1、云南省昆明市 2015 届高三 10 月摸底调研数学理试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设集合 A=xZ|x24，B=x|x1，则 AB=（ ）A 0，1 B 1，0 C 1，0，1 D 0，1，22在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ）A （1，1） B （1，1） C （1，1） D （ 1，1）3下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（ ）A y=|x+1| B y= C y=2|x| D y=log2|x|4双曲线 C： =1（a0，b0）的一条渐近线与直线 x2y+1=0 垂直，则双曲
2、线 C 的离心率为（ ）AB C 2 D5在ABC 中，点 D 为 BC 的中点，若 AB= ，AC=3，则 =（ ）A 1 B 2 C 3 D 46已知关于 x 的方程 2sin（ x+ ） a=0 在区间0 ，2上有两个不同的实根，则实数 a 的数值范围是（ ）A （ 2，2） B 2，2C 2， ）（ ，2 D （2 ， ）（ ，2）7执行如图所示的程序框图，如果输入的 x，y，N 的值分别为 1，2，3，则输出的 S=（ ）A 27 B 81 C 99 D 5778设 为第四象限的角，若 = ，则 tan=（ ）A B C D 394 名学生从 3 个体育项目中每人选择 1 个项目参加
3、，而每个项目都有学生参加的概率为（ ）AB C D10设抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点 F，准线为 l，A 为 C 上一点，以 F 为圆心且经过点 A 的圆交 l于 B、D 两点，若ABD=90， ABF 的面积为 3 ，则 p=（ ）A 1 B C 2 D11如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体体积的最小值等于（ ）A 36 B C 18 D12已知函数 f（x）=ax 2lnx，若 f（x）存在两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A （0， ） B （0，1） C （， ） D （ ，1二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5
4、分，共 20 分13 （ + ） 6 的展开式中常数项为 _ （用数字作答）14甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 _ 15已知在ABC 中，C= ，AB=6，则 ABC 面积的最大值是 _ 16已知三棱锥 ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，AB 为球 O 的直径，若该三棱锥的体积为 ，BC=2，BD= ，CBD=90 ，则球 O 的表面积为 _ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分
5、）已知各项均为正数的等比数列a n中，a 2=2，a 3a5=64（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn=log2an，求数列a n+1bn+1的前 n 项和 Tn18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA=PC ，（1）证明：PBAC；（2）若平面 PAC平面平面 ABCD，ABC=60 ，PB=AB，求二面角 DPBC 的余弦值19 （12 分）某校高一年级共有 800 名学生，其中男生 480 名，女生 320 名，在某次满分为 100 分的数学考试中，所有学生成绩在 30 分及 30 分以上，成绩在“80 分及 80 分以上” 的学生视为优秀现按
6、性别采用分层抽样的方法共抽取 100 名学生，将他们的成绩按30，40、40，50、50 ，60 、60 ，70、70，80、80，90、90，100分成七组得到的频率分布直方图如图所示：（1）请将下列 22 列联表补充完整，计算并说明是否有 95%的把握认为“ 该校学生数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生 12女生合计 100（2）在第 1 组、第 7 组中共抽处学生 3 人调查影响数学成绩的原因，记抽到“成绩优秀” 的学生人数为 X，求 X 的分布列及期望附：K 2= ，其中 n=a+b+c+dP（K 2k0） 0.15 0.10 0.05K0 2.0722.706
7、3.84120 （12 分）设椭圆 C： =1（ab0）的左焦点为 F（ ，0） ，过 F 的直线交 C 于 A，B 两点，设点 A 关于 y 轴的对称点为 A，且|FA|+|FA|=4（）求椭圆 C 的方程；（）若点 A 在第一象限，当 AFA面积最大时，求|AB|的值21 （12 分）已知函数 f（x） =exax2，曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线在 x 轴上的截距为 （1）求实数 a 的值；（2）设 g（x）=f（2x）f（x） ，求证：g（x）在 R 上单调递增一、选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，CD 是ABC 中 AB 边上的高，以 AD 为直径的
8、圆交 AC 于点 E，一 BD 为直径的圆交BC 于点 F（）求证：E、D、F 、C 四点共圆；（）若 BD=5，CF= ，求四边形 EDFC 外接圆的半径一、选修 4-4-：坐标系与参数方程23已知曲线 C 的极坐标方程是 2cos4sin=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程是 （t 是参数） （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线 l 的参数方程化为普通方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 E，求|EA|+|EB|一、选修 4-5：不等式选讲24已知函数 f（x）=|2x
9、+b| （）若不等式 f（x）3 的解集是x|1x 2，求实数 b 的值；（）在（）的条件下，若 f（x+3 ）+f（x+1）m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围18 （）证明：连接 PO，四边形 ABCD 是菱形，ACBD，且 O 为 AC 和 BD 的中点，又 PA=PC，AC PO，BDPO=O ， BD、PO平面 PBD，AC平面 PBD，PB平面 PBD，PBAC（）解：平面 PAC平面 ABCD，平面 PAC平面 ABCD=AC， ACPO，PO平面 PAC，PO平面 ABCD，BD平面 ABCD，POBD，过点 O 作 OHPB 于点 H，连结 CH，得 CHPB，
10、OHC 是二面角 DPBC 的平面角，设 PA=AB=a，在菱形 ABCD 中，ABC=60，AB=BC=AC，CO= ，BO= ，在 RtPOB 中，PO= = = ，OH= = ，在 RtCOH 中，CH= = = ，= ，二面角 DPBC 的余弦值 19 解：（）应抽取男生 60 人，女生 40 人，22 列联表如下：数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计男生 12 48 60女生 6 34 40合计 18 82 100k2= =0.4073.841，计算结果表明，没有 95%把握认为 “该校学生数学成绩优秀与性别有关”（）X 的可能取值为 0，1 ，2，3，P（X=0）=C = ，P（X=
11、1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ，X 的分布列为X 0 1 2 3PE（X）= = 20 解：（I）设 F是椭圆的右焦点，由椭圆的性质和定义可得：|FA|+|FA|=|FA|+|FA|=2a=4解得 a=2，左焦点为 F（ ，0） ，c= ，b 2=a2c2=2椭圆 C 的方程为 =1（II）设 A（x 1，y 1） （x 10 ，y 10） ， AFA面积 S= =x1y1 2 = ， 当AFA 面积取得最大时， = ，解得 ，y 1=1由 F（ ，0） ，A ，可得直线 AB 的方程为： ，化为 =0，设 B（x 2，y 2） ，联立 ，解得 ， ，可得 B |AB
12、|= = 21 解：（1）函数的导数 f（x）=e x2ax，f（1）=e 2a，f （1）=e a，y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y（ea ）=（e2a） （x 1） ，由 y=0，得 x= ，切线在 x 轴上的截距为 = 解得 a=1（2）由（1）知 f（x）=f（x ）=e xx2，则 g（x）=e 2xex3x2，函数的导数 g（x）=2e 2xex6x，令 h（x）=2e 2xex6x，h（x）=2e 2xex6，令 h（x）0，得 或 （舍去） ，当 xln 时，h（x）递增，当 xln 时，h（x）递减，h（x）h（ ）=2 （ ） 2 6ln = 6ln =
13、，下面证明：ln（x+1 ） x， （x1） ，设 d（x）=ln（ x+1）x，则 d（x）= ，则 d（x）在（1，0）上单调递增，在（ 0，+）上单调递减，d（x）d（0 ）=0 ，ln（x+1 ） x，ln（ +3） ，h（x） ，即 g（x）在 R 上单调递增22 （）证明：连接 ED，FD ，AD，BD 是直径，AED= BFD=90，DEC=DFC=90 ，DEC+DFC=180 ，E、D、F、C 四点共圆；（）解：DEC=90 ，CD 是四边形 EDFC 外接圆的直径，CD 是ABC 中 AB 边上的高，BD 是四边形 EDFC 外接圆的切线，BD=BFBCBD=5，CF= ，
14、BF=3，同理 CD=四边形 EDFC 外接圆的半径为 23 解：（1）由曲线 C 的极坐标方程 2cos4sin=0，化为 22cos4sin=0，x 2+y22x4y=0；由直线 l 的参数方程 （t 是参数）化为 （2）把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程可得： t2t4=0点 E 对应的参数为 t=0设点 A，B 分别对应的参数为 t1，t 2则 t1+t2=1，t 1t2=4|EA|+|EB|=|t 1|+|t2|=|t1t2|= = = 24 解：（）由不等式 f（x）3 可得|2x+b| 3，解得 x 再由不等式 f（x）3 的解集是x|1x 2，可得 =1， =2，解得 b=1（）在（）的条件下，f（x）=|2x1|，设 g（x）=f（x+3）+f（x+1） ，则 g（x）=|2x+5|+|2x+1| |（2x+5） （2x+1）|=4，若 f（x+3）+f （ x+1） m 对一切实数 x 恒成立，应有 4m故实数 m 的取值范围为（，4
