1、浙江省杭州第二中学 2015 届高三上学期第一次月考数学（理）试题一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知函数 的定义域为 ,值域为 ,则 =)1(log)(2xxf MN()RCUA B C D |x2.为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象)3cs(xy xy2sinA向右平移 个单位 B向右平移 个单位65 15C向左平移 个单位 D向左平移 个单位 23.若“ ”是“ ”的充分而不必要条件 ,则实数 的取值范围是01x()(2)0xaaA B C D,1, (0)()4.设 ， 满足约束条件 且 的最小
2、值为 7，则xy,xyzxayaA.-5 B.3 C.-5 或 3 D.5 或-35.如图，P 是正方体 ABCDA1B1C1D1 对角线 AC1 上一动点，设 AP 的长度为 x，若PBD 的面积为 f(x)，则 f(x)的图象大致是6.若关于 的不等式 在区间 上有解, 则实数 的取值范x20ax15a围为A B C(1,+) D),53(,31,7.已知两点 (,0)M， (1,)N，若直线 40xym上存在点 P满足 0MN，则实数 m的取值范围是A. (,5, B. (,25,)C.2 D.D1 C1B1A1 PDCBA8.已知 F为抛物线 2yx的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位
3、于 x 轴的两侧，OAB（其中 O 为坐标原点） ，则AFO 与BFO 面积之和的最小值是A 28 B 24 C 2 D 29.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数被称为狄利克雷函数，其中 R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数QCxfR,01)(有如下四个命题： ；函数 是偶函数； 任取一个不为零的有f 0)(xf)(xf理数 T, 对任意的 恒成立；存在三个点T，使得 为等边三角形.其中真命题的个数)(,)(,)(, 321 xfCxfBxfAABC是A1 B2 C3 D410.如图为函数 的部分图象，ABCD 是矩形，A ，B 在图像上， 1)(2xf将此矩形绕
4、x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为A B 2C D3 4第 II 卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分11.设 sin ，则 _.1+=43（ ） sin212.已知 是定义在 上的奇函数，当 时， . 则函数()fxR0x2()=3fx的零点的集合为 .+3g13点 A 在单位正方形 的边 上运动， 与 的交点为 ，则 的最OPQR,OARPBOA大值为 .14.设数列 是等差数列，前 n 项和为 ， 是单调递增的等比数列， 是 与nanSb21b1a的等差中项， ， ，若当 时， 恒成立，则 的最小253143abmnSm值为 .15.已知
5、的三边长 成等差数列，且 则实数 b 的取值范围是 .ABC,abc122cba16.关于 的不等式 的解集为 .x|sin|3|os|xx17.设 ， ，令 ，若)216(sin,i,1)(xxf|6|(xxg)()(xgfF关于 的方程 有且仅有四个不等实根，则 的取值范围为 .a(2maF m三、解答题18 （本题满分 14 分）设函数 直线与函数 图像相邻两交点的距离为 .（1）求 的值；（2）若 在 上的最大值为 ，最小值为 1，求 的值.19 （本小题满分 15 分）设函数 , .（1）若方程 在 上有根,求 的取值范围；（2）设 ，若对任意的 ，都有 ，求 的取值范围.20 （本
6、小题满分 14 分）如图，已知 平面 ， 平面 ， 为等边三角形， ， 为 的中点.（1） 求证：平面 平面 ；（2） 求二面角 的余弦值.21 （本小题满分 14 分）椭圆 C： (ab0)的离心率为 ，P( m，0) 为 C 的长轴上的一个动点，过 P 点斜率为 的直线 l 交 C 于 A、B 两点.当 m0 时， .(1)求 C 的方程；(2)证明： 为定值.22 （本小题满分 15 分）已知函数 ， ，（1）若 ，试判断并用定义证明函数 的单调性；（2）当 时，求函数 的最大值的表达式 ；（3）是否存在实数 ，使得 有且仅有 3 个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有 的值，若
7、不存在，说明理由.2014 学年杭州二中高三年级第一次月考数学试卷（理科答案）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 （1 ） （2 ） （3 ） （4 ） （5 ）答案 B D A B A题号 （6 ） （7 ） （8 ） （9 ） （10 ）答案 A D B C A二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分17.解： 关于 对称，且在 上为定值，故方程)()(xgfxF351x等价于 或 或212maama22 6212ma5对于 ，解得 ，若解集是一个区间，则不符题21ma251-3-ma或
8、意；若解集为离散的点，则满足 ，且 ，这含在前两种情2或51或a况中.于是只需令 ， 各有两根，且a12 61交集为空.512ma， ，450)1(4 4370)7(492 m（11 ） （12） _ _ 927,13（13 ） 1 （14） 4 _ （15 ） （16） 3,74( Zkk),32,(（17 ） 5又 为空集，得到 ，从而251-3-ma或 351mm或或.5当 ， 的根相等时，得到2 62a.3,5417三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分 14 分）解：(1) )32sin(2cos3sin22cos21si
9、1)6()2 xxx xf由题意， ，故 .T1(2)当 ， ，于是,0x3,)(f当 时， ，得到 ；a2532ba25,1ba当 时， ，得到 ；0a132ba13,ba所以 .7或19. （本小题满分 15 分）解(1) 等价于 ，故 .xf3)()1,2(12ax)1,2(a(2)首先 在 上恒成立，即 ，故 ；014a),( 04其次， ， ， ，5)(axf)4(log),(log(22aax于是 ，于是a26log265420 （本小题满分 14 分）解法一：（1）设 CE 中点为 M，连 BM，MF 则 ,BMCE由 可知/MFBA/F DE平面 C E 即AD ,又 ,平面
10、平面 D平 面 平 面 C DACBEF（2 ）过 M 作 MDEF 于 P， BDEFBMCDE平 面即是二面角 的平面角的补角BPEF , .351cos4即二面角 的余弦值为 .D解法二：设 2ABa，建立如图所示的坐标系xyz，则0,0,3,0,2CaEa， ， ,， ，. F为 的中点， 2F. (1) 证明: 3,0,30,22AaDaa， FCE， ACFED. 平面 ，又 /平面 B，平面 B平面 . (2) 解: 设平面 的法向量 ，由 ，F1(,)nxy10nB可得：10nF310,320xyx同理可求得平面 的法向量 35(,)26DE23(,),二面角 的余弦值为 .
11、12cos4|nBF1421 （本小题满分 14 分）解：（1）因为离心率为 ，所以 ，当 m=0 时， 的方程为 ，代入5354ablxy54中，整理得到 ，设 ，则 ，于是2xyab2x),(0yxA),(0B，所以 ， .椭圆方程为 .41PBA16b1625yx（2）设 ， 的方程为 ，代入 并整理得到),(),(21yxlmyx42. .05805my 5)(8,522121 则 ，同理1211264)(| yxPA 26|yPB则 ,4125)()4(16)(|2 212212 mBDACBEPMF所以 为定值.22|PBA22. （本小题满分 15 分）解：（1）当 时，在上单调
12、递增；1a证明：当 时， ，4,xxf4)(任取 ，且 ，则,21x21)1)()( 22xff 因为 ， ，故 ， ，所以21x4,21 01x041x0)(21xff即 )(ff故当 时，f(x)在上单调递增.a（2）当 时， ， xf3)4(faM当 时， ，41a4,(,12)(axf（i）当 时，若 ， ；若 ，,x1af4)(42a42)(afaM（ii）当 时，, 3)(fM故当 ，由 ， ， ，当 时，71 342)(M27)(当 时， ， 4axaxf42)()(afa综上： .27,43)(aM(3) ,),(, 0,2)(axxxf当 时， 有一根为 4， 在 上必有两根41a332xa0,(xa，得到 或 ，于是 ，于是 ，2x71421124x解得 ，因为 舍去； 2a当 时， 有两根为-1 和 4，故令 在 上有且仅有一根1a34x 3xa,(a
