1、山东大学高等教育自学考试强 化 实 践 能 力 培 养 考 核 复 变 函 数 与 积 分 变 换 教 学 考 试 大 纲一、课程性质及课程设置的目的和要求(一 ） 课 程 的 性 质 、 地 位 与 任 务本 课 程 是 全 国 高 等 自 学 考 试 工 科 类 各 专 业 的 一 门 重 要 的 基 础理 论 课 ， 它 包 含 复 变 函 数 与 积 分 变 换 两 部 分 内 容 。 复 变 函 数 是 研究 复 自 变 量 复 值 函 数 的 分 析 课 程 ， 在 某 些 方 面 它 是 微 积 分 学 的 推广 ， 独 立 成 为 一 门 课 程 则 是 因 为 它 有 其 自
2、 身 的 研 究 対 象 及 独 特 的处 理 方 法 。 解 析 函 数 是 复 变 函 数 研 究 的 中 心 内 容 ， 留 数 的 计 算 及其 应 用 以 及 保 角 映 射 是 复 变 函 数 特 有 的 问 题 。 积 分 变 换 有 时 也 称为 运 算 微 积 ， 是 通 过 积 分 运 算 把 一 个 函 数 转 变 为 另 一 个 更 为 简 单的 且 易 于 处 理 的 函 数 。 本 课 程 介 绍 傅 里 叶 变 换 和 拉 普 拉 斯 变 换 ，可 以 应 用 它 们 求 解 某 些 积 分 方 程 ， 微 分 方 程 以 及 计 算 积 分 。 通 过本 课 程
3、 的 学 习 ， 为 以 后 学 习 工 程 力 学 、 电 工 学 、 电 磁 学 、 振 动 力学 及 无 线 电 技 术 等 课 程 奠 定 必 要 的 基 础 。 要 学 好 本 课 程 必 须 具 备高 等 数 学 的 基 础 。(二 )课 程 的 基 本 要 求通 过 对 本 课 程 的 学 习 ， 要 求 考 生 系 统 地 获 得 复 变 函 数 和 积 分变 换 的 基 本 知 识 (对 积 分 变 换 未 作 要 求 的 专 业 考 生 可 不 学 积 分 变换 部 分 ),切 实 掌 握 有 关 内 容 的 基 本 概 念 、 基 本 理 论 和 基 本 方 法 ，并 具
4、 有 比 较 熟 练 的 运 算 能 力 和 初 步 解 决 实 际 问 题 的 能 力 ， 同 时 注意 培 养 抽 象 思 维 能 力 与 一 定 的 逻 辑 推 理 能 力 ， 从 而 为 学 习 后 继 课程 奠 定 良 好 的 基 础 。（ 三 ） 本 课 程 与 有 关 课 程 的 联 系本 课 程 与 高 等 数 学 有 密 切 的 联 系 ， 如 导 数 、 积 分 、 级 数 和 微分 方 程 等 ,要 学 好 本 课 程 ， 必 须 把 高 等 数 学 中 的 有 关 知 识 掌 握 好 ，进 行 必 要 的 复 习 。 本 课 程 是 一 门 重 要 的 基 础 课 ，
5、它 与 工 程 力 学 、电 工 技 术 、 电 子 技 术 和 自 动 控 制 等 课 程 的 联 系 十 分 密 切 ， 因 此 在学 习 时 。 要 切 实 掌 握 本 课 程 的 主 要 内 容 ， 这 对 以 后 的 学 习 将 会 带来 很 大 的 帮 助 。二、课程内容和考核要求第 一 篇 复 变 函 数第 一 章 复 数(一 ） 学 习 目 的 与 要 求本 章 的 学 习 目 的 与 要 求 是 :深 刻 理 解 复 数 的 概 念 ;熟 悉 复 数的 多 种 表 示 法 ， 复 数 的 四 则 运 算 及 开 方 运 算 ； 理 解 复 数 运 算 的 几何 意 义 ； 理
6、 解 区 域 、 单 连 域 、 多 连 域 和 简 单 曲 线 等 概 念 ； 掌 握 用复 变 数 的 方 程 来 表 示 常 用 曲 线 以 及 用 不 等 式 表 示 区 域 。本 章 的 知 识 点 中 ， 重 点 是 :复 数 的 运 算 以 及 用 复 变 数 方 程 表示 曲 线 ， 用 不 等 式 表 示 区 域 。 难 点 是 ： 复 数 的 运 算 ， 复 数 方 程 表示 曲 线 ， 不 等 式 表 示 区 域 。(二 ） 课 程 内 容1.复 数 及 其 表 示 法1.1 复 数 的 概 念1.2 复 数 的 表 示 法2.复 数 的 运 算 及 几 何 意 义2.1
7、 复 数 的 加 法 和 减 法2.2 复 数 的 乘 法 和 除 法2.3 复 数 的 方 根2.4 共 轭 复 数 及 其 运 算 性 质3.平 面 点 集 和 区 域3.1 点 集 概 念3.2 区 域3.3 简 单 曲 线3.4 单 连 通 区 域 与 多 连 通 区 域(三 ） 考 核 知 识 点 与 考 核 要 求1.复 数 的 概 念 及 其 表 示 法 ， 要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。(1)熟 知 并 掌 握 复 数 的 概 念 。(2)掌 握 复 数 的 各 种 表 示 法 。2.复 数 的 运 算 及 几 何 意 义 ， 要 求 达 到 “简 单 应 用 ”层 次
8、 。(1)熟 悉 与 掌 握 复 数 的 四 则 运 算 及 开 方 运 算 。(2)掌 握 上 述 各 种 运 算 的 几 何 意 义 。(3)会 进 行 一 些 简 单 的 运 算 。3.点 集 、 区 域 和 简 单 曲 线 ， 要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。(1)正 确 理 解 区 域 、 简 单 曲 线 等 概 念 。(2)掌 握 用 复 变 数 的 方 程 来 表 示 常 用 曲 线 以 及 用 不 等 式 表 示 区 域 。（四）强化实践能力培养考核考试大纲1 熟 悉 复 数 的 多 种 表 示 法 ， 复 数 的 四 则 运 算 及 开 方 运 算 ； 理 解复 数 运
9、 算 的 几 何 意 义 。2 理 解 区 域 、 单 连 域 、 多 连 域 和 简 单 曲 线 等 概 念 ； 掌 握 用 复 变 数的 方 程 来 表 示 常 用 曲 线 以 及 用 不 等 式 表 示 区 域 。（五）作业题1.已知 ，求 ， 。132zi|zArg2.已知 ， ，求 及 。1i2zi12z3.设 、 是两个复数。求证： 。1z2 212112|Re()zz|-4.证明：函数 在原点不连续。2(0)()xyzfz5.证明：z 平面上的直线方程可以写成 （a 是非零复常数，zcc 是常数）第 二 章 解 析 函 数(一 ） 学 习 目 的 与 要 求解 析 函 数 是 复
10、 变 函 数 的 研 究 对 象 。 本 章 总 的 要 求 是 ： 深 刻理 解 复 变 函 数 以 及 映 射 的 概 念 ， 了 解 一 个 复 变 函 数 等 价 于 一 对 实二 元 函 数 ； 理 解 函 数 解 析 的 概 念 与 柯 西 -黎 曼 条 件 ;掌 握 判 别 函数 解 析 性 的 方 法 ； 了 解 解 析 函 数 与 调 和 函 数 的 关 系 ， 并 且 掌 握 由已 知 的 调 和 函 数 求 其 共 轭 调 和 函 数 从 而 得 到 解 析 函 数 的 方 法 ;记住 复 自 变 量 的 初 等 函 数 的 定 义 以 及 它 们 的 一 些 重 要 性
11、 质 。本 章 的 知 识 点 中 ， 重 点 是 ： 函 数 解 析 性 的 判 别 ， 掌 握 和 运 用柯 西 黎 曼 条 件 ， 能 从 已 知 调 和 函 数 求 其 共 轭 调 和 函 数 。 难 点 是 ：函 数 解 析 性 的 判 断 ， 已 知 调 和 函 数 求 其 共 轭 调 和 函 数 。(二 ） 课 程 内 容1.复 变 函 数1.1 复 变 函 数 的 概 念1.2 复 变 函 数 的 极 限 和 连 续 性2.解 析 函 数 的 概 念2.1 复 变 函 数 的 导 数2.2 解 析 函 数 的 概 念3.柯 西 黎 曼 条 件4.解 析 函 数 与 调 和 函
12、数 的 关 系5.初 等 函 数5.1 指 数 函 数5.2 对 数 函 数5.3 幂 函 数5.4 三 角 函 数5.5 反 三 角 函 数(三 ） 考 核 知 识 点 与 考 核 要 求1.复 变 函 数 的 概 念 ， 要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。(1)正 确 理 解 复 变 函 数 以 及 映 射 的 概 念 。(2)理 解 一 个 复 变 函 数 与 一 对 二 元 实 函 数 的 关 系 。2.复 变 函 数 的 极 限 和 连 续 性 ， 要 求 达 到 “识 记 ”层 次 。3.复 变 函 数 的 导 数 ， 要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。(1)理 解 复 变
13、 函 数 的 导 数 的 定 义 。(2)掌 握 可 导 与 连 续 的 关 系 及 求 导 方 法 。4.解 析 函 数 的 概 念 ， 要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。(1)正 确 理 解 解 析 函 数 的 概 念 。(2)掌 握 解 析 函 数 的 判 别 法 。5.柯 西 黎 曼 条 件 ， 要 求 达 到 “简 单 应 用 ”层 次 。(1)正 确 理 解 和 掌 握 柯 西 黎 曼 条 件 。(2)熟 练 运 用 柯 西 黎 曼 条 件 。6.解 析 函 数 与 调 和 函 数 的 关 系 ， 要 求 达 到 “简 单 应 用 ”层 次 。(1)理 解 调 和 函 数 的
14、定 义 。(2)了 解 调 和 函 数 与 解 析 函 数 的 关 系 。(3)掌 握 共 轭 调 和 函 数 的 求 法 。7.初 等 函 数 ， 要 求 达 到 “识 记 ”层 次 。(1)记 住 指 数 函 数 、 三 角 函 数 、 对 数 函 数 、 幂 函 数 与 反 三 角 函 数 的定 义 。(2)了 解 它 们 的 主 要 性 质 。（四）强化实践能力培养考核考试大纲1 深 刻 理 解 复 变 函 数 以 及 映 射 的 概 念 ， 了 解 一 个 复 变 函 数 等 价于 一 对 实 二 元 函 数 。2. 理 解 函 数 解 析 的 概 念 与 柯 西 -黎 曼 条 件
15、， 掌 握 判 别 函 数 解 析性 的 方 法 。3. 掌 握 解 析 函 数 与 调 和 函 数 的 关 系 ， 并 且 掌 握 由 已 知 的 调 和 函 数求 其 共 轭 调 和 函 数 从 而 得 到 解 析 函 数 的 方 法 ， 记 住 复 自 变 量 的初 等 函 数 的 定 义 以 及 它 们 的 一 些 重 要 性 质 。（五）作业题1.试判断函数 的可微性和解析性。323()()fzxyixy2.解方程 1zei3.求 cos()i4.设 确定在从原点 z=0 起沿负实轴割破了的 z 平面上，并且3wz（这是边界上岸点对应的函数值） ，试求 的值。(2) ()w5.设 ，
16、问 在何处可导？何处解析？并在可导iyxzf23)(zf处求出导数值。第 三 章 复 变 函 数 的 积 分(一 ） 学 习 目 的 与 要 求复 变 函 数 的 积 分 在 实 用 和 理 论 两 个 方 面 都 是 十 分 重 要 的 。 利用 复 变 函 数 的 积 分 可 以 求 一 些 定 积 分 的 值 ， 也 可 以 证 明 解 析 函 数的 一 些 重 要 性 质 。本 章 总 的 要 求 是 :正 确 理 解 复 变 函 数 积 分 的 概 念 并 掌 握 它 的基 本 性 质 ； 掌 握 复 变 函 数 积 分 的 一 般 计 算 方 法 ； 掌 握 柯 西 定 理以 及
17、当 函 数 在 闭 区 域 上 具 有 连 续 导 数 时 的 证 明 ， 并 且 知 道 推(z)广 到 多 连 域 的 情 形 ； 熟 练 掌 握 用 柯 西 积 分 公 式 及 高 阶 导 数 公 式 计算 积 分 ； 了 解 莫 累 拉 定 理 。本 章 知 识 点 中 ， 重 点 是 :柯 西 定 理 ； 柯 西 积 分 公 式 及 高 阶 导数 公 式 的 用 法 。 难 点 是 :复 变 函 数 积 分 的 计 算 。(二 ） 课 程 内 容1.复 变 函 数 的 积 分1.1 复 变 函 数 积 分 的 概 念1.2 积 分 的 存 在 性 及 其 计 算 公 式1.3 积 分
18、 的 基 本 性 质2.柯 西 定 理2.1 柯 西 定 理2.2 原 函 数 与 不 定 积 分2.3 柯 西 定 理 的 推 广3.柯 西 积 分 公 式4.解 析 函 数 的 高 阶 导 数4.1 解 析 函 数 的 高 阶 导 数4.2 柯 西 不 等 式4.3 解 析 函 数 的 等 价 概 念(三 ） 考 核 知 识 点 与 考 核 要 求1.复 变 函 数 积 分 的 概 念 ， 要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。(1)知 道 复 变 函 数 积 分 的 定 义 。(2)了 解 复 变 函 数 积 分 可 转 化 为 两 个 实 二 元 函 数 的 线 积 分 。2.积 分
19、的 存 在 性 及 其 计 算 公 式 ， 要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。(1)知 道 复 积 分 的 存 在 性 。(2)掌 握 复 积 分 的 计 算 公 式 。3.积 分 的 基 本 性 质 ， 要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。4.柯 西 定 理 ， 要 求 达 到 “简 单 应 用 ”层 次 。5.原 函 数 与 不 定 积 分 ， 要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。(1)掌 握 用 原 函 数 求 解 析 函 数 的 积 分 值 。(2)了 解 变 上 限 函 数 的 有 关 概 念 。6.柯 西 定 理 的 推 广 ， 要 求 达 到 “简 单 应 用 ”层 次
20、。(1)正 确 理 解 复 合 闭 路 定 理 。(2)会 应 用 路 线 变 形 原 理 计 算 某 些 积 分 。7.柯 西 积 分 公 式 ， 要 求 达 到 “简 单 应 用 ”层 次 。(1)正 确 理 解 柯 西 积 分 公 式 。(2)熟 练 应 用 柯 西 积 分 公 式 计 算 某 些 积 分 。8.解 析 函 数 的 高 阶 导 数 公 式 ， 要 求 达 到 “简 单 应 用 ”层 次 。(1)正 确 理 解 高 阶 导 数 公 式 。(2)应 用 高 阶 导 数 公 式 计 算 某 些 积 分 。9.解 析 函 数 的 等 价 概 念 ， 要 求 达 到 “识 记 ”层
21、 次 。（ 1)知 道 柯 西 定 理 的 逆 定 理 莫 累 拉 定 理 。（ 2） 知 道 解 析 函 数 的 一 个 等 价 概 念（四）强化实践能力培养考核考试大纲1.正 确 理 解 复 变 函 数 积 分 的 概 念 并 掌 握 它 的 基 本 性 质 ， 掌 握 复变 函 数 积 分 的 一 般 计 算 方 法 。2.掌 握 柯 西 定 理 ， 并 且 知 道 推 广 到 多 连 域 的 情 形 ， 熟 练 掌 握 用柯 西 积 分 公 式 及 高 阶 导 数 公 式 计 算 积 分 。（五）作业题1.计算 其中 C 为单位圆周|z|=1256zced2.求积分 0(81)azz3
22、.已知： ， 求解析函数22uxy(fii()fzuiv4.计算积分 ,其中积分路径 为3(1)CdzzAC(1)中心位于点 ,半径为 的正向圆周z2R(2) 中心位于点 ,半径为 的正向圆周1z第 四 章 级 数(一 ） 学 习 目 的 与 要 求本 章 在 复 数 范 围 内 讨 论 级 数 ， 其 中 罗 朗 级 数 是 研 究 解 析 函 数在 它 的 孤 立 奇 点 的 邻 域 内 的 性 质 及 计 算 留 数 的 重 要 工 具 。本 章 总 的 要 求 是 ： 了 解 复 数 项 级 数 的 敛 散 性 及 有 关 概 念 ， 主要 性 质 及 重 要 定 理 ； 理 解 幂
23、级 数 收 敛 的 阿 贝 尔 定 理 以 及 幂 级 数 的收 敛 圆 、 收 敛 半 径 等 概 念 ， 掌 握 幂 级 数 的 收 敛 半 径 的 求 法 以 及 幂级 数 在 收 敛 圆 内 的 性 质 ； 知 道 把 函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 的 证 明 ； 记住 几 个 主 要 的 初 等 函 数 的 泰 勒 展 开 式 ， 能 熟 练 地 把 一 些 比 较 简 单的 初 等 函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 或 求 得 展 开 式 的 起 首 几 项 并 确 定 其 收敛 半 径 ； 理 解 罗 朗 级 数 的 作 用 ,并 能 把 比 较 简 单 的 函 数 在
24、不 同 环域 内 展 开 成 罗 朗 级 数 ;理 解 孤 立 奇 点 的 概 念 ， 孤 立 奇 点 的 分 类 以及 判 别 其 类 型 的 方 法 。本 章 知 识 点 中 ， 重 点 是 ： 函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 ； 在 不 同 环 域内 展 开 成 罗 朗 级 数 ;孤 立 奇 点 类 型 的 判 别 。 难 点 是 ： 函 数 展 开 成罗 朗 级 数 ; 孤 立 奇 点 类 型 的 判 别 。(二 ） 课 程 内 容1 复 数 项 级 数 与 复 函 数 项 级 数1.1 数 列 的 极 限1.2 复 数 项 级 数1.3 复 函 数 项 级 数2.幂 级 数2.1
25、 幂 级 数 的 概 念2.2 收 敛 圆 与 收 敛 半 径3.泰 勒 级 数3.1 解 析 函 数 的 泰 勒 展 开 式3.2 初 等 函 数 的 泰 勒 展 开 式4.罗 朗 级 数5.孤 立 奇 点5.1 可 去 奇 点5.2 极 点5.3 本 性 奇 点(三 ） 考 核 知 识 点 与 考 核 要 求1.数 列 的 极 限 ， 要 求 达 到 “识 记 ”层 次 。(1)知 道 复 数 列 的 极 限 概 念 。(2)知 道 复 数 列 收 敛 的 充 分 必 要 条 件 。2.复 数 项 级 数 ， 要 求 达 到 “识 记 ”层 次 。(1)了 解 复 数 项 级 数 的 基
26、本 概 念 。(2)了 解 有 关 复 数 项 级 数 敛 散 性 的 几 个 定 理 。3.复 函 数 项 级 数 ， 要 求 达 到 “识 记 ”层 次 。(1)了 解 复 函 数 项 级 数 的 有 关 概 念 。(2)了 解 复 函 数 项 级 数 的 绝 对 收 敛 的 概 念 。4.幂 级 数 的 概 念 ， 要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。(1)了 解 幂 级 数 的 概 念 。(2)深 刻 理 解 阿 贝 尔 定 理 。5.收 敛 圆 与 收 敛 半 径 ， 要 求 达 到 “简 单 应 用 ”层 次 。(1)理 解 收 敛 圆 与 收 敛 半 径 的 概 念 。(2)会
27、 用 比 值 法 和 根 值 法 求 幂 级 数 的 收 敛 半 径 。(3)了 解 幂 级 数 在 其 收 敛 圆 内 的 两 个 性 质 。6.解 析 函 数 的 泰 勒 展 开 式 ， 要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。(1)知 道 解 析 函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 的 证 明 。(2)知 道 利 用 奇 点 求 收 敛 半 径 的 方 法 。(3)理 解 4 个 等 价 的 解 析 函 数 的 定 义 。7.初 等 函 数 的 泰 勒 展 开 式 ， 要 求 达 到 “简 单 应 用 ”层 次 。(1)掌 握 常 用 初 等 函 数 的 泰 勒 展 开 式 。(2)会 应
28、 用 已 知 函 数 的 泰 勒 展 开 式 求 另 一 些 函 数 的 泰 勒 展 开 式 ， 并能 确 定 其 收 敛 半 径 。8.罗 朗 级 数 ， 要 求 达 到 “简 单 应 用 ”层 次 。(1)理 解 罗 朗 级 数 的 作 用 。(2)能 熟 练 地 把 比 较 简 单 的 函 数 在 不 同 环 域 内 展 开 成 罗 朗 级 数 。9.孤 立 奇 点 ， 要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。(1)理 解 可 去 奇 点 、 极 点 及 本 性 奇 点 的 概 念 。(2)理 解 孤 立 奇 点 的 分 类 及 判 别 其 类 型 的 方 法 。（四）强化实践能力培养考核
29、考试大纲1.掌 握 复 数 项 级 数 的 敛 散 性 及 有 关 概 念 ， 主 要 性 质 及 重 要 定 理 。2.理 解 幂 级 数 收 敛 的 阿 贝 尔 定 理 以 及 幂 级 数 的 收 敛 圆 、 收 敛 半 径等 概 念 ， 掌 握 幂 级 数 的 收 敛 半 径 的 求 法 以 及 幂 级 数 在 收 敛 圆 内 的性 质 。3 记 住 几 个 主 要 的 初 等 函 数 的 泰 勒 展 开 式 ， 能 熟 练 地 把 一 些 比 较简 单 的 初 等 函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 或 求 得 展 开 式 的 起 首 几 项 并 确 定其 收 敛 半 径 。4.理 解
30、 罗 朗 级 数 的 作 用 ,并 能 把 比 较 简 单 的 函 数 在 不 同 环 域 内 展开 成 罗 朗 级 数 ； 理 解 孤 立 奇 点 的 概 念 ， 孤 立 奇 点 的 分 类 以 及 判 别其 类 型 的 方 法 。（五）作业题1将函数 在 点展开为洛朗(Laurent)级数)2(1)(zzf 02 讨论级数 的敛散性0n3 求下列级数的和函数.(1) (2)1()nz20(1)!nnz4 用直接法将函数 在 点处展开为泰勒级数,(到 项),lez04z并指出其收敛半径.第 五 章 留 数(一 ） 学 习 目 的 与 要 求留 数 是 复 变 函 数 的 一 个 重 要 概
31、念 ， 它 与 解 析 函 数 在 孤 立 奇 点处 的 罗 朗 展 开 式 有 密 切 的 关 系 。 留 数 概 念 及 留 数 定 理 在 一 些 理 论问 题 和 实 际 问 题 中 有 着 十 分 广 泛 和 重 要 的 应 用 。本 章 总 的 要 求 是 :深 刻 理 解 函 数 在 孤 立 奇 点 留 数 的 概 念 ； 掌握 并 能 熟 练 应 用 留 数 定 理 ;掌 握 好 留 数 的 计 算 ， 尤 其 要 熟 悉 较 低阶 极 点 处 留 数 的 计 算 ； 能 用 留 数 来 计 算 3 种 标 准 类 型 的 定 积 分 ，知 道 一 两 个 典 型 的 特 殊
32、围 通 积 分 的 计 算 。本 章 知 识 点 中 ， 重 点 是 ： 留 数 的 计 算 及 应 用 留 数 计 算 某 些 定积 分 。 难 点 是 ： 留 数 的 计 算 。(二 ） 课 程 内 容1.留 数1.1 留 数 的 概 念 及 留 数 定 理1.2 留 数 的 计 算2.留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用2.1 计 算 型 积 分20(cos,sin)2.2 计 算 型 积 分+()()2.3 计 算 型 积 分+()(三 ） 考 核 知 识 点 与 考 核 要 求1.留 数 的 概 念 及 留 数 定 理 ， 要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。(1)深 刻
33、 理 解 留 数 的 概 念 。(2)掌 握 并 能 应 用 留 数 定 理 。2.留 数 的 计 算 ， 要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。(1)熟 练 掌 握 较 低 阶 极 点 处 的 留 数 的 计 算 。(2)熟 练 掌 握 本 性 奇 点 处 的 留 数 的 计 算 。3.留 数 在 定 积 分 计 算 上 的 应 用 ， 要 求 达 到 “简 单 应 用 ”层 次 。(1)熟 练 应 用 留 数 计 算 型 积 分20(cos,sin)(2)熟 练 应 用 留 数 计 算 型 积 分+()()(3)熟 练 应 用 留 数 计 算 型 积 分+()（四）强化实践能力培养考核考试
34、大纲1.深 刻 理 解 函 数 在 孤 立 奇 点 留 数 的 概 念 。2.掌 握 并 能 熟 练 应 用 留 数 定 理 ;掌 握 好 留 数 的 计 算 ， 尤 其 要 熟 悉较 低 阶 极 点 处 留 数 的 计 算 。3.能 用 留 数 来 计 算 3 种 标 准 类 型 的 定 积 分 ， 知 道 一 两 个 典 型 的 特殊 围 通 积 分 的 计 算 。（五）作业题1. 计算积分 2|25(1)zdz2求出 在所有孤立奇点处的留数zef)(3 zzd)1(sin2|4 c:|z|=2 取正向0ci3A第 六 章 保 角 映 射(一 ） 学 习 目 的 与 要 求解 析 函 数
35、所 实 现 的 映 射 能 把 区 域 映 射 成 区 域 ， 且 在 其 导 数 不为 零 的 点 的 邻 域 上 ， 具 有 伸 缩 率 及 旋 转 角 不 变 的 特 性 ， 因 此 称 为保 角 映 射 。 保 角 映 射 在 数 学 上 及 物 理 学 的 各 个 领 域 里 有 着 非 常 广泛 的 应 用 。本 章 总 的 要 求 是 ： 理 解 导 数 的 辐 角 和 模 的 几 何 意 义 以 及 保 角映 射 的 概 念 ； 知 道 有 关 保 角 映 射 的 几 个 重 要 定 理 ， 如 黎 曼 定 理 ，边 界 对 应 原 理 等 ;掌 握 分 式 线 性 映 射 的
36、 重 要 性 质 ： 保 角 性 、 保 圆性 、 保 对 称 性 和 保 交 比 性 ； 掌 握 好 确 定 半 平 面 到 半 平 面 、 半 平 面到 单 位 圆 、 单 位 圆 到 单 位 圆 的 分 式 线 性 映 射 ； 对 于 适 当 的 区 域能 求 得 由 分 式 线 性 函 数 、 幂 函 数 、 指 数 函 数 、 对 数 函 数 或 其 复 合函 数 构 成 的 映 射 。本 章 知 识 点 中 ， 重 点 是 ： 保 角 映 射 的 概 念 和 分 式 线 性 映 射 。难 点 是 ： 以 分 式 线 性 函 数 为 主 的 复 合 函 数 的 映 射 。（ 二 ）
37、课 程 内 容1.保 角 映 射 的 概 念1.1 导 数 的 几 何 意 义1.2 保 角 映 射 的 概 念1.3 关 于 保 角 映 射 的 几 个 一 般 性 定 理2 分 式 线 性 映 射2.1 分 式 线 性 映 射2.2 分 式 线 性 映 射 的 性 质2.3 三 类 典 型 的 分 式 线 性 映 射3 几 个 初 等 函 数 所 构 成 的 映 射3.1 幂 函 数 与 根 式 函 数3.2 指 数 函 数 与 对 数 函 数(三 ） 考 核 知 识 点 与 考 核 要 求1.导 数 的 几 何 意 义 ,要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。(1)理 解 导 数 的 辐
38、 角 的 几 何 意 义 。(2)理 解 导 数 的 模 的 几 何 意 义 。2.保 角 映 射 的 概 念 ， 要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。3.关 于 保 角 映 射 的 几 个 一 般 性 定 理 ， 要 求 达 到 “识 记 ”层 次 。(1)知 道 黎 曼 定 理 。(2)知 道 边 界 对 应 原 理 。4.分 式 线 性 映 射 及 其 性 质 ， 要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。(1)深 刻 理 解 分 式 线 性 映 射 的 概 念 。(2)掌 握 分 式 线 性 映 射 的 重 要 性 质 ： 保 角 性 ， 保 圆 性 ， 保 对 称 性和 保 交 比 性
39、 。5.三 类 典 型 的 分 式 线 性 映 射 ， 要 求 达 到 “综 合 应 用 ”层 次 。(1)掌 握 半 平 面 到 半 平 面 的 分 式 线 性 映 射 。(2)掌 握 半 平 面 到 单 位 圆 的 分 式 线 性 映 射 。(3)掌 握 单 位 圆 到 单 位 圆 的 分 式 线 性 映 射 。6.幂 函 数 与 根 式 函 数 所 构 成 的 映 射 ， 要 求 达 到 “综 合 应 用 ”层次 。(1)掌 握 幂 函 数 与 根 式 函 数 所 构 成 的 映 射 的 特 点 。(2)会 应 用 幂 函 数 或 根 式 函 数 确 定 适 当 的 区 域 间 的 映
40、射 。7.指 数 函 数 与 对 数 函 数 所 构 成 的 映 射 ， 要 求 达 到 “综 合 应 用 ”层 次 。(1)掌 握 指 数 函 数 与 对 数 函 数 所 构 成 的 映 射 的 特 点 。(2)会 应 用 指 数 函 数 或 对 数 函 数 确 定 适 当 的 区 域 间 的 映 射 。（四）强化实践能力培养考核考试大纲1.理 解 导 数 的 辐 角 和 模 的 几 何 意 义 以 及 保 角 映 射 的 概 念 。2.知 道 有 关 保 角 映 射 的 几 个 重 要 定 理 ， 如 黎 曼 定 理 ， 边 界 对 应 原理 等 。3.掌 握 分 式 线 性 映 射 的
41、重 要 性 质 :保 角 性 、 保 圆 性 、 保 对 称 性 和保 交 比 性 。4.掌 握 好 确 定 半 平 面 到 半 平 面 、 半 平 面 到 单 位 圆 、 单 位 圆 到 单 位圆 的 分 式 线 性 映 射 。（五）作业题1求一映射，将半带形域 映射为单位圆域.0,2yx2求上半单位圆域 在映射 下的象.Im,1|:zz 2zw3求把区域 映射到单位圆内部的共形映射|0D第 二 篇 积 分 变 换第 一 章 傅 里 叶 变 换(一 ） 学 习 目 的 与 要 求傅 里 叶 变 换 在 电 学 、 力 学 和 控 制 论 等 工 程 与 科 学 领 域 中 有 着广 泛 的
42、应 用 。本 章 总 的 要 求 是 ： 掌 握 傅 里 叶 积 分 公 式 、 余 弦 傅 里 叶 积 分 公式 和 正 弦 傅 里 叶 积 分 公 式 以 及 用 它 们 来 计 算 某 些 积 分 ； 理 解 傅 里叶 变 换 、 余 弦 傅 里 叶 变 换 、 正 弦 傅 里 叶 变 换 和 它 们 的 逆 变 换 的 概念 ， 掌 握 某 些 函 数 的 傅 里 叶 变 换 及 逆 变 换 的 求 法 ； 了 解 函 数(单 位 脉 冲 函 数 ） 的 概 念 和 性 质 ;记 住 函 数 、 （ 单 位 阶 跃 函 ()数 ） 、 指 数 衰 减 函 数 、 正 弦 函 数 和 余
43、 弦 函 数 的 傅 里 叶 变 换 ； 掌 握傅 里 叶 变 换 的 下 列 性 质 ： 线 性 性 、 对 称 性 、 相 似 性 、 平 移 性 、 微分 性 、 积 分 性 以 及 卷 积 定 理 ； 掌 握 用 傅 里 叶 变 换 解 某 些 积 分 方 程和 计 算 某 些 积 分 。本 章 知 识 点 中 ， 重 点 是 ： 计 算 函 数 的 傅 里 叶 变 换 ； 傅 里 叶 变换 的 微 分 和 积 分 性 质 以 及 用 傅 里 叶 变 换 解 某 些 积 分 方 程 。 难 点 是 :用 傅 里 叶 变 换 的 性 质 计 算 某 些 函 数 的 傅 里 叶 变 换 。
44、(二 ） 课 程 内 容1.傅 里 叶 积 分 公 式1.1 傅 里 叶 级 数 的 复 数 形 式1.2 傅 里 叶 积 分 公 式2.傅 里 叶 变 换2.1 傅 里 叶 变 换 的 概 念2.2 单 位 脉 冲 函 数 及 其 傅 里 叶 变 换3.傅 里 叶 变 换 的 基 本 性 质3.1 线 性 性3.2 对 称 性3.3 相 似 性3.4 位 移 性3.5 微 分 性3.6 枳 分 性3.7 卷 积 与 卷 积 定 理(三 ） 考 核 知 识 与 考 核 要 求1.傅 里 叶 级 数 的 复 数 形 式 ， 要 求 达 到 “识 记 ”层 次 。(1)知 道 周 期 函 数 的
45、傅 里 叶 级 数 。(2)知 道 傅 里 叶 级 数 的 复 数 形 式 。2.傅 里 叶 积 分 公 式 ， 要 求 达 到 “识 记 ”层 次 。(1)了 解 傅 里 叶 积 分 公 式 。(2)了 解 余 弦 傅 里 叶 积 分 公 式 。(3)了 解 正 弦 傅 里 叶 积 分 公 式 。3.傅 里 叶 变 换 的 概 念 及 其 逆 变 换 ， 要 求 达 到 “领 会 ”层 次 。(1)理 解 傅 里 叶 变 换 的 概 念 。(2)理 解 傅 里 叶 逆 变 换 的 概 念 。(3)掌 握 某 些 函 数 的 傅 里 叶 变 换 及 逆 变 换 的 求 法4.余 弦 傅 里 叶
46、 变 换 、 正 弦 傅 里 叶 变 换 及 其 逆 变 换 ， 要 求 达 到“领 会 ”层 次 。(1)理 解 余 弦 傅 里 叶 变 换 的 概 念 。(2)理 解 正 弦 傅 里 叶 变 换 的 概 念 。(3)理 解 它 们 的 逆 变 换 的 概 念 。5.单 位 脉 冲 函 数 与 单 位 阶 跃 函 数 及 其 傅 里 叶 变 换 ， 要 求 达 到“领 会 ”层 次 。(1)理 解 单 位 脉 冲 函 数 的 概 念 和 性 质 。(2)理 解 单 位 阶 跃 函 数 的 概 念 和 性 质 。(3)记 住 单 位 脉 冲 函 数 和 单 位 阶 跃 函 数 的 傅 里 叶
47、变 换 。6.傅 里 叶 变 换 的 基 本 性 质 ， 要 求 达 到 “简 单 应 用 ”层 次 。(1)掌 握 傅 里 叶 变 换 的 下 列 性 质 :线 性 性 、 对 称 性 、 相 似 性 、 位 移性 、 微 分 性 、 积 分 性 以 及 卷 积 定 理 。(2)掌 握 用 傅 里 叶 变 换 理 解 某 些 积 分 方 程 和 计 算 某 些 积 分 的 方 法 。（四）强化实践能力培养考核考试大纲1.掌 握 傅 里 叶 积 分 公 式 、 余 弦 傅 里 叶 积 分 公 式 和 正 弦 傅 里 叶 积 分公 式 以 及 用 它 们 来 计 算 某 些 积 分 。2.理 解
48、 傅 里 叶 变 换 、 余 弦 傅 里 叶 变 换 、 正 弦 傅 里 叶 变 换 和 它 们的 逆 变 换 的 概 念 ， 掌 握 某 些 函 数 的 傅 里 叶 变 换 及 逆 变 换 的 求 法 。3.掌 握 傅 里 叶 变 换 的 下 列 性 质 ： 线 性 性 、 对 称 性 、 相 似 性 、 平 移性 、 微 分 性 、 积 分 性 以 及 卷 积 定 理 ； 掌 握 用 傅 里 叶 变 换 解 某 些 积分 方 程 和 计 算 某 些 积 分 。（五）作业题1证明：如果 f(t)满足傅里叶变换的条件，当 f(t)为奇函数时，则有 其中0dsin)()(tbtf0tdsin2b
49、当 f(t)为偶函数时，则有 其中0cos)()(twatf02tcosa2 求下列函数的傅里叶变换 (1)tfe(2) 2tt3.已知函数 的傅里叶变换 求()f 00F()=()(),()ft4.设函数 f(t)的傅里叶变换 ， a 为一常数. 证明1().fatFa第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换(一 ） 学 习 目 的 与 要 求拉 普 拉 斯 变 换 在 电 学 、 力 学 和 无 线 电 技 术 等 很 多 工 程 与 科 学领 域 中 有 着 广 泛 的 应 用 。 由 于 它 对 像 原 函 数 要 求 的 条 件 比 傅 里 叶变 换 要 弱 ， 因 此 对 某 些 问 题 ， 它 比 傅 里 叶 变 换 的 适 用 面 要 广 。本 章 总 的 要
