1、云南省昆明市 2015 届高三 10 月摸底调研数学文试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1设集合 A=xZ|x24，B=x|x1，则 AB=（ ）A 0，1 B 1，0 C 1，0，1 D 0，1，22在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ）A （1，1） B （1，1） C （1，1） D （ 1，1）3函数 y= 的最小正周期是（ ）AB C 2 D 44双曲线 C： =1（a0，b0）的一条渐近线与直线 x2y+1=0 垂直，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C 2 D5下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（ ）A y=|x+1| B
2、y= C y=2|x| D y=log2|x|6设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x3y 的最小值是（ ）A7 B 6 C 5 D 37已知关于 x 的方程 sinx+ cosxa=0 有实数解，则实数 a 的取值范围是（ ）A 2，2 B （2，2） C 1，1 D 1 ，1+8在ABC 中，点 D 为 BC 的中点，若 AB= ，AC=3，则 =（ ）A 1 B 2 C 3 D 49执行如图的程序框图，如果输入的 x，y，N 的值分别为 1，2，3，则输出的 S=（ ）A 27 B 81 C 99 D 57710若函数 f（x）=ax 2lnx 在（ 0，1上存在唯一零点，则实数 a
3、的取值范围是（ ）A 0，2e B 0， C C、 （ ，1 D （ ，011设抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，以 F 为圆心且经过点 A 的圆与 L 交于 B，D 两点，若 ABD=90，|AF|=2，则 p=（ ）A 1 B C 2 D12如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体体积的最小值等于（ ）A 36 B C 18 D二、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分13现有 3 本不同的语文书，2 本不同的数学书，若从这 5 本书中一次任取 2 本，则取出的书都是语文书的概率为 _ 14甲、乙、丙
4、三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 _ 15已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1=6，AB=4，BC=2，ABC=60，若该三棱柱的所有顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 _ 16已知在ABC 中，C= ，AB=6，则 ABC 面积的最大值是 _ 三、简答题17 （12 分）已知各项为正数的等比数列a n中，a 2=2， a3a5=64（）求数列a n的通项公式；（）设 bn=log2an，求数列b n的前 n 项和 Tn18 （12 分）
5、四棱锥 PABCD 中底面 ABCD 是菱形，PA=PC，AC 与 BD 交于点 O（1）求证：PBAC；（2）若平面 PAC平面 ABCD，ABC=60，PB=AB=2，求点 O 到平面 PBC 的距离19 （12 分）某校高一年级共有 800 名学生，其中男生 480 名，女生 320 名，在某次满分为 100 分的数学考试中，所有学生成绩在 30 分及 30 分以上，成绩在“80 分及 80 分以上”的学生视为优秀，现按性别采用分层抽样的方法抽取 100 名学生，将他们的成绩按30，40） 、40，50） 、50 ，60） 、60 ，70） 、70，80） 、80，90） 、90，100
6、）分成七组，得到的频率分布直方图如图所示：（）估计该年纪本次数学考试成绩的平均分（同一组中的数据用该区间中点值做代表） ；（）请将下列 22 列联表补充完整，计算并说明是否有 95%的把握认为“ 该校学生数学成绩优秀与性别有关”数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生12女生合计100附：K 2= ，其中 n=a+b+c+dP（K 2k 0） 0.15 0.10 0.05k0 2.0722.7063.84120 （12 分）设椭圆 C： =1（ab0）的左焦点为 F（ ，0） ，过 F 的直线交 C于 A，B 两点，设点 A 关于 y 轴的对称点为 A，且|FA|+|FA |=4（）求椭圆 C 的方
7、程；（）若点 A 在第一象限，当 AFA面积最大时，求|AB|的值21 （12 分）已知函数 f（x） =x3+（a+1）x 2+ax2，曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线在 x 轴上的截距为 （）求实数 a 的值；（）证明：当 k1 时，曲线 y=f（x）与 y=（k1）e x+2x2 有唯一公共点选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，CD 是ABC 中 AB 边上的高，以 AD 为直径的圆交 AC 于点 E，一BD 为直径的圆交 BC 于点 F（）求证：E、D、F 、C 四点共圆；（）若 BD=5，CF= ，求四边形 EDFC 外接圆的半径选修 4-4：坐标系与参
8、数方程23 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 2cos4sin=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程是 （t是参数） （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线 l 的参数方程化为普通方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 E，求|EA|+|EB|选修 4-5：不等式选讲24 （10 分）已知函数 f（x） =|2x+b|（）若不等式 f（x）3 的解集是x|1x 2，求实数 b 的值；（）在（）的条件下，若 f（x+3 ）+f（x+1）m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m
9、 的取值范围18（1）证明：连结 OP，因为四棱锥 PABCD 中底面 ABCD 是菱形，PA=PC ，AC 与 BD 交于点 O所以：OP AC，ACBDAC平面 PBD PB平面 PBD所以：PB AC（2）解：平面 PAC平面 ABCD，OP平面 ABCDABC=60，PB=AB=2 OP= AC=2 AO=CO=进一步得到 PBC 为等边三角形所以：V POBC=VOPBC设点 O 到平面 PBC 的距离为 hh=19 解：（）估计该年纪本次数学考试成绩的平均分为0.0435+0.1245+0.255+0.2865+0.1875+0.1285+0.0695=65.4（分） ；（）应抽取
10、男生 60 人，女生 40 人，可得 22 列联表 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计男生 12 48 60 女生 6 34 40 合计 18 82 100K2= 0.4073.841，没有 95%的把握认为“ 该校学生数学成绩优秀与性别有关” 20 解：（I）设 F是椭圆的右焦点，由椭圆的性质和定义可得：|FA|+|FA|=|FA|+|FA|=2a=4解得 a=2，左焦点为 F（ ，0） ，c= ，b2=a2c2=2椭圆 C 的方程为 =1（II）设 A（x 1，y 1） （x 10 ，y 10） ， AFA面积 S= =x1y1 2 = ， 当AFA 面积取得最大时， = ，解得 ，y 1
11、=1由 F（ ，0） ，A ，可得直线 AB 的方程为： ，化为=0，设 B（x 2，y 2） ，联立 ，解得 ， ，可得 B |AB|= = 21 （）解：函数 f（ x）=x 3+（a+1）x 2+ax2 的导数 f（x）=3x 2+2（a+1 ）x+a，即有 f（1）=3a+5，切线斜率为 3a+5，f（1）=2a，切点为（ 1，2a） ，则曲线 y=f（x）在点（1，f（ 1） ）处的切线方程为：y2a=（3a+5） （x1） 令 y=0 则 x= ，由 = ，解得 a=2；（）证明：由题意要证：当 k1 时，曲线 y=f（x）与 y=（k1）e x+2x2 有唯一公共点，即要证 x3
12、+3x2+（1k）e x=0 在 k1 时有唯一解设 g（x）=x 3+3x2+（1k）e x，由于 1k0，则 g（x）x 3+3x2=x2（x+3） ，当 x3 时，g（x）x 2（x+3）0，则 g（x）在 x3 时无零点；当 x3 时，g（x）=3x 2+6x+（1k）e x3x 2+6x=3x（x+2）0，则 g（x）在 x3 时单调递增而 g（ 3）= （1 k）e 30，由于 exe 3，则（1 k） ex（1k）e 3，g（x）=x 3+3x2+（1k）e xx 3+3x2+ x 3+3x2+1k，设 h（x）=x 3+3x2+1k，由于 k10，取 x=k4 3，则 h（x）
13、=h（k 4）=（k4） 3+3（k4） 2+1k，即 h（k4）= （k4） 2（k4）+3+1k=（k1）（k4） 210，即存在 x=k4，使得 g（x）h（x）0，故存在 x0（k4， 3） ，有 g（x 0）=0，综上，当 k1 时，曲线 y=f（x）与 y=（k1）e x+2x2 有唯一公共点22 （）证明：连接 ED，FD ，AD，BD 是直径， AED=BFD=90，DEC=DFC=90，DEC+DFC=180，E、 D、F、C 四点共圆；（）解：DEC=90 ，CD 是四边形 EDFC 外接圆的直径，CD 是ABC 中 AB 边上的高，BD 是四边形 EDFC 外接圆的切线，
14、BD=BFBCBD=5，CF= ，BF=3，同理 CD=四边形 EDFC 外接圆的半径为 23 解：（1）由曲线 C 的极坐标方程 2cos4sin=0，化为 22cos4sin=0，x2+y22x4y=0；由直线 l 的参数方程 （t 是参数）化为 （2）把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程可得： t2t4=0点 E 对应的参数为 t=0设点 A，B 分别对应的参数为 t1，t 2则 t1+t2=1，t 1t2=4|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1t2|= = = 24 解：（）由不等式 f（x）3 可得|2x+b| 3，解得 x 再由不等式 f（x）3 的解集是x|1x 2，可得 =1， =2，解得 b=1（）在（）的条件下，f（x）=|2x1|，设 g（x）=f（x+3）+f（x+1） ，则 g（x）=|2x+5|+|2x+1| |（2x+5） （2x+1）|=4，若 f（x+3）+f （ x+1） m 对一切实数 x 恒成立，应有 4m故实数 m 的取值范围为（，4
