1、【名师解析】湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学 2015 届高三 10 月四校联考数学（文）试题本试卷是高三文试卷，以基础知识和基本技能力载体.突出考查学生分析问题解决问题的能力以及运算能力，试题重点考查：不等式、复数、向量、函数图像，数新定义、数列、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一，选择题(本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分)【题文】1 已知集合 A=x ,B=x ,则 ( )03x24ABA B2x3x或 1, 1b= 0, c=cos 0 且 a 1,则下xa列所给图像中可能正确的是（ ）A
2、【知识点】函数的图像 B8【答案解析】D 正弦函数的周期公式 T= ，y=sinax 的最小正周期 T= ；对于22aA：T2，故 a1，因为 y=ax 的图象是增函数，故错；对于 B：T2，故 a1，而函数 y=ax 是减函数，故错；对于 C：T=2，故 a=1，y=a x=1，故错；对于 D：T2，故 a1，y=a x 是减函数，故对；故选 D【思路点拨】本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数和三角函数的图象的特征进行判定【题文】9 已知函数 f(x)= 则-2 a 1 是 f(x)在 R 上单调递增的（ ）21,axA.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充分必要条
3、件 D 既不充分也不必要条件【知识点】函数的单调性与最值 B3【答案解析】B 函数 f（x）=x 2+ax+1 在1，+）上单调递增则 a-2函数 f（x）=ax 2+x+1 在（-，1）上单调递增则- a0 而函数 f(x)= 1221,ax在 R 上单调递增则- a0， - a0-2a0“-2a0”是“f（x）在 R 上单调递增”的必2要而不充分条件，故选：B【思路点拨】先求出函数 f(x)= 在 R 上单调递增是 a 的取值范围，然后21,ax根据“谁大谁必要，谁小谁充分” 的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系，若 pq 为假命题且qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分
4、条件，即可得到结论【题文】10 已知函数的定义域是-2，+ ）且 f(4)=f(-2)=1, 为 f(x)的导函数，且()fx的图像如下图所示，则不等式组 所围成的平面区域的面积是（ ）()fx 0(2)1xyfA 4 B 5 C 8 D 2【知识点】简单的线性规划问题 E5【答案解析】A 由导函数的图象得到 f（x）在-2，0 递减；在0，+）递增f（4）=f（-2） =1f（2x+y）1 -22x+y4 表示的平面区域如下0(2)1xyf024xy所以平面区域的面积为 24=4 故选 A1【思路点拨】利用导函数的图象判断出函数的单调性；利用函数的单调性化简不等式f（2a+b）1 ；画出不等
5、式组表示的平面区域；利用三角形的面积公式求出区域的面积【题文】二.填空题(本大题共 7 个小题，每小题 5 分，共 35 分)【题文】11.已知函数 f(x)= ,则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)= 2sin1x【知识点】函数的奇偶性 B4【答案解析】5 f(-2)+ f(2)=2, f(-1)+f(1)=2,f(0)=1 所以答案为 5.【思路点拨】先分析奇偶性再求出结果。【题文】12 平面向量 与 的夹角为 ， =（2,0） ， =1，则 = ab60ab2ab【知识点】平面向量的数量积及应用 F3【答案解析】2 由已知| |=2， = +4 +4 2=4+421c
6、os60+4=1232 =2 .ab【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方【题文】13 若函数 f(x)是周期为 4 的奇函数，且在0,2上的解析式为 f(x)=则 f( )+f( )= (1),01sin2xx9416【知识点】函数的奇偶性与周期性 B4【答案解析】 由 f（x+4）=f（x），得函数的周期是 4，则 f（ ）=f（8- ）=f（-516 2934），34f（x）是奇函数，f（- ）=-f（ ）=- =- ，f（ ）=f （8- ）=f（- ）343416176=-f（ ）=-si
7、n =sin = ，76612则 f（ ）+f（ ）= - = ，故答案为： 294551【思路点拨】根据函数的奇偶性和周期性，以及分段函数的表达式代入即可得到结论【题文】14.如图，平面内有三个向量 ,其中与 与 的夹角为 ，,OABCOAB120与 的夹角为 ，且 ， =2 ，若 = + （ ，OAC3013）则 + 的值为 R【知识点】平面向量基本定理 F2【答案解析】6 过 C 作 与 的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由OABBOC=90，AOC=30，由 =2 得平行四边形的边长为 2 和1C34，+=2+4=6 故答案为 6【思路点拨】过 C 作 与 的平行线与它们的延
8、长线相交，可得平行四边形，然后将向量 用向量 与向量 表示出即可OAOB【题文】15.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为 孪生函数 已知函数的解析式为 f(x)= ,值域为5,1921x的孪生函数共有 个【知识点】函数及其表示 B1【答案解析】9 令 2x2+1=5 得 x= ，令 2x2+1=19 得 x=3，使得函数值为 5 的有三种情况，即 x=- ， ， ，使得函数值为 19 的也有三种情况，即 x=3，-3 ，3，则“孪生函22数”共有 33=9 个故答案为：9【思路点拨】根据题意，分析可得：所谓的“孪生函数” 就是利用相同的函数值和相同的解析式解一个方
9、程即可即分别令 2x2+1=5，2x 2+1=19，使得函数值为 5 的有三种情况，最后结合乘法原理即可【题文】16.如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客 x 之间的关系图像，由于目前该条公路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议如图（2） （3 ）所示给出下说法：图（2）的建议是：提高成本，并提高票价； 图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；图（3）的建议是：提高票价，并降低成本其中所有说法正确的序号是 【知识点】函数模型及其应用 B10【答案解析】 根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变
10、，直线向上平移说明当乘客量为 0 时，收入是 0 但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变，故正确；由图（3）看出，当乘客量为 0 时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故正确【思路点拨】根据题意知图象反应了收支差额 y 与乘客量 x 的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当 x=0 的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明【题文】17 如图，线段 AB=8，点 C 在线段 AB 上，且 AC=2，P 为线段 CB 上一动点，点 A绕点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后重合与点 D，设 CP=x
11、CPD 的面积为 f（x ）,则 f(x)的定义域为 f(x)的最大值为 【知识点】导数的应用 B12【答案解析】 （2，4 ）；2 由题意，DC=2，CP=x，DP=6-x CPD ，解得 x（2，4）26x如图，三角形的周长是一个定值 8，故其面积可用海伦公式表示出即 f（x）= =4()6)2xx2846xf（x）= 21648x令 f（x）=0 ，解得 x=3x（2 ，3）f（x）0，x（3，4）f（x）0f（x）的最大值为 f（3 ）=2 故答案为（2 ，4）；2 【思路点拨】本题要根据实际情况计算出定义域与函数的零点，可以看出所给的条件是CPD，故可根据其是三角形求出自变量的范围面
12、积表达式可以用海伦公式求出，对所得的函数求导，令导数为 0，根据函数的调调性可求出函数的最大值【题文】三 解答题(本大题共 5 个小题，共 65 分)【题文】18.（本小题共 12 分）已知函数 f(x)= sin2x-232sinx(1) 求 f( )的值， （2）若 x ,求 f(x)的最大值和最小值。663【知识点】三角函数的图象与性质 C3【答案解析】 （）1（）最大值为 ，最小值为12（） = ()f23sini4（） xcosxsin()16x因为 ，所以 ， 所以 ， ,62526sin(2)16x所以 的最大值为 ，最小值为 ()fx1【思路点拨】先化简再根据三角函数的增减性求
13、出最值。【题文】19（本小题共 12 分）已知向量 , , sin2C，且 A, B, C 分别为 三边(sin,)mAB(cos,)AmnABa， b，c 所对的角。（1 ）求角 C 的大小， （2）若 sinA，sinC，sinB 成等差数列，且 求边 c()18的长。【知识点】解三角形 C8【答案解析】 （1） （2）63（1） )sin(cosincosinBABAm 对于CCBC0, ，.si又 2si， .3,21cos,ii （2）由 BACBCAsinsin2,sin,si 得成 等 差 比 数 列 ，由正弦定理得.bac18,18)( ，即 .36,18coabab 由余弦弦
14、定理 abc)(cos222 ，36,42， . 【思路点拨】 （1）利用两个向量的数量积公式求得 =sin(A+B)，再由已知 mmn=sin2C，可得 sin2C=sinC， cosC= 从而求得 C 的值12（2）由 sinA，sinC ，sinB 成等差数列，得 2sinC=sinA+sinB，由条件利用正弦定理、余弦定理求得 c 边的长【题文】20 （本小题共 13 分）已知在等比数列 中， =1，且 是 和 的等差中项，na12a13（1 ）求数列 的通项公式（2 ）若数列 满足 =2n-1+ ,求 的前 n 项和nbnnbs【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和等比数列及等比数
15、列前 n 项和 D2 D3【答案解析】 （I） （II）12na21（I）设等比数列 的公比为 是 和 的等差中项 q2a13.2 分 3312)(aq)(2*11Nnqan（II） . nb )21()25(3nS()(53112n n2n【思路点拨】根据等差等比数列的性质求出通项公式，利用分组求和求出结果。【题文】21 （本小题共 14 分）已知 a0,函数 f(x)= ,g(x)=-ax+1,x232axR(1)当 a=1 时，求函数 f(x)在点（1，f(1)）的切线方程。（2 ）求函数 f(x)在-1,1的极值。（3 ）若在区间（0， 上至少存在一个实数 ，使 f( )g（ ）求正实
16、数 a 的取值范围。20x0x【知识点】导数的应用 B12【答案解析】 （） （）极大值是 ;极小值是 （）1yx2343a(317,)由 求导得， . 2321()fxa()fxax（）当 时 , 所以 在点 的切线方程是 1a()f(1)0f()fx1,()f 1yx（）令 , (1)当 即 时0得 ：fx12xa2a(-1,0) 0 (,)2(,)a()f+ 0 - 0 +x 极大值 极小值 6 分故 的极大值是 ;极小值是 ; ()f2343a(2) 当 即 时 在 上递增, 在 上递减, 1a0()fx10)(01)所以 的极大值为 ,无极小值. ()fx（）设 . 232() 3F
17、fgxax(,2x对 求导，得 ， () 1)a因为 ， ，所以 ，10,2xa2()(0F在区间 上为增函数，则 . ()F(max)依题意，只需 ，即 ，max)021138423即 ，解得 或 （舍去）.268a77所以正实数 的取值范围是 . (,)【思路点拨】求导数根据导数的几何意义求出方程，根据单调性求出极值，根据单调性求出最大最小值求出 a 范围。【题文】22（本小题共 14 分）已知函数 f(x)，如果存在给定的实数对（a,b）, 使得 f(a+x).f(a-x)=b 成立，则称 f（x）为“S-函数”（1）判断函数 f1（x）=x，f 2（x）=3 x 是否是“S-函数” ；
18、（2）若 f3（x）=tanx 是一个 “S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b） ；（3）若定义域为 R 的函数 f（x）是“S- 函数”，且存在满足条件的有序实数对（ 0，1）和（1，4） ，当 x0，1时，f （x）的值域为1，2，求当 x-2015,2015函数 f（x）的值域【知识点】单元综合 B14【答案解析】 （）是（） （ a, b）= () Zk),14(2,1（）若 是“S-函数” ，则存在常数 使得( a+x)(a-x)=b.即 x2=a2-b 时，对xf)(1 bxR 恒成立. 而 x2=a2-b 最多有两个解，矛盾.因此 不是 “S-函数”. 若f1是“S-
19、函数” ，则存在常数 a,b 使得 ，f32 xa23即存在常数对（ a, 32a）满足.因此 是“S-函数”. f3)(2（） 是一个“S-函数” ，设有序实数对（ a,b）满足.则 tan(a-x)tan(a+x)xftan)(3=b 恒成立.当 a= 时， 不是常数. 因此Zk,2xax2tn1)tn()t(， 时，Zm,2则有 .即bxaxaxa 22t1ttn1ttn1t恒成立. 0)()(222 bb即 .当 ,t0ta2 Zk,14Zm,2时 =14k xax2tn)tn()ta(因此满足 是一个“S-函数”的常数（ a, b）= . f)3 Zk),14() 函数 是“S-函数” ，且存在满足条件的有序实数对 和 ，于是(x ,0,1)()1,)( xfff即 ,0,时 ，当 .2,)(1, .1,)(xfxxfff时 ，由. )2()1)(1) ffxffxff 因此 为以 2 为周期的周期函数.当 时，函数 的值域为 . f 201,)(xf2,1【思路点拨】本题属于新定义试题，根据所给定义求出所给结果。
