1、最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。二、公式法利用等差数列或等比数列的定义求通项若已知数列的前 n项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式nSanan求解.211Sann(注意：求完后一定要考虑合并通项)例 1已知数列 的前 项和 满足 求数列 的通项公式.nanS1,)(2nan na已知数列 的前 项和 满足 ，求数列 的通项公式. 已知等比数列 的首项 ，公比 ，设数列
2、的通项为n10qnb，求数列 的通项公式。21nnabnb三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。四、累加（乘）法对于形如 型或形如 型的数列，我们可以根据递推公式，写出)(1nfannnaf)(1n 取 1 到 n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。例 4. 若在数列 中， ， ，求通项 。n31n1n例 5. 在数列 中， ， （ ） ，求通项 。na1nna2*Nna五、取倒（对）数法a、 这种类型一般是等式 两边取对数后转化为
3、 ，再利用待定系数法求解rnnp1 qpann1b、数列有形如 的关系，可在等式两边同乘以 先求出0),(1naf ,1n .,nna再 求 得c、 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 。)()(1hangf qpann1例 6.设数列 满足 求n,21a),N(31nan .na例 7 设正项数列 满足 ， （n2 ）.求数列 的通项公式.na121nana变式:1.已知数列a n满足：a 1 ，且 an32n132nN （ ， ） 求数列a n的通项公式；2、若数列的递推公式为 ，则求这个数列的通项公式。113,()naA3、已知数列 满足 时， ，求通项公式。na2,1nna
4、1124、已知数列a n满足： ，求数列a n的通项公式。,31an5、若数列 a 中， a =1， a = nN ，求通项 a n112n六、迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.七、待定系数法：1、通过分解常数，可转化为特殊数列a +k的形式求解。一般地，形如 a =p n 1na +q（ p1，pq0 ）型的递推式均可通过待定系数法对常数 q分解法：设na +k=p（a +k）与原式比较系数可得 pkk=q，即 k= ，从而得等比数列a +k。1n 1pn例 9、数列a 满足 a =1， a = a +1（ n2） ，求数列 a 的通项公式。n1n21n练习、1 数列 a 满足
5、a =1， ,求数列 a 的通项公式。n10731nan2、已知数列 满足 ，且 ，求 n112nn2、递推式为 （p、q 为常数）时，可同除 ，得 ，令11nna 1nq11nnqap从而化归为 （p、q 为常数）型nqabn、 例 10已知数列 满足 ， ， 求 1123nna)(na3、形如 banpn1 )01(、ap解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，)()1(1 yxnapynxa与已知递推式比较，解出 ,从而转化为 是公比为 的等比数列。yxyxnp例 11:设数列 ： ，求 .na)2(,13411 an n4、形如 21napbnc)01(、ap解法：这种类
6、型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出 ,z.从2 21()()n nxyxycyx,而转化为 是公比为 的等比数列。nacp例 12:设数列 ： ，求 .n 2114,3,()nana八：不动点法，形如 hraqpnn1解法：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其中na1Nnhraqpnn1p、 q、 r、 h 均为常数，且 ） ，那么，可作特征方程 ,当特征方程rharqph1,0 x有且仅有一根 时,则 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 、 时，则0x01nax 12是等比数列。12na例 15：已知数列 na满足性质：对于 且 求 的通项公式. ,324,N1nna,1na九：换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。例 16 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1(42)6nnnaa， na
