1、数学建模第四次大作业姓 名 学 号 刘 维 20116554林胜军 20116552王 波 201165降价折扣券对顾客消费行为的影响【摘要】本文针对降价折扣券对顾客消费行为影响的研究，通过调查数据以及图表分析，建立统计回归模型（logit 模型） ，在 MATLAB 软件上运用最大似然法估计模型的参数，并作出 logit 回归曲线与散点图以及预测值和置信区间，从而对模型进行分析和预测，更好的解决问题。就问题（1） 、问题（2）和问题（3） ，从折扣券折扣比例的变化对使用折扣券人数比例产生的影响这方面进行分析讨论，对问题（1） ，研究结果表明，需建立一个 logit 回归模型。对问题（2） ，
2、由估计模型方程，得出当折扣比例为 9.9973%时，使用折扣券人数比例为 25%。对问题（3） ，研究表明，折扣比例每增加 5%，使用折扣券人数与不使用折扣券人数的比相应的增加，也就是随着折扣比例的增加，使用折扣券人数比例也增加。本文通过再建立一个 probit 回归模型和 logit 模型进行比较，对该模型进行评价与结果分析，得出模型的优缺点并对把模型推广和扩展。【关键词】 降价折扣 logit 模型 消费行为 回归分析 一、模型的假设1.模型的假设（1）假设这 1000 个顾客是相互独立的。（2）折扣券的折扣比例是固定的。2.符号说明x 表示折扣券的折扣比例 y 表示使用折扣券人数比例 Y
3、 表示使用折扣券人数n 表示持折扣券人数 m 表示使用折扣券人数i i表示第 i 组的使用折扣券人数比例 x 表示第 i 组的折扣比例i i的 概 率时 使 用 折 扣 券 人 数 比 例表 示 折 扣 比 例 为x)(表示回归模型的常数项 表示回归模型的 X 的系数01二、问题分析（1） 、为了分析使用折扣券人数的比例与折扣券折扣比例的关系，建立模型。根据问题中的数据作食用折扣券人数比例与折扣比例的散点图，粗略地进行判断。图 1：使用折扣券人数比例与折扣比例的散点图由上图可以看出，使用折扣券人数比例随着折扣券折扣比例的增大而递增，大致是介于 0 与 1 之间的曲线，分析这条曲线应该建立怎么样
4、的回归方程？（2）根据估计的回归方程，估计使用折扣券人数比例为 25%时，折扣券的折扣比例应该多大？（3）根据模型的估计方程，分析折扣券的折扣比例每增加 5%，使用折扣人数比例的变化情况。三、模型的建立与求解1.模型建立由于使用折扣券人数比例比例实际上是折扣比例 x 时 Y 的平均值，用期望的表示为 y=E（Yx）使用折扣券人数比例 y 是折扣比例 x 的函数，其取值在区间0,1上，如果用普通的方法建立回归方程，那么很容易求得其线性模型或更接近的非线性曲线，其回归模型为 y= + x+ x2+ x + ,其中随机误0123差 服从均值为 0 的正态分布，特别地当 = =0 时为线性回归模型。然
5、而在 23这个问题中， （1）式回归方程中 y 的取值不一定在0,1中。即使 y 在该范围内取值，由于给定 x 时，误差项 也只能取 0，1 两个值，显然 不具有正态性，而且 的方差依赖于 x,具有异方差性，这些都违反了普通回归分析的前提条件。因此，应建立一种 logit 回归模型。该模型为： = + x )(1/)(x01其中条件期望 =P（Yx）,方差 D（Yx）= （1- ）)()(x在0,1上取值 , logit（ ）取值为（ ）)(x)(,2.模型求解首先由问题重述的表中的数据，用最大似然法估计模型参数, 其模型为: logit（ ）=ln /(1- )= + x 其中 = m /n
6、iii01iii利用 MATLAB 统计工具箱中的命令 glmfit 求解，用表（1）中的数据输入并执行以下程序：T=0.05 0.10 0.15 0.20 0.30;Chd=32 51 70 103 148;Total=200 200 200 200 200;Proport=Chd./Total;b,dev,stats=glmfit(T,Chd Total,binomial,logit);logitFit=glmval(b,T,logit);plot(T,Proport,o,T,logitFit,r-);xlabel(T);ylabel(Proportion of CHD)b,bi=stat
7、s.se,dev得到 logit 模型中的参数 ， 的最大似然估计值与它的标准差（见下表） ，01拟合偏差为 0.5102，并得出 logit 回归曲线与散点图。曲线与散点图为：,图 1：对应的曲线与散点图再利用命令yhat,dylo,dyhi=glmval(b,T,logit,stats)得到因变量的预测值及置信度为 95的置信区间，结果如下表：折扣比例%使用折扣券比例 预测值 置信区间5 0.160 0.1622 0.1313,0.198710 0.255 0.2501 0.2175,0.285815 0.350 0.3648 0.3325,0.398420 0.515 0.4972 0.
8、4599,0.534530 0.740 0.7457 0.6917,0.793四、模型评价与结果分析（一） 、用另一种广义线性模型 probit 模型处理这类问题，并与 logit 模型比较，得出优缺点。probit 模型的形式为：= （ + x） probit( )= ( )= + x )(x01)(x1)x01其中 是正态概率分布函数，它也是 S 型曲线。（1）利用 MATLAB 求解该模型的参数估计值、标准差(见下表)和拟合偏差0.5527。（2） 、再作出 probit 模型的预测值和置信区间，与 logit 模型相互比较（见下表） 。表 1：Probit 模型与 logit 模型的比
9、较折扣比例/%使用折扣券人数比例预测值（logit）预测值（probit） 置信区间（logit） 置信区（probit）5 0.160 0.1622 0.1589 0.1313,0.1987 0.1267,0.196010 0.255 0.2501 0.2520 0.2175,0.2858 0.2194,0.287015 0.350 0.3648 0.3679 0.3325,0.3984 0.3365,0.400220 0.515 0.4972 0.4973 0.4599,0.5345 0.4613,0.533330 0.740 0.7457 0.7438 0.6917,0.793 0.69
10、00,0.7923（3） 、作出 probit 模型的拟合曲线图 2：probit 模型的拟合曲线通过对 probit 模型与 logit 模型的预测值及预测区间的相互比较，还有对拟合偏差和拟合曲线的比较发现这两个模型不相上下。（二） 、通过对模型预测与进一步分析，得出 probit 模型与 logit 模型的优劣通过上述分析可知，logit 模型和 probit 模型都是合适的模型，下面要分析问题（2）和问题（3） ，对于这两个问题的解决，可以用 logit 模型进行解决，而 probit 模型是无法实现的，因此运用 logit 模型比较好。在 logit 模型中回归系数 有很直观的解释，l
11、ogit 模型与统计中的1odds(发生比或优势)的概念有密切的联系，odds 表示为折扣比例为 X 时，使用折扣券人数与不使用折扣券人数的概率比，即 odds（x）= /(1- ) )(x因此 logit 模型可以表示为 odds（x）=e 10对于问题（2） ，当使用折扣券人数比例为 25%时，即为 /(1- ) =e)(x(=1/3 也就是 + x =-1.0986，将 =-2.1855， =10.8719 代入方程，x100101解得 X=9.9973%，因此当折扣比例为 9.9973%时，使用折扣券人数比例为 25%。这就说明，当折扣比例高于 9.9973%时，使用折扣券人数比例大于 25%。对于问题（3），当折扣比例升高 5%时，odds 比为odds（x）odds（x+5）= e / e =e)5(10xx1015于是 odds（x+5）/ odds（x） /5，即 为自变量增加 5 个单位ln1时 odds 比的对数的 1/5 倍。 0 时，e 1，所以 X 每增加 5 个单位，15odds 比会相应的增加，即折扣比例每增加 5%，使用折扣券人数与不使用折扣券人数的比相应的增加，也就是随着折扣比例的增加，使用折扣券人数比例也增加，且对任意的正整数 k，有 odds（x+k）=e odds(x)。1k
