1、福建省泉州市 2015 届高三单科质检数学理试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题） ，第 II 卷第 21 题为选考题。本试卷共 6 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上。2. 考生作答时，将答案答在答题卷上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。3. 做选考题时，考生应先填写所选答试题的题号。4. 保持答题卷面清洁，不折叠、不破损。 考试结束后，将本试卷和答题卷一并交回第 I 卷（选择题 共 50 分）一、本大题共 10 小题，每小题
2、5 分 ，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 ， ，则 （ ）1Ax20Bx()RACBA. B. C. D. ,0),0,1(,12,2. 设向量 ， ，则下列结论中不正确的是( )(,2a,bA B. C. D. abab/3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的 S 为 ，则判断框中12填写的内容可以是( )A. B. C. D. 6n6n6n84. 若用 表示两条不同的直线，用 表示一个平面，则下列命题正确的是 （ ）,mA. 若 ，则 B. 若 则/,mn/nC. 若 则 D. 若 则,n5. 已知直线 ， ，则“ ”是1:
3、()20lxy2:8(1)()0lxy3m“ ”的 （ ）12/lA 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 .已知函数 是定义在 上的奇函数，且在 上是增函数，则函数 的(1)fxR0,)()fx图象可能是（ ）. 已知 是满足 ，且使 取得最小值的正实数若曲线 ,mn14mnxmyan恒过定点 ，则点的坐标为 （ ）(01)a且 M 53（ ， ） 465（ ， ） 195（ ， ） 123（ ， ）在平面直角坐标系中，以点 为圆心的圆与双曲线 -3C（ ， ） 2xyab：的一条渐近线相切，与另一条渐近线相交于 两点若劣弧 所对的圆(0,)ab ,A
4、BAB心角为 ，则该双曲线的离心率 等于（ ）12e 或 或 或 38282899在梯形中， 如果分别以下列各选项所给的内容作为已知条件，/ABCD那么其中不能确定 长度的选项是（ ） 4,5,30AC 2,3,4,B DACD ,5,30C已知集合 ，()4,Pxy若 ，则 的最大值为 （ 22Q(,)xyabaRQP23ab） 第卷（非选择题共分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.请将答案填在答题卡的相应位置.11. 已知 为虚数单位，则复数 的化简结果为_i21i12. 已知 ， 则 =_3sin()25(,)sin213. 一个四棱柱的三视图如图所示，则其表
5、面积为_14. 设 ， 若()1,fx(),fxfn1()()nxf*N的图象经过点 ，则 =_()nfxnan15. 已知函数 ，若对任意 恒成2,()1xf,xR()10fxk立，则实数 的取值范围是_k三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. (本小题满分 13 分)已知数列 的前 项和为 ，数列 是首项与公差都为 1 的等差数列.nanSn(1)求数列 的通项公式；n(2)设 ，试求数列 的前 项和2abnbnT17. （本小题满分 13 分）已知函数 ()sin)3cos,fxxR（1） 求函数 的最小正周期及单调递增区间；（2）在
6、中，设内角 所对的边分别为 .若 且 试ABC,ABC,abc3()2fAab求角 B 的大小.18. (本小题满分 13 分)三棱柱 中， ，D 是 的中点， 与 交于点11平 面 C1D1C在线段 上，且 ， ， ， ，,EFAC2FC1A2BA60B（1） 求证： 1;BCA平 面（2） 求证： 1/FD平 面（3） 求直线 与平面 所成的角的正弦值.119.(本小题满分 13 分)已知：椭圆 的离心率 ，短半轴2:1(0)xyCab12e长为 。斜率为 的动直线 与椭圆 C 将于 A,B 两点，与 轴，3bl x轴相交于 两点（如图所示）yQP、（1） 求椭圆 C 的标准方程；（2）
7、试探究 是否为定值？若是定值，试求出该定值；若不是定值，请说明理由.AB20. (本小题满分 14 分)已知：函数 ， ；直线 ， .1fx2(gx1:lxa2:(0)lba（1） 设函数 ，试求 的单调区间;()0hf()h（2） 记函数 的图象与直线 ， ， 轴所围成的面积为 函数 的图象与直x1l2 1,S()gx线 ， ， 轴所围成的面积为 .1l2S(i) 若 ，试判断 的大小，并加以证明；ab12,(ii) 证明：对于任意的 ，总存在唯一的 ，使得()， 1(,)ab12S21 本题有（1） （2） （3）三个选答题，每小题 7 分，请考生任选 2 个小题作答，满分 14 分.如果
8、多做，则按所做的前两题记分，作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分 7 分)选修 4-2： 矩阵与变换已知矩阵 的一个特征值 ，其对应的一个特征向量 .10aAb21a（I） 试求矩阵 ；1A（II） 求曲线 在经过 所对应的变换作用下得到的曲线方程.20xy1A（2） （本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点 o 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲x线 C 的极坐标方程为 ，直线 与曲线 C 相交于 两点的中点坐标.4csl,AB(3)(本小题满分 7 分)选修 4-5： 不
9、等式选讲已知函数 的最大值为 M(312fxx（I） 求 M;（II） 解关于 的不等式 232015届 泉 州 市 普 通 高 中 毕 业 班 单 科 质 量 检 查 理 科 数 学 试 题 参 考 解 答 及 评 分 标 准 说 明 ： 一 、 本 解 答 指 出 了 每 题 要 考 查 的 主 要 知 识 和 能 力 ， 并 给 出 了 一 种 或 几 种 解 法 供 参 考 ， 如 果 考生 的 解 法 与 本 解 答 不 同 ， 可 根 据 试 题 的 主 要 考 查 内 容 比 照 评 分 标 准 制 定 相 应 的 评 分 细 则 二 、 对 计 算 题 ， 当 考 生 的 解
10、答 在 某 一 步 出 现 错 误 时 ， 如 果 后 继 部 分 的 解 答 未 改 变 该 题 的 内 容和 难 度 ， 可 视 影 响 的 程 度 决 定 后 继 部 分 的 给 分 ， 但 不 得 超 过 该 部 分 正 确 解 答 应 给 分 数 的 一 半 ； 如果 后 继 部 分 的 解 答 有 较 严 重 的 错 误 ， 就 不 再 给 分 三 、 解 答 右 端 所 注 分 数 ， 表 示 考 生 正 确 做 到 这 一 步 应 得 的 累 加 分 数 四 、 只 给 整 数 分 数 选 择 题 和 填 空 题 不 给 中 间 分 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 考 查
11、基 础 知 识 和 基 本 运 算 每 小 题 5分 ， 满 分 50分 1 A 2 D 3 C 4 D 5 C 6 B 7 A 8 B 9 D 10 B 部 分 试 题 考 查 意 图 解 析 ： 题 2 用 代 数 方 法 运 算 量 偏 多 ， 用 几 何 直 观 判 断 比 较 简 单 . 向 量 首 先 属 几 何 范 畴 ， 思 考 向 量 问题 的 解 决 方 法 ， 应 首 先 考 虑 从 几 何 直 观 入 手 ； 引 入 坐 标 表 示 向 量 后 ， 才 使 向 量 进 入 代 数 范 畴 ， 体现 坐 标 法 思 想 这 一 课 程 本 质 .本 题 的 位 置 排 序
12、 ， 意 在 检 测 解 题 的 数 形 结 合 意 识 ， 检 查 对 课 程 价 值 的认 识 和 对 课 程 本 质 的 把 握 是 否 到 位 . 题 5 本 题 交 汇 了 线 线 位 置 关 系 和 充 要 条 件 这 两 个 几 乎 每 卷 必 考 的 重 要 知 识 点 .这 种 题 型 在 一般 情 况 下 ， 对 应 线 线 平 行 （ 或 垂 直 ） ， 参 数 m有 两 解 ， 受 思 维 定 势 影 响 ， 很 可 能 选 择 错 误 选 项 A.题 目 的 设 置 意 在 对 思 维 严 谨 性 的 考 查 . 题 8 C到 渐 近 线 0bxay的 距 离 为 圆
13、 的 半 径 r， C到 渐 近 线 0bxay的 距 离 d， 由 劣弧 :AB所 对 的 圆 心 角 为 12， 得 rd， 即 32|ab， 再 分 两 种 情 况 分 别 求 出 离 心 率 .本 题 综 合 性 强 ， 考 查 了 双 曲 线 的 渐 近 线 、 ,ce关 系 性 质 ， 点 线 距 离 公 式 ， 绝 对 值 含 义 等 基 础 知识 ， 考 查 推 理 论 证 能 力 、 运 算 求 解 能 力 ， 考 查 数 形 结 合 意 识 、 函 数 与 方 程 思 想 、 分 类 与 整 合 思 想等 ， 对 考 生 心 理 素 质 的 要 求 比 较 高 . 题 9
14、该 题 比 较 有 创 意 ， 多 思 少 算 的 典 型 试 题 . 本 题 貌 似 四 个 解 三 角 形 问 题 ， 其 实 并 不 一 定 要 求 对 各 选 项 都 尝 试 具 体 求 解 出 BD， 如 选 项 ,C， 易 判 断 可 以 确 定 梯 形 ， 自 然 也 就 能 确 定 BD长 度 . 题 10 该 题 关 键 在 于 破 解 “QP”的 含 义 ： “P”“数 对 (,)ab满 足 |2b”.再 其 次 就 是 认 识 圆 心 可 行 域 (,)|2ab.该 题 综 合 考 查 集 合 ， 直 线 与 直 线 、 直 线 与 圆 的 位置 关 系 ， 绝 对 值
15、的 含 义 ， 线 性 规 划 等 基 础 知 识 ， 考 查 推 理 论 证 能 力 、 运 算 求 解 能 力 ， 考 查 数 形 结合 思 想 、 分 类 与 整 合 思 想 、 函 数 与 方 程 思 想 、 等 价 与 转 化 思 想 ， 考 查 创 新 意 识 与 应 用 意 识 . 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 考 查 基 础 知 识 和 基 本 运 算 每 小 题 4分 ， 满 分 20分 1 i； 12 45； 13 682； 14 n； 15 12k或 . 部 分 试 题 考 查 意 图 解 析 ： 题 13 该 题 以 三 视 图 为 背 景 ， 通 过 由 三 视
16、 图 想 象 实 际 几 何 体 及 其 主 要 特 征 ， 重 点 考 查 空 间 想象 能 力 与 推 理 论 证 能 力 . 题 14 该 题 通 过 探 求 123(),()fxfx， 发 现 规 律 ， 猜 想 ()nfx的 表 达 式 ， 考 查 合 情 推 理 中的 归 纳 推 理 ， 同 时 通 过 对 “已 知 数 列 前 几 项 ， 写 出 数 列 的 一 个 通 项 公 式 ”问 题 的 考 查 ， 体 现 对 数列 概 念 的 考 查 . 题 15 ()10()|1|fxkxfxxk.首 先 从 方 法 的 决 策 上 体 现 对 数 形结 合 解 题 意 识 的 考
17、查 ； 其 次 从 对 分 段 函 数 231,()|1|xf以 及,|xky的 探 求 体 现 对 分 类 与 整 合 思 想 及 函 数 的 概 念 、 绝 对 值 的 含 义 的 考 查 ； 再其 次 通 过 当 12和 时 ， 折 线 与 曲 线 位 置 关 系 的 判 断 ， 体 现 对 函 数 的 导 数 、 导 数 的 几 何 意 义的 考 查 ， 也 体 现 了 对 数 学 知 识 的 应 用 意 识 的 考 查 .解 题 的 分 析 与 探 究 过 程 ， 体 现 对 推 理 论 证 能 力 和运 算 求 解 能 力 ， 以 及 函 数 与 方 程 思 想 、 数 形 结 合
18、 思 想 、 分 类 与 整 合 思 想 、 特 殊 与 一 般 思 想 等 的 考查 . 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ， 共 80分 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 16 本 小 题 主 要 考 查 等 差 数 列 、 等 比 数 列 等 基 础 知 识 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 ， 考 查 函 数 与 方 程 思 想 、 分 类 与 整 合 思 想 等 . 满 分 13分 . 解 ： （ ） 因 为 数 列 nS是 首 项 和 公 差 都 为 1的 等 差 数 列 ， 所 以 1()nn， 2S. 2分 当 时 ，
19、 1a； 3分 当 2n时 ， 21nnS. 5分 由 得 ， (*)aN. 6分 （ ） 由 （ ） 知 ， 21n， 所 以 21annb， 所 以 352112.()(2)()nnTb 1351(n 8分 2(4)1n. 12分 23n. 13分 17 本 小 题 主 要 考 查 三 角 恒 等 变 换 、 三 角 函 数 性 质 以 及 解 三 角 形 等 基 础 知 识 ， 考 查 推 理 论 证 能 力及 运 算 求 解 能 力 ， 考 查 函 数 与 方 程 思 想 、 化 归 与 转 化 思 想 等 .满 分 13分 . 解 ： （ ） 131()sincossincosin2
20、2fxxxx， 2分 所 以 函 数 ()f的 最 小 正 周 期 T. 3分 当 23x， 即 5,6x时 ， 函 数 ()fx单 调 递 增 . 5分 所 以 函 数 ()f的 单 调 递 增 区 间 为 ： 2,6Zkk. 6分 （ ） 已 知 3()sin2fA， 又 因 为 0， 4， 所 以 23， 即 3. 9分 因 为 ab， 所 以 由 正 弦 定 理 ， 可 得 sin32AaBb， sin1B， 12分 又 因 为 0， 所 以 . 13分 说 明 ： 求 单 调 区 间 的 表 达 方 式 ， 体 现 考 试 说 明 对 三 角 函 数 性 质 以 及 周 期 性 的
21、考 查 要 求 ；涉 及 求 角 的 问 题 ， 一 定 要 关 注 角 的 范 围 的 限 制 这 一 采 分 点 的 体 现 . 18 本 小 题 主 要 考 查 空 间 直 线 与 平 面 的 位 置 关 系 ， 空 间 向 量 的 应 用 等 基 础 知 识 ， 考 查 推 理 论 证 能力 、 空 间 想 象 能 力 、 运 算 求 解 能 力 ， 考 查 函 数 与 方 程 思 想 、 化 归 与 转 化 思 想 、 数 形 结 合 思 想等 满 分 13分 解 ： （ ） C平 面 AB， C平 面 AB， 1C. 1分 在 中 ， 2， 1， 60， 2|cos3， 则 2|A
22、BCA， 09， . 2分 又 平 面 1， 1平 面 1AC， 1C， BC平 面 A. 3分 方 法 一 ： （ ） 由 （ ） 知 11,CB， . 如 图 ， 以 以 原 点 ， 分 别 以 1,所 在 直 线 为 x轴 、 y轴 、 z轴 建 立 空 间 直 角 坐标 系 Oxyz. 4分 则 有 (1,0)A,(,3)B， 1(,0)A， 1(,3)B,1(0,)C， 1(,0)2D. 22D. 5分 设 (,)Fxy,则 (,)xy， 1(,)Fxy. 12AC， 2,()y解 得 ,32,y 即 (,0)3F,1(,)3B. 6分 若 令 1mDnA， 可 解 得 1,3mn，
23、 存 在 ,， 使 得 1F1DBA， 向 量 1FB与 共 面 . 8分 又 平 面 1A, 1:平 面 1. 9分 （ ） (,03)(,0)22D， (,03)CB . 设 平 面 1B的 一 个 法 向 量 xyzn， 直 线 与 平 面 1ABD所 成 的 角 为 . 由 10DAn， 得 1302xy， 整 理 得 23zxy， 令 23x， 得 平 面 1B的 一 个 法 向 量 (,1)n， 1分 所 以 3sin46C. 故 直 线 B与 平 面 1AD所 成 的 角 的 正 弦 值 为 1. 13分 方 法 二 ： （ ） 连 结 1， 交 于 点 G， 连 结 E.则 有 1AGB. 4分
