1、1p317 第七章习题 (一) 2, 5, 6, 9, 15, 17, 19 2. 利用保域定理证明：若函数 f(z)在区域 D 内解析，(1) 若| f(z ) |在 D 内为常数，则 f(z)在 D 内为常数；(2) 若 Re( f(z)或 Im( f(z)在 D 内为常数，则 f(z)在 D 内为常数【解】由保域定理，假若 f(z)在区域 D 内不恒为常数，则 f(D)是区域(1) 若| f(z ) |在 D 内为常数，则存在 r 0，使得 f(D) Cr = z | | z | = r 但 int(Cr) = ，故 int( f(D) = ，因此 f(D)不是开集，因此不是区域，矛盾(
2、2) 若 Re( f(z)在 D 内为常数，则存在 a，使得 f(D) La = z | Re(z) = a 但 int(La) = ，故 int( f(D) = ，因此 f(D)不是开集，因此不是区域，矛盾同理，若 Im( f(z)在 D 内为常数， f(D)也不是区域，矛盾故不论如何，f(z)在区域 D 内必恒为常数保区域性定理：设 f(z)在区域 D 内解析且不恒为常数，则 f(D)是区域5. z 平面上有三个互相外切的圆周，切点之一在原点，函数 w = 1/z 将此三个圆周所围成的区域变成 w 平面上的什么区域？【解】设圆周 A, B 外切于原点，圆周 C 分别外切圆周 A, B 于
3、z1, z2由分式线性映射的保圆性，以及 f(0) = ，知 f(A), f(B)为 w 平面中的直线并且因 f(A), f(B)在有限 z 平面内无交点，f(A), f(B)为一对平行直线因 C 不过原点，故 f(C)为 w 平面中的圆周；并且，由分式线性映射的保角性，f(C)与 f(A), f(B)都相切，切点分别为 f(z1), f(z2)下面的图(用 sketchpad 和 photoshop 做出，本质上是尺规作图的结果，累！)，指出圆周 A, B, C 的象 f(A), f(B), f(C)，以及圆周 A, B, C 所围的区域 D 的象f(D)上面的图，我是把 z 平面和 w 平
4、面作为一个平面来画的因为用的是2sketchpad，所以图形应该还是比较精确的同学们可以思考：f(z ) = 1/z 将那三个圆所围的那个无界的(但在 中是单连通的)区域变成哪个区域？6. 如 w = (az + b)/(cz + d)将单位圆周变成直线，其系数应满足什么条件？【解】首先应满足 ad bc 0，以保证映射不是常值映射其次，单位圆周上存在点 使得 w() = ，这意味着 c + d = 0，因此| d | = | c | = | c | | | = | c |反过来，若 ad bc 0， | d | = | c |，则 w = (az + b)/(cz + d)是分式线性映射，具
5、有保圆性因| d/c | = 1，故d/c 在单位圆周上，而且 w(d/c) = ，故单位圆周在此映射的下的象为直线9. 求出将圆| z 4 i | u 的共形映射，使得圆心变到 4，而圆周上的点 2 i 变到 w = 0【解】注意到 4 i 和关于圆周| z 4 i | = 2 对称， 4 和 4 i 关于直线 v = u 对称；因此若分式线性映射 f(z)满足 f(4 i) = 4，f() = 4 i，则 f(z)将圆周| z 4 i | = 2变成直线 v = u根据题目要求，又应有 f(2 i) = 0；故可用分式线性映射的保角比性来确定共形映射 w = f(z)(w ( 4)/(w
6、0) : ( 4 i ( 4)/( 4 i 0) = (z 4 i)/(z 2 i) : ( 4 i)/( 2 i)；即(w ( 4)/(w 0) : (1 i)/( i) = (z 4 i)/(z 2 i)；所以，w = 4i ( z 2i)/(z (4i + 2)或者，直接设 f(z) = ( 4i) (z 2i)/(z d)，将 f(4 i) = 4 代入，则 4 = ( 4i) (4 i 2i)/(4 i d)，即 d = 4 i +2所以 w = 4i ( z 2i)/(z (4i + 2)15. 求出将上半单位圆变成上半平面的共形映射，使 z = 1, 1, 0 分别变成 w =
7、1, 1, 【解】因 f1(z) = (z + 1)/(z 1)把正向实轴变成正向实轴，上半平面映成上半平面，且 f1( 1) = 0，f 1(0) = 1，f 1(1) = ，故 f1 将实轴上的区间 (0, 1)变成正实轴由保角性，f 1 将上半单位圆周变成正虚轴所以，f 1 将上半单位圆共形地变成第一象限而 f2(z) = z 2 将第一象限共形地变成上半平面所以，f 2 f1 将上半单位圆共形映射成上半平面，且(f 2 f1)(1) = ，(f 2 f1)( 1) = 0，(f 2 f1)(0) = 1注意到 f1() = 1，f 1(0) = 1，f 1(1) = ；故(f 1 f2
8、 f1)(1) = 1，(f 1 f2 f1)( 1) = 1，(f 1 f2 f1)(0) = 所以，f = f 1 f2 f1 即满足题目要求f(z) = (f1 f2 f1)(z) = ( (f2 f1)(z) + 1)/( (f2 f1)(z) 1) = ( ( f1(z)2 + 1)/( ( f1(z)2 1) = ( ( ( (z + 1)/(z 1)2 + 1)/( ( (z + 1)/(z 1)2 1)= (z + 1)2 + (z 1)2)/( (z + 1)2 (z 1)2)= 2(z 2 + 1)/(4z) = ( 1/2)(z + 1/z)17. 将扩充 z 平面割去 1 + i 到 2 + 2 i 的线段后剩下的区域共形映射成上半平面【解】设割去的线段的端点分别为 , ，先做分式线性映射使得此线段变成一3条以 0 为端点的射线(在 中看成是一条以 0, 为端点的线段)例如可取 = k (z )/(z )下面选取使当的 k，使得映射将给定的线段映射成(带端点的)正实轴为此，我们要求 ( + )/2) 0即 k ( + )/2 )/( + )/2 ) 0，因此 k 0， u n， n 1 un，m ， 0， 0， 【解】z 0, 2 l 2 dx，f(x) = (, +), 1 k n un，0, 2
