数列 na满足 1(0)m，1, 1=0.nna，现给出以下命题： 若 34a，则 m可以取 3 个不同的值 若 2，则数列 na是周期为 3的数列*N且 2，存在 1， na是周期为 T的数列 Q且 ，数列 n是周期数列。其中所有真命题的序号是 （1） （2） （3） .三、解答题：（本大题 6 个小题，共 75 分）各题解答必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程16. （本小题 12 分）已知函数 Rxxxf 21cos2sin3)(（）当 时，求函数 取得最大值和最小值时 的值；125,x（）设锐角 的内角 A、B、C 的对
5、应边分别是 ，且 ，若向量cba,*,1Nc与向量 平行，求 的值。msin,sin,解：（1）.3 分， .4 分 所以当 ， 取得最大值；当 ， 取得最小值；.6 分（2）因为向量 与向量 平行，所以 ， .8 分由余弦定理 ，又 ，经检验符合三角形要求.12 分17在数列 中， ，na1 )(21.32Nnana（1）求数列 的通项 ；n（2）若存在 ，使得 成立，求实数 的最小值.*nN(1)na解：（1） 6 分21,3nna（2） 由（1）可知当 时，1,nna2n23,1nna设 8 分*2,3nf N则 又 及 ，所以所求1110, 2nff nfnf13f12a实数 的最小值
6、为 -12 分318.（本小题满分 13 分）某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为 1，2，3，10 的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金 30 元；三球号码都连号为二等奖，奖金 60 元；三球号码分别为 1，5，10 为一等奖，奖金 240 元；其余情况无奖金。（）求员工甲抽奖一次所得奖金 的分布列与期望； （）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数 的方差是多少？18、 （）甲抽奖一次，基本事件总数为 =120,奖金 的所有可能取值为 0，30，60，240.310C一等奖的情况只有一种，所以
7、奖金为 240 元的概率为 P(=240)= 12三球连号的情况有 1，2 ，3；2，3，4;8,9,10 共 8 种，所以 P(=60)= 8105仅有两球连号中，对应 1，2 与 9，10 的各有 7 种；对应 2，3；3 ，4；8，9 各有 6 种。得奖金 30 的概率为 P（ =30）= 6015奖金为 0 的概率为 P（=0）= 4 的分布列为： 0 30 60 240P 1247511206 分7036025E（） 由（）可得乙一次抽奖中中奖的概率为 P= 10 分314四次抽奖是相互独立的, 所以中奖次数 B（4， ）故 .12 分13213442D19 （本小题满分 12 分）
8、如图，在四棱锥 PAC中， / ， ， ，ADBCAD，平面 平面 24EB（）求证：平面 平面 ；P（）若直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求二面角 的平面角的余弦值5A19法一（）取 中点 ，连接 ，则 ，DFB/FDE四边形 是平行四边形， /FBE直角 和直角 中，ACA2直角 直角 ，易知:BFC 2 分D平面 平面 ，平面 平面 PBDPADBA 平面 C ， 4 分E P 平面 . 5 分DA平面 平面 . 6 分PC（）设 交 于 ，连接 ，则 是直线 与平面 所成的角.设EGEPGPAC1BE由 ，知 ，:23DAE 2AB ，35EG5 ， 9 分P2,PAE作 于 ，由
9、 ，知 平面 ，HCDCHDG ，D 是二面角 的平面角. 10 分G ，PA: ，而C265EG 305H ，6tanGD ，15cosGHD即二面角 的平面角的余弦值为 . 12 分APC15法二：（）平面 平面 ，BACD平面 平面 ，BP 平面PAD又 ，故可如图建立空间直角坐标系 oxyz2 分由已知 ， ， ， （ ）(0,2)(,10)E(2,40)C(,)P0 ， ，,4AC,AP,1DE ， ，0DE0 ， ， 平面 . 4 分PA平面 平面 6 分C（）由（） ，平面 的一个法向量是 ，(2,10)DE(2,1)PE设直线 与平面 所成的角为 ，E ，2415sin|cos
10、,|5PD 0 ，即 8 分2(,2)设平面 的一个法向量为 ， ，PCDn0(,)xyz(2,0)DC(,2)P由 ，n ，令 ，则 10 分02xyz01xn(,1) ， 11 分cosn253DE显然二面角 的平面角是锐角，APC二面角 的平面角的余弦 12 分20(本小题 13 分) 设椭圆 E 中心在原点，焦点在 x 轴上，短轴长为 4,点 Q（2， ）在椭圆上。（1） 求椭圆 E 的方程；（2） 设动直线 L 交椭圆 E 于 A、B 两点，且 OB，求 OAB 的面积的取值范围。（3）过 M（ ）的直线 : 与过 N（ ）的直线 :1,yx1l281yx2,yx2l的交点 P（ ）
11、在椭圆 E 上，直线 MN 与椭圆 E 的两准线分别交于 G，H 两点，求2820,的值。 OG H20 解:（1）因为椭圆 E: 21xyab（ab0）过 M（2， ） ，2b=4故可求得 b=2,a=2 椭圆 E 的方程为 184xy-3 分 （2）设 P（x,y）,A（x1,y1）,B（x2,y2） ，当直线 L 斜率存在时设方程为 ykxm，解方程组 2184xykm得 22()8xk,即 22(1)480kx,则= 22216()()0k m,即 0m（）12248kx, 22221212112(8)48()()11kmkmkykxmkxmx要使OAB,需使 120y,即2280k,
12、所以 238mk, 即 23m将它代入 （） 式可得 20,)P 到 L 的距离为 2|1dk又122221 | |()4mSABxkmx将及韦达定理代入可得283km 248131kS 当 0时2421kSk由 故24,)k2818(,334k 当 0时 , S 当 AB 的斜率不存在时, ,综上 S -8 分838,23（3）点 P（ ）在直线 : 和 ： 上，0,yx1l1yx2l282yx，281018020故点 M（ ）N（ ）在直线 上,yx, 0yx故直线 MN 的方程， 上00yx设 G，H 分别是直线 MN 与椭圆准线， 的交点4由 和 得 G（-4， ）2800yx02yx
13、由 和 得 H（4， ）00x0故 =-16+ OG H203y又 P（ ）在椭圆 E：0,yx1482x有 故1482020203y=-16+ =-8-13 分 OG H20)8(21.设函数 ( 为自然对数的底数)，exf )(!.!321)( Nnxxxgn（1）证明： ；()fx1g（2）当 时，比较 与 的大小，并说明理由；0()fnx（3）证明： （ ） egnn )1(2.423213 *N解：（1）证明：设 ，所以 11()()xxfge1x当 时， ，当 时， ，当 时， 0x0 0()0即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取得唯一极小值1(),)(,)x因为 ，所
14、以对任意实数 均有 即 ，x1( 1()fg所以 -4 分()fx1g（2）解：当 时， 用数学归纳法证明如下：0()fxng当 时，由（ 1）知 。n1()x假设当 （ ）时，对任意 均有 ， k*N0()fxkg令 ， ，()()kkxfgx11()kkfx因为对任意的正实数 ， ， ()kfx由归纳假设知， 1()()0kkxfgx即 在 上为增函数，亦即 ，1()kxfg,11()(0)kkx因为 ，所以 从而对任意 ，有 01()kxxfg即对任意 ，有 这就是说，当 时，对任意 ，也xf nkx有 由、知，当 时，都有 ()f1()kg 0x()fx证明 1：先证对任意正整数 ，
15、n1eg由（2）知，当 时，对任意正整数 ，都有 令 ，得 所以0x()fxng1x1=engf再证对任意正整数 ，eng123214ng 12!3!n要证明上式，只需证明对任意正整数 ，不等式 成立n21!n即要证明对任意正整数 ，不等式 （*）成立10 分1!n以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式当 时， 成立，所以不等式（* ）成立1n1!2假设当 （ ）时，不等式（ *）成立，即 11 分k*N1!2k则 111!2kk因为 11 101112CC2kkk kkk 所以 13 分112!2kkk这说明当 时，不等式（*）也成立由、知对任意正整数 ，不等式（*）都成立n n综上可知，对任意正整数 ， 成立 -14 n 12321e4g
