1、1p44 第一章习题 (一) 13, 16, 17 , 2013. 试证 arg z ( 0，D 2 = z | Im(z) 0，D 3 = z | Im(z) 0 上的二元连续函数，故 f(z)是 D1 上的连续函数(3.2) 在 D2 上， f(z) = arccot(x/y)，因 arccot(x/y)是(x, y)2 | y 0 上的二元连续函数，故 f(z)是 D2 上的连续函数(3.3) 在 D3 上，f(z) = arccot(x/y) ，因 arccot(x/y) 是(x, y)2 | y 0，使得 Ur(a) = z | | z a | 0， 0，使得 zDk，当| z a
2、| 0，故 f(z)在单位圆 | z | 0，N +，使得n N，有| zn z0 | 0，N1+，使得n N1，有| xn x0 | N2，有| yn y0 | N，有 n N1 且 n N2，故有| z n z0 | = | (xn x0) + i (yn y0) | | xn x0 | + | yn y0 | 0，K +，使得n K，有| z n z0 | K 时，有| (z1 + z2 + . + zn)/n z0 | = | (z1 z0) + (z2 z0) + . + (zn z0) |/n ( | z1 z0 | + | z2 z0 | + . + | zn z0 |)/n =
3、 ( | z1 z0 | + . + | zK z0 |)/n + ( | zK +1 z0 | + . + | zn z0 |)/n M/n + (n K)/n ( /2) M/n + /2因 lim n (M/n) = 0，故L +，使得 n L，有 M/n K 时，有| (z1 + z2 + . + zn)/n z0 | M/n + /2 0 | (1 z)/(1 + z) | 0 点 z 在 y 轴右侧 点 z 在点 1 和点 1 为端点的线段的垂直平分线的右侧 点 z 在点 1 和点 1 为端点的线段的垂直平分线的与 1 同侧的那一侧 点 z 到点 1 的距离大于点 z 到点 1 的
4、距离 |1 + z | | 1 z | | (1 z)/(1 + z) | | 1 z | |1 + z |2 | 1 z |2 1 + z2 + 2Re(z) 1 + z2 2Re(z) Re(z) 0由本题结论，可知映射 f(z) = (1 z)/(1 + z)必然把右半平面中的点映射到单位圆内的点并且容易看出，映射 f(z)把虚轴上的点映射到单位圆周上的点问题：f( z)在右半平面上的限制是不是到单位圆的双射？f (z)在虚轴上的限制是不是到单位圆周的双射？ 6m+，m +， 1, 2, ., n lim n， +n 0， un， n 1 un，m ， 0， 0， 【解】 0, 2 l 2 dx，f(x) = (, +), 1 k n un，0, 2
