1、成都外国语学校 2015 届 11 月理科数学试题满分 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项：1答题前，考生务必先认真按要求填写、填涂本人姓名、学号、班级在答题卡的相应位置上；2答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3答题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；5考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。一、选择题（本大题 10 个小题，每题 5 分，共 50 分,请将答案涂在答题卷上）1.已知 为虚数单位， ，若 为
2、纯虚数，则复数iRai2iaz2)1(的模等于（ ） A B C D 23162.如图所示的程序框图的输入值 ，则输出值 的取值范围为（ ）,xyA B C D1,0,201,23.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为 2 的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A B6 C4 D 203 434.下列命题正确的个数是（ ）“在三角形 中，若 ,则 ”的逆命题是真命题；siniAB命题 或 ，命题 则 是 的必要不充分条件；:2px3y:5qxypq“ ”的否定是“ ”；3,10R32,10Rx若随机变量 ，则(,)xBnp().E
3、XnA1 B2 C3 D45.已知等比数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，则 （ ）anS1352a45anSaA B C D14n41n21n6.若函数 的图像向右平移 个单位后与原函数的图像关于 轴对称，则 的最小正值()si)3fx3x是 （ ）A 12B1 C2 D37.若正实数 ，满足 ，则 的最大值是( )yx， 5xyxy开始输入 x0?2log(1)yxy输出结束是否E ABDCPA2 B3 C4 D58.某校周四下午第三、四两节是选修课时间,现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。已知甲、乙教师各自最多可以开设两节课,丙、丁教师各自最多可以开设一节课.现要求第三、四两节课中每节课恰
4、有两位教师开课(不必考虑教师所开课的班级和内容),则不同的开课方案共有（ ）种。A、20 B、19 C、16 D、159.定义在 02， 上的函数 fx, 是它的导函数,且恒有 tanfxfx成立,则（ ）A 343ffB 12sin16f C 264D 36ff10.已知 R 上的连续函数 g(x)满足：当 时， 恒成立( 为函数 的导函数) ；对任0)0g()g(意的 都有 ，又函数 满足：对任意的 ，都有 成立。x()fxxR3)fxf当 时， 。若关于 的不等式 对,3f 2fa恒成立,则 的取值范围是（ ）32aA、 B、 C、 D、 或aR013132424a01二填空题（本大题
5、5 个小题，每题 5 分，共 25 分，请把答案填在答题卷上）11.已知函数 ，则 的解集为 ()lnfx()fx12. 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为 12a13在直角坐标系 中，已知任意角 以坐标原点 为顶点，以 轴的非负半轴为始边，若其终边经过xOyOx点 ，且 ，定义： ，称“ ”为“ 的正余弦函数” ，若0(,)Pxy|(0)Pr0cosyirsico，则 _ .cosisin2314.如图，四边形 是边长为 1 的正方形，延长 至 ，ABCDCD使得。动点 从点 出发，沿正方形的边按逆时E 针方向运动一周回到 点， .则 的取PABE 值范围为_ _ _15.在
6、实数集 R 中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称“序”的关系，记为“ ”.定义如下：对于任意=,DaxyR 两个向量 ， “ ”当且仅当“ ”或“ ”。按上述定12()a=()12a12x1212xy且义的关系“ ”，给出如下四个命题：若 ，则 ；e,0,0,e0若 ，则 ；123a13若 ，则对于任意 ；2aD,+a对于任意向量 ，若 ，则 。,=()112a其中真命题的序号为_三解答题（本大题 6 个小题，共 75 分，请把答案填在答题卷上）16 （ 12 分）集合 ， ，若命题|sinco(),6AyxmxR2|,1Byx，命题
7、，且 是 必要不充分条件，求实数 的取值范围。:px:qBpq17.（ 12 分）如图，海上有 A， 两个小岛相距 10 k，船 O 将保持观望 A 岛和 B 岛所成的视角为 60，现从船 O 上派下一只小艇沿 O方向驶至 C处进行作业，且 C设 xkm。（1 ）用 x分别表示 2B和 ，并求出 x的取值范围；（2 ）晚上小艇在 C处发出一道强烈的光线照射 A 岛，B 岛至光线 的距离为 D，求 BD 的最大值18 （ 12 分）在四棱锥 中， ， ，点 是线段 上的一点，ABCDPB/ 09ACPBMAB且 ， CDPMM42（1 ）证明：面 面 ； （2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值1
8、9 （ 12 分）某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为 ， ， ，且各轮考核通过与否相互独立。2345（1 ）求甲通过该高校自主招生考试的概率；（2 ）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币 1000 元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为 ，求 的分布列和数学期望。X20.（ 13 分）已知数列 na中 , 1且点 在直线 01yx上。*1(,)nPaN(1)求数列 的通项公式；(2)若函数 ,2,32)(1
9、naf n且 求函数 )(nf的最小值；(3)设 nnSab,表示数列 nb的前项和.试问:是否存在关于 的整式 g,使得gS1321对于一切不小于 2 的自然数 恒成立？若存在，写出 g的解析式，并加以证明；若不存在,试说明理由。60OPABCDA21. （14 分）设函数 , .2ln()xf2()g（1 ）求 的极大值；()fx（2）求证： *2ln!()1()eN（3）当方程 有唯一解时，试探究函数 与 的0afR 2()()()kFxfaRx(gx图象在其公共点处是否存在公切线，若存在.研究 的值的个数；若不存在，请说明理由.k成都外国语学校 2015 届 11 月理科数学试题参考答
10、案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 二、填空题11、 ；12、40 ；13、 ；14、 ；15、(,)(,)e120,三、解答题16、解： 313sinco()sincosinsicos622yxmxxmxm-5 分3,故 -6 分,3A在 为减函数，故 ， -8 分2yx120,1B又命题 ，命题 ， 是 必要不充分条件，故 -10 分:p:qxpqBA且 ，从而 -12 分0m3m17、解：（1）在 OC中， A， Cx，由余弦定理得， 2 2cos10O，又 B，所以 2B ， 1 分在 A中， 1， 6由余弦定理得， 2cos0， 3 分+得22xO，-得
11、24cs61AB，即210xOAB， 4 分又 2 ，所以 0x ，即 23 ，又210xOAB，即 210x ， 所以 103x 6 分（2）易知 OACS，故23()sin624ABCB ， 8 分又 1D，设 ()fx，所以23(0)103xf， ， 9 分又 21(， 10 分则 )fx在 03， 上是增函数，所以 (的最大值为 (0)1f，即 BD 的最大值为 10 12 分（利用单调性定义证明 x在 3， 上是增函数，同样给满分；如果直接说出 ()fx 103， 上是增函数，但未给出证明，扣 2 分 ）18解：（1）由 ，得 ，BMPA4AB又因为 ，且 ，所以 面 ， 4 分CD
12、PMCD且 面 所以，面 面 。 6 分B（2 ）过点 作 ，连结 ，H因为 ，且 ，所以 平面 ，又由 平面 ，所以平面 平面 ，平面 平面P PHCD，过点 作 ，即有 平面 ，所以NNC MN为直线 与平面 所成角 CPD9 分在四棱锥 中，设 ，则 ，ABt2172Mt t23， ， ，tMH105754N63从而 ，即直线 与平面 所成角的正弦值为 12 分71sin36CNCPD7513619解：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件 A，则 P(A) 24所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为 -4 分25（2 ） 的可能取值为 0 元，1000 元，2000 元，30
13、00 元 -5 分X， ，21()3P31(0)()46PX2341(0)()50PX-9 分45所以， 的分布列为X0 1000 2000 3000P 136 10 25NPABCDH数学期望为 -12 分112470()0203365EX20、 ,1 1111()0,2, .n nn nPaxyaa 解 :（ ） 点 在 直 线 上 ， 即 且数 列 是 以 为 首 项 ， 为 公 差 的 等 差 数 列 。也 满 足2(),13142()(0, 5()()6fnfnffnf （ ） ，是 单 调 递 增 的 ， 故 的 最 小 值 是 。 11 22121123,),3(),()().(
14、)nnnnnnnbSSSSgg （ ）即 ， ， ,故 存 在 关 于 的 整 式 ， 使 等 式 对 于 一 切 不 小 于 n的 自 然 数 恒 成 立 法二：先由 n=2,n=3 的情况，猜想出 g(n)=n，再用数学归纳法证明。21、 解：（ 1） 由 得432ln1l().xxf()0f,xex0,e(,e()f0 递增 极大值 递减从而 在 单调递增,在 单调递减.()fx0)e(,)e4 分1.2大（2）证明： 1()().2fxfe大 1()2fxe2ln1xe6 分2lnxelnx分别令 ， ， 1,3, 21e2ln 2ln(lll)3 )(22n!6e9 分*1l1)nN
15、（3 ）解：由（1）的结论：方程 有唯一解 (0()2afxRe1a函数 2 1()()()2lnkFxfxax假设 的图象在其公共点 处存在公切线，,g0,y由 得：2(),()2kx00()Fgx，即：200x30xkx又函数的定义域为：20(1),k2(0,)当 时， 函数 与 的图象在其公共点处不存在公切线；k0()x()Fxg当 时，令 即： 即：,2kFg22ln4kk28ln(0)kk下面研究方程 在 解的个数8ln(0,)令： 2()xx214xx在 递减， 递增； 且0,(,)()0且当 ； 当)x,x在 有两个零点(),方程 在 解的个数为 228lnk(0,)综上：当 时，函数 与 的图象在其公共点处不存在公切线；Fx(g当 时，符合题意的 的值有 2 个 14 分k
