1、【名师解析】江西省南昌二中 2015 届高三上学期第四次月考数学（理）试题【试卷综述】突出考查数学主干知识 ，侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数的主体内容，解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识.明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.【题文】一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）【题文】1设集合 ， ，若 ，则 （ 2,logPa2,aQb0QPP）A. B. C. D.0,010,123【知识点】集合的三大特性 A1【答案】 【解析】B 解析： 所以 B 为正确
2、选项.,2,10,【思路点拨】按集合的性质分别求出集合 P,Q.再求两个集合的并集.【题文】2下列命题中是假命题的是（ ）A ,lg()lgabRab、 ;B 使得函数 sin(2)fx是偶函数；C ,使得 cocos；D 243()1)mmf、 是幂函数，且在 (0,)上递减；【知识点】命题 A2【答案】 【解析】A 解析：因为当 所以 A 为假,lg2lg2lab命题.【思路点拨】根据对数的运算法则可判定结果.【题文】3 2014cos()3的值为（ ）A B 2 C 12 D 32【知识点】三角函数的诱导公式 C2【答案】 【解析】C 解析：所以正确选项为 C.201441coscos6
3、70coss3332【思路点拨】由三角函数的诱导公式可以计算出正确结果.【题文】4定义在 上的奇函数 满足 ，当 时，R()fx(1)()ffx(0,，则 在区间 内是（ ）12()log()fxx3,2A减函数且 B减函数且0f()0fxC增函数且 D增函数且()0fx()0fx【知识点】函数的奇偶性与单调性. B4【答案】 【解析】B 解析：由题意可知函数 为周期为 2 的函数，再由复合函数的性f质可知函数 在 上为增函数，利用奇函数与周期可知 B 正确.12()log()fxx1(0,2【思路点拨】根据函数的奇偶性与单调性可直接求出结果.【题文】5已知数列 的前 项和 ，则数列 （ ）n
4、a1(0)nSanaA. 一定是等差数列 B. 一定是等比数列C. 或者是等差数列，或者是等比数列 D. 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列【知识点】数列的定义 D1【答案】 【解析】C 解析：当 时数列为等差数列，为其它不等于零的值时为等比数1a列，所以正确选项为 C.【思路点拨】根据等差数列与等比数列的定义可以找出正确选项.【题文】6已知实数 x，y 满足约束条件Error! 则 zx 3y 的最大值等于( )A9 B12 C27 D36【知识点】简单的线性规划 E5【答案】 【解析】B 解析：由题意可知目标函数在 与 的交点处取得最290大值，因为交点为 ，代入可得 ，所以 B 为正
5、确选项.3,max12Z【思路点拨】根据线性规划的意义可找到最大值点，再求出最大值.【题文】7. 将函数 )3cos(y的图像上各点的横坐标伸长到原的 2倍（纵坐标不变） ，再向左平移 6个单位，所得图像的一条对称轴方程为（ ） A. 9x B. 8x C. 2x D. x【知识点】三角函数的图像与性质 C4【答案】 【解析】C 解析：由题意可知横坐标伸长到原的 2倍，函数式变为，再向左平移 6个单位可得 ，1cos23yx 11coscos2634yxx所以对称轴方程为 ，当 时，可得 C 为正确选项.24kx0k【思路点拨】由三角函数的图像可列出关系式，求出其中正确的选项.【题文】8. 已
6、知 为数列 的前 项和，且满足 ， ，则nSna1a13()nnN（ ）2014SA B C D1073210732043204【知识点】数列的求和 D4【答案】 【解析】A 解析：由 anan+1=3n，得 （n2） ， ，则数列a n的所有奇数项和偶数项均构成以 3 为公比的等比数列，又 =2310072故选：A【思路点拨】由数列递推式得到数列a n的所有奇数项和偶数项均构成以 3 为公比的等比数列，分组后利用等比数列的求和公式得答案【题文】9 中， ，AB=2，AC=1，D 是边 BC 上的一点（包括端点）BC120A，则 的取值范围是（ ）A 1，2 B0，1 C 0，2 D 5，2【
7、知识点】平面向量数量积的运算 F3【答案】 【解析】D 解析：D 是边 BC 上的一点（包括端点） ，可设 = +（01） BAC=120，AB=2，AC=1， =21cos120=1 = + = +=（21）4+1=7+201，（7+2）5，2 的取值范围是5，2故选：D【思路点拨】由于 D 是边 BC 上的一点（包括端点） ，利用向量共线定理：可设 = +（01） 由BAC=120，AB=2，AC=1，可得 =21cos120=1代入利用数量积运算性质即可得出 =7+2再利用一次函数的单调性即可得出【题文】10已知函数 221,3lnfxaxgxb设两曲线,yfxg有公共点，且在该点处的切
8、线相同，则 (0,)a时，实数 b的最大值是（ ）A 613e B 61e C237eD23e【知识点】导数 B11【答案】 【解析】D 解析：设 y=f（x）与 y=g（x） （x0）在公共点（x 0，y 0）处的切线相同、f（x）=x+2a，g（x）= ，由题意 f（x 0）=g（x 0） ，f（x 0）=g（x 0） ，即 由 x0+2a= 得 x0=a 或 x0=3a（舍去） ，即有 b= a2+2a23a 2lna= a23a 2lna令 h（t）= t23t 2lnt（t0） ，则 h（t）=2t（13lnt） 、于是当 t（13lnt）0，即 0t 时，h（t）0；当 t（13l
9、nt）0，即 t 时，h（t）0故 h（t）在（0， ）为增函数，在（ ，+）为减函数，于是 h（t）在（0，+）的最大值为 h（ ）= ，故 b 的最大值为 【思路点拨】利用 a 的表达式表示 b，然后利用导数研究 b 的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）【题文】11 CBA是正三角形 ABC 的斜二测画法的水平放置直观图，若 CBA的面积为 3，那么 ABC的面积为 【知识点】斜二测画法 G2【答案】 【解析】 解析：由题意可设正三角形的边长为 a，则在斜二测画法中，三角26形的高为 ，因
10、为面积等于8a221633,8=6284aSa正【思路点拨】由斜二测画法的定义可求出三角形的边长，再求出其面积.【题文】12若 是正项递增等比数列， 表示其前 项之积，且 ，则当 取n nT102TnT最小值时， 的值为_【知识点】等比数列的性质 D3【答案】 【解析】15 解析：根据 ，得出102， ，所以121320129156,aaaa 156a所以 最小，所以 n 的值为 1556,5T【思路点拨】由题意可根据等比数列的性质求出各项的大小关系，再确定 n 的值.【题文】13.设 ,xyz均为正数,满足 230xyz,则2yx的最小值是 .【知识点】基本不等式 E6【答案】 【解析】3
11、解析：由基本不等式可得，所以最小值为 3.2213233yyxzxzyzxz【思路点拨】由题意可列出不等式，再求出最小值.【题文】14已知向量 与向量 的夹角为 ，若 且 ，则 在ab10()(2)abab上的投影为 a【知识点】向量的运算 F2【答案】 【解析】 解析：因为向量 与向量 的夹角为 120，所以 在 上的投影为 ，问题转化为求 ，因为 ，故 ，所以 在 上的投影为 故答案为： 【思路点拨】因为向量 与向量 的夹角为 120，所以 在 上的投影为，问题转化为求 【题文】15.下列四个命题：函数 与 的图像关于直线 对称；()yfaxR()yfaxRxa函数 的值域为 ，则实数 的
12、取值范围为 ；2lg)a0,1在 ABC中， “ 30”是 “ 21sinA”的充分不必要条件；数列 的通项公式为 ，若 是单调递增数列，则实na()aNn数 的取值范围为 。(,)其中真命题的序号是_ 【知识点】函数的性质 B1 B7 B14【答案】 【解析】 解析：函数 关于 对称，所以命题错误，fxafx与 a命题根据对数函数的值域为 R 的条件可知命题正确，命题当 ，所150,sin2A以原命题不是充分不必要条件，所以错误，命题 单调递增数2()nN列，则 且 ，所以 ，所以正确.2412a3【思路点拨】对每一个命题进行分析，再根据各自特点进行判断.【题文】三、解答题：本大题共 6 小
13、题，共 75 分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤【题文】16、 （本小题满分 12 分）已知集合 UR，集合 |(2)30Ax，函数2()lgxay的定义域为集合 B（I）若 12a，求集合 ()UCB；（II）命题 :px，命题 :qx，若 是 p的必要条件，求实数 a的取值范围【知识点】集合；命题与充要条件 A1 A2【答案】 【解析】C 解析：（1）因为集合 |23Ax，因为 12函数29()4lg=lg1xxay，由 2x0，可得集合 |2B19|24UBx、， 故 ()|3Ax. （2）因为 q是 p的必要条件等价于 p是 q的充分条件，即 AB由 |x，而集合 B应满足2(
14、)0xa，因为 2217()04a故 |B， 依题意就有： 23a， 即 1或 2a所以实数 的取值范围是 (-,1. 【思路点拨】根据题意求出集合，再由条件求出 a 的取值范围.【题文】17(本小题满分 12 分)已知几何体 BCEDA的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为 4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体 BCEDA的体积为 16（I）求实数 a的值；（II）将直角三角形 绕斜边 旋转一周，求该旋转体的表面积【知识点】三视图；几何体的体积与表面积 G2 G8【答案】 【解析】C 解析：（1）由该几何体的三视图知 AC面 BCED，且EC=BC=AC=4，BD= a，
15、体积 1(4)6,232V； （2）在 中， ， ， ，RTABDBD6A过 B 作 AD 的垂线 BH，垂足为 H，易得 ，43该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为 ，423BH所以圆锥底面周长为 ，两个圆锥的母线长分别为 和 2，4283C 4故该旋转体的表面积为 1(28)()3S【思路点拨】由三视图可求出线段长度，再求出旋转体的表面积.【题文】18. (本小题满分 12 分) 已知函数 ，数列 的前 项和为 ，点 均在函213fxxnanS,nN数 的图象上 .y（I）求数列 的通项公式 ；nan（II）令 ，证明： .1c1212ncc【知识点】数列 D1 D4【答案】 【解
16、析】C 解析：（1） 点 在 的图象上， ，,nSfx23nS当 时， ；2n1nnaS当 时， 适合上式， ；121naN（2）证明：由 ，1221nc n，又 ，1nc 1nc22342c n ， 成立.1n121cc【思路点拨】根据数列前 n 项和与通项的关系可求出通项公式，再根据数列特点证明不等式.【题文】19. (本小题满分 12 分) 已知 ABC的角 、所对的边分别是 abc、，设向量 ，(,)mab， .sin,co)(1,p（I）若 ，求角 B 的大小； m（II）若 4， 边长 2c，求 AC的面积的最大值【知识点】向量的运算 F2【答案】 【解析】C 解析：（1） cos
17、inaBbAmn2sinco2sinRAR，cosin,ta1.0,4BB（2）由 得 4b，mp由均值不等式有 （当且仅当 时等号成立） ，2()2ab又 ,22 3131()()42cosaabaCbb所以 ,从而 （当且仅当 时等号成立） ，(03sin(0,2b于是 ，13422ABCSa即当 时， 的面积有最大值 b【思路点拨】根据向量的运算可建立关系式，再通过不等式求出面积的最大值.【题文】20. (本小题满分 13 分)已知等差数列 的前 项和为 ，并且 ， ，数列 满足：nanS2a51Snb， ，记数列 的前 项和为 .12b1(nbNbnnT（I）求数列 的通项公式 及前
18、项和公式 ；nn（II）求数列 的通项公式 及前 项和公式 ；n（III）记集合 ，若 的子集个数为 16，求实数2(T)|,SMNM的取值范围。【知识点】数列的概念与性质 D1【答案】 【解析】C 解析：（1）设数列 的公差为 ，nad由题意得 ，解得 ， ， 。1250ad1d2nS（2）由题意得 ，nb叠乘得 .12112()nn nnb 由题意得 23nT412n n 得： 111()11 2228nnn nT nn（3）由上面可得 ，令 ，2()nnS2()nf则 ， ， ， ， 。(1)f32)ff5416下面研究数列 的单调性，(n ，221 1)()2(1) nnfnf 时，
19、， ，即 单调递减。3(0f()ff(f集合 的子集个数为 16， 中的元素个数为 4，MM不等式 ， 解的个数为 4，2nN 156【思路点拨】由题意根据数列的概念可求出通项公式，再利用错位相减法求和，最后利用不等关系确定 的值.【题文】21(本小题满分 14 分) 已知函数 .()ln1)()fxx（I）求 的单调区间；()fx（II）已知数列 的通项公式为 ，求证：na2nnaN（ 为自然对数的底数） ；54234nae（III）若 ，且 对任意 恒成立，求 的最大值。kZ2(1)xf1xk【知识点】导数；不等式 B11 E1【答案】 【解析】C 解析：（1）因 ，所以 。()ln)f1
20、()1xfx当 时， ；当 时， 。(,0)x()0fx,(0fx所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 。f 1),)（2）由（1）知，当 时， ，即 。(0fxln1因为 ，所以 。2(nnaN22l(kkka令 ，这 个式子相加得,3k 12 232211ll()()3nna n 2) 4(n1()()41.15)22nn即 ，所以 。235ln()4na 434nae（3）令 ，则 。2(1l(1)xfxg2l()1)xg令 ，则 ，故 在 上单调递增，()lh()0hhx,而 ， ，1n3042ln所以 存在唯一零点 ，即 。x3,x0l2当 时， ，即 ；0(,)0()()gx当 时， ，即 。()h所以 在 上单调递减，在 上单调递增，g1, 0,故 。0min 0ln1()()()xx x由题意有 ，又 ， ，所以 的最大值是 3。inkkZ03,4k【思路点拨】由导数判定函数的单调区间，再根据对数的运算列出不等式进行证明，最后构造函数利用导数判定 k 的最大值.
