1、【名师解析】江西省南昌二中 2015 届高三上学期第四次月考数学（文）试题【试卷综述】本次数学试卷的特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力，有利于提高区分度，在适当的规划和难度控制下，效果明显。通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求，提高了试题的区分度，这和当前课改的教学要求、中学的教学实际以及学生学习的实际情况是吻合的. 【题文】一、选择题（每小题 5 分，10 小题，共 50 分）【题文】1. 已知 R 是实数集， ，则 N RM=（ ）A （1，2） B 0，2 C （0，2） D 1，2【知识点】集合 A1【答案】 【
2、解析】D 解析：M=x| 1=x|x0，或 x2，N=y|y= +1=y|y1 ，CRM=x|0x2，故有 NC RM=y|y1 x|0x2=1，+）0，2=1，2，故选 D【思路点拨】根据已知条件分别求出集合，再求两个集合的交集.【题文】2. 是 z 的共轭复数，若 z+ =2， （z ）i=2（i 为虚数单位） ，则 z=（ ）A1+i B 1iC 1+iD 1i【知识点】复数的运算 L4【答案】 【解析】D 解析：由于， （z ）i=2，可得 z =2i 又 z+ =2 由解得 z=1i故选 D【思路点拨】根据复数的运算可直接计算出复数 z.【题文】3. 已知命题 p：函数 y=ax+1
3、+1（a 0 且 a1）的图象恒过（1，2）点；命题 q：已知平面 平面 ，则直线 m 是直线 m 的充要条件；则下列命题为真命题的是（ ）Apq Bpq Cpq Dpq【知识点】命题 A2【答案】 【解析】D 解析：当 x+1=0 时，x=1，此时 y=1+1=2，即函数 y=ax+1+1（a0且 a1）的图象恒过（1，2）点，即命题 p 为真命题若直线 m，则 m 或 m，充分性不成立，若直线 m，则 m 或 m，必要性不成立，即直线 m 是直线 m 的既不充分也不必要条件，即命题 q 为假命题，则 pq 为真命题，故选：D【思路点拨】由题意可依据直线与平面平行的判定确定命题的真伪，再找出
4、正确选项.【题文】4. 运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于 3，则 t 的取值范围为（ ）ABCD【知识点】程序框图 L1【答案】 【解析】B 解析：第一次执行循环结构：n0+2，x2t，a21；n=24，继续执行循环结构第二次执行循环结构：n2+2，x22t，a41；n=4=4，继续执行循环结构，第三次执行循环结构：n4+2，x24t，a63；n=64，应终止循环结构，并输出 38t由于结束时输出的结果不小于 3，故 38t3，即 8t1，解得 t 故答案为：B【思路点拨】按程序所给定的过程进行计算，可直接求出结果.【题文】5. 一个体积为 12 的正三棱柱的三视图如图所示，则这个
5、三棱柱的侧视图的面积为（ ）A6 B8 C8 D12【知识点】三视图 G2【答案】 【解析】A 解析：设棱柱的高为 h，由左视图知，底面正三角形的高是 ，由正三角形的性质知，其边长是 4，故底面三角形的面积是 =4 由于其体积为 ，故有 h = ，得 h=3由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是 3，其面积为 3 =故选 A【思路点拨】由三视图可找出几何体的原图数据，再计算出三棱柱的面积.【题文】6. 在下列直线中，与非零向量 =（A，B ）垂直的直线是（ ）AAx+By=0 B AxBy=0CBx+Ay=0 D BxAy=0【知识点】向量的运算 F2【答案】 【解析】A
6、解析：Ax+By=0 的方向向量是（B，A） ，AxBy=0 的方向向量是（B，A） ，Bx+Ay=0 的方向向量是（A，B） ，BxAy=0 的方向向量是（A，B） ，与非零向量 =（A，B）垂直的直线是 Ax+By=0故选：A【思路点拨】由向量的定义与直线相互垂直的关系可求出正确结果.【题文】7. 在ABC 中， BAC=60，AB=2，AC=1 ，E，F 为边 BC 的三等分点，则=（ ）ABCD【知识点】向量的加减运算 F2【答案】 【解析】A 解析：在ABC 中，BAC=60，AB=2，AC=1，根据余弦定理可知 BC=由 AB=2，AC=1，BC= 满足勾股定理可知BCA=90以
7、C 为坐标原点，CA、CB 方向为 x，y 轴正方向建立坐标系AC=1，BC= ，则 C（0，0） ，A（1，0） ，B（0， ）又E，F 分别是 RtABC 中 BC 上的两个三等分点，则 E（0， ） ，F（0， ）则 =（1， ） ， =（1， ） =1+ =故选 A【思路点拨】根据向量运算的三角形法则可分别求出 ， 的坐标，再求出它们的数量积.【题文】8. 设二次函数 f（x ）=ax 24x+c（xR）的值域为 0，+） ，则 的最小值为（ ）A3 BC5 D7【知识点】基本不等式 E6【答案】 【解析】A 解析：由题意知，a0，=14ac=0，ac=4，c0，则 则 2 =3，当且
8、仅当 时取等号，则 的最小值是 3故选 A【思路点拨】由已知条件求出 ac 的值，再由基本不等式可求出 的最小值.【题文】9. 已知函数 f（x） =x2+bx 的图象在点 A（1，f（1） ）处的切线 l 与直线 3xy+2=0平行，若数列 的前 n 项和为 Tn，则 T2014 的值为（ ）A 201B 013C 2034D 20145【知识点】数列与数列求和 D4【答案】 【解析】C 解析：函数 f（x）=x 2+bx 的图象在点 A（1，f（1） ）处的切线 l与直线 3xy+2=0 平行，由 f（x）=x 2+bx 求导得：f（x）=2x+b，由导函数得几何含义得：f（1）=2+b=
9、3b=1，f（x）=x 2+x所以 f（n）=n（n+1） ，数列 的通项为 = = ，所以 的前 n 项的和即为 Tn，则利用裂项相消法可以得到：=1所以数列的前 2014 项的和为：T 2014= 20134故选 C【思路点拨】根据条件可求出函数与数列的关系，再利用裂项求和法求出数值.【题文】10. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度 h随时间 t 变化的可能图象是（ ）ABCD【知识点】三视图 G2【答案】 【解析】B 解析：该三视图表示的容器是倒放的圆锥，下面细，上面粗，随时间的增加，可以得出高度增加的越越慢刚开始高度增加的相对快些曲线越“竖直” ，之后，
10、高度增加的越越慢，图形越平稳故选 B【思路点拨】由三视图得到容器的形状，再由几何体的体积变化得到正确结果.二、填空题（每小题 5 分，5 小题，共 25 分）【题文】11. 已知 tan（ ）= ，则 cos（ +2）的值为 【知识点】三角函数的诱导公式 C2【答案】 【解析】C 解析：设 t= ，即 = t，tant= ，则 cos（ +2）=cos（2t）=cos2t= = 故答案为： 【思路点拨】由已知条件可利用整体变换角的形式化简求值.【题文】12. 有五条线段，长度分别为 1，3，5，7，9，从中任意取三条，一定能构成三角形的概率是 【知识点】概率 K2 K3【答案】 【解析】C 解
11、析：显然共有1，3，5；1，3，7；1，3，9；1，5，7；1，5，9；1，7，9；3，5，7；3，5，9；3，7，9；5，7，9共 10 种情况根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边其中能构成三角形的有 3，5，7；3，7，9；5，7，9三种情况，故概率是 故填： 【思路点拨】由已知求出各各种情况，再根据概率的定义求值即可.【题文】13. 若实数 x，y 满足 的最小值是 【知识点】简单的线性规划 E5【答案】 【解析】C 解析：令 t=x+2y作出不等式组表示的平面区域，如图所示由于 t=x+2y 可得 y= ，根据直线在 y 轴上的截距越大，t 越大直线 t
12、=x+2y 平移到点 O（O，0）时，t 取得最小值 0，此时，z=1故答案为：1【思路点拨】由已知条件可求出可行域，再求出最小值.【题文】14. 圆心在直线 x2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为2 ，则圆 C 的标准方程为 【知识点】圆的标准方程 H3【答案】 【解析】C 解析：设圆心为（2t，t） ，半径为 r=|2t|，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 ，t 2+3=4t2，t=1，其中 t=1 不符合题意，舍去，故 t=1，2t=2，（x2） 2+（y1） 2=4故答案为：（x2） 2+（y1） 2=4【思路点拨】根据已知条件可求出圆心到直线
13、的距离、半径及弦的一半的关系求出圆心坐标，再列出方程.【题文】15. 函数 在0，上是减函数；点 A（1，1） 、B（2，7）在直线 3xy=0 两侧；数列a n为递减的等差数列，a 1+a5=0，设数列a n的前 n 项和为 Sn，则当 n=4 时，Sn 取得最大值；定义运算 则函数 的图象在点处的切线方程是 6x3y5=0其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上） 【知识点】三角函数；数列；函数的性质 B1 C3 D1【答案】 【解析】C 解析：，y=sin（x ）=cosx，在0，上是增函数，故错误；，将 A（1，1） 、B（2，7）的坐标分别代入 3xy 得（311）（327
14、）=20，故点 A（1，1） 、B（2，7）在直线 3xy=0 两侧，即正确；，数列a n为递减的等差数列，a 1+a5=0，又 a1+a5=2a3，2a 3=0，故当 n=2 或 3 时 Sn取得最大值，故错误；， =a1b2a 2b1，f（x）= = x3+x2x，f（x）| x=1=（x 2+2x1）| x=1=2，f（x）的图象在点（1， ）处的切线方程为：y =2（x1） ，整理得：6x3y5=0，故正确；综上所述，正确答案为故答案为：【思路点拨】根据已知条件对各项进行分析判定，最后找出正确结果.三、解答题（6 小题，共 75 分）【题文】16. 已知函数 （其中 为正常数，xR）的
15、最小正周期为 （I）求 的值；（II）在ABC 中，若 AB，且 ，求 【知识点】三角函数的化简求值 C7【答案】 【解析】(I) =1 (II) 解析：2= = （4 分）而 f（x）的最小正周期为 ， 为正常数， ，解之，得 =1 （6 分）（2）由（1）得 若 x 是三角形的内角，则 0x， 令 ，得 ， 或 ，解之，得 或 由已知，A，B 是ABC 的内角，AB 且 ， ， ， （10 分）又由正弦定理，得 （12 分）【思路点拨】首先根据已知条件对函数式进行化简，根据化简结果求出 的值，再根据条件求出三角形的三个角，利用正弦定理可求出【典例剖析】求三角函数周期的问题，一般要化成一个三
16、角函数式，再对周期进行求解.【题文】17. 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为 15，边界忽略不计）即为中奖乙商场：从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球（球除颜色外不加区分） ，如果摸到的是 2 个红球，即为中奖问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？【知识点】概率 K1 K2 K3【答案】 【解析】 P 1P 2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大 解析：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积 R 2，
17、阴影部分的面积为 ，则在甲商场中奖的概率为： ；如果顾客去乙商场，记 3 个白球为 a1，a 2，a 3，3 个红球为 b1，b 2，b 3，记（x，y）为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：（a 1，a 2） ， （a 1，a 3） ， （a 1，b 1） ， （a 1，b 2） ， （a 1，b 3）（a 2，a 3） ， （a 2，b 1） ， （a 2，b 2） ， （a 2，b 3） ，（a 3，b 1） ， （a 3，b 2） ， （a 3，b 3） ，（b 1，b 2） ， （b 1，b 3） ，（b 2，b 3） ，共 15 种，摸到的是 2 个红球有（b 1，b 2） ， （
18、b 1，b 3） ， （b 2，b 3） ，共 3 种，则在乙商场中奖的概率为：P 2= ，又 P1P 2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大【思路点拨】甲商场中奖概率为几何概型，可根据面积求，乙商场可根据结果求出概率.【题文】18. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB=2，AC=AA 1=4，ABC=90 （I）求三棱柱 ABCA1B1C1 的表面积 S；（II）求异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值【知识点】几何体的表面积；异面直线所成的角 G7 G11【答案】 【解析】(I) 24+12 (II) 解析：（1）在ABC 中，因为AB=2，AC=4，ABC=90，所
19、以 BC= （1 分）SABC = ABBC=2 （1 分）所以 S=2SABC +S 侧 =4 +（2+2 +4）4=24+12 （3 分）（2）连接 BC1，因为 ACA 1C1，所以BA 1C1就是异面直线 A1B 与 AC 所成的角（或其补角）（1 分）在A 1BC1中，A 1B=2 ，BC 1=2 ，A 1C1=4，（1 分）由余弦定理可得 cosBA 1C1=【思路点拨】根据几何体的表面积的构成可直接求出结果，第二步先找出异面直线所成的角，再利用余弦定理求出其余弦值.【题文】19. 已知等差数列a n的首项 a1=1，公差 d0，且 a2，a 5，a 14 分别是等比数列bn的 b
20、2，b 3，b 4（）求数列a n与b n的通项公式；（）设数列c n对任意自然数 n 均有 =an+1 成立，求 c1+c2+c2014的值【知识点】数列的通项公式；数列求和 D2 D3 D4【答案】 【解析】(I) (II) 解析：（）12,3nnab2014123cca 2=1+d，a 5=1+4d，a 14=1+13d，a 2，a 5，a 14成等比数列，（1+4d） 2=（1+d） （1+13d） ，解得 d=2，a n=1+（n1）2=2n1；又 b2=a2=3，b 3=a5=9，q=3，b 1=1，b n=3n1 （） + + =an+1， =a2，即 c1=b1a2=3，又 +
21、 + =an（n2） ， =an+1a n=2（n2） ，c n=2bn=23n1 （n2） ，c n= c 1+c2+c2014=3+23+232+232013=3+2（3+3 2+32013）=3+2 =32014【思路点拨】根据已知条件列出等差数列与等比数列的关系式，求出公差与公比，写出通项公式，找出数列c n的特点，再根据条件求出数值.【题文】20. 如图，AB 为圆 O 的直径，点 E、F 在圆 O 上，且 ABEF，矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直，且 AB=2，AD=EF=AF=1（I）求四棱锥 FABCD 的体积 VFABCD（II）求证：平面 AFC平面
22、 CBF（III）在线段 CF 上是否存在一点 M，使得 OM平面 ADF，并说明理由【知识点】几何体的体积；面面垂直的判定；线面平行的判定 G4 G5 G7 【答案】 【解析】(I) (II)略(III) 略 解析：（1）3FABCDVAD=EF=AF=1OAF=60作 FGAB 交 AB 于一点 G，则平面 ABCD平面 ABEFFG面 ABCD（3 分）所以（2）平面 ABCD平面 ABEF，CBAB，平面 ABCD平面 ABEF=AB，CB平面 ABEF，AF平面 ABEF，AFCB，又AB 为圆 O 的直径，AFBF，AF平面 CBFAF面 AFC，平面 AFC平面CBF；（3）取 CF 中点记作 M，设 DF 的中点为 N，连接 AN，MN则 MN ，又 AO ，则 MN AO，所以 MNAO 为平行四边形， （10 分）OMAN，又 AN平面 DAF，OM 平面 DAF，OM平面 DAF （12 分）
