1、广西武鸣高中等四校 2015 届高三上学期 12 月联考数学理试题本试题分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分 150 分。考试时间 120 分钟第卷一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 0cos24A B C D32312212.已知两点 ，则与 同方向的单位向量是(4,1)7,)ABA B C D3534(,)543(,)543(,)53.设全集 U=R,集合 A=x|y= ,B=y|y= ，则 2x-xR， UCABAx|x24.若 、 、 成等比数列，则函数 的图象与 x 轴的交点个数为 abc2yabcA0 B
2、1 C2 D不能确定5.一个四棱锥的三视图如图所示，其中正视图是腰长为 1 的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是A1 B C D2146.等比数列 中，已知对任意正整数 ， ，则nan12321naa22213nA B C Dn（ 4-） n13（ -） n4-n2（ -）7.设 x，y 满足约束条件 ，向量 且 ，则10yx2 ),1(,2(bmxyaba/1 1正视图 侧视图俯视图m 的最小值为A6 B C D623238. 函数 = 是奇函数，则 为()fx3cos()sin(x)A （ ） B （ ） kZ6kZC （ ） D （ ）339.已知两定点 A（-2,0）和 B（2,0）
3、 ，动点 P（x,y）在直线 L： 上移动，3yx椭圆 C 以 A、 B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为A B C D264262134110.如图，AB 是O 的直径，VA 垂直O 所在的平面， C 是圆周上不同于 A、B 的任意一点， M、N 分别为 VA、VC 的中点，则下列结论正确的是AMN/AB BMN 与 BC 所成的角为 45oC OC 平面 VAC D平面 VAC 平面 VBC11.已知函数 恒成立，则 x 的取值3(),2,()(0fxmfxf范围为A （ 2， ） B （ ，2） C （ 2,2） D （ 3,2）12.已知双曲线 的焦点 （c0） ，过
4、 的直21(0,)xyab12(0)(c)F， 、 ， 2F线 L 交双曲线于 A、D 两点，交渐近线于 B、C 两点，设,11m,nFBCF则下列各式成立的是A B C D|n|mn|0|mn|0第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题 第 24 题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13. 12lg50log414.已知 ，则 的展开式中的常数项是 30sinx da61()a15.设函数 在 内可导，且 ，则 ()f,()xxfe/(1)f16.已知定义在 R 上的函数 是奇函数且满足 ，数列
5、()fx(3,25ff满足 ,且 （其中 为 的前 项和） ，则na12nSanSan45()ff三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分 12 分）.如图，在 中，BC 边上的ABC中线 AD 长为 3，且 。362,sin8BD（1）求 sin BAD 的值（2）求 AC 边的长18.（本小题满分 12 分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ，否则称为“非低碳族” 数据如下表（计算过程把频率当成概率） () 如果甲、乙来自 小区，丙、丁来自 小区，求这 人中恰有 人是
6、低碳族的概率；AB42（） 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有 的人加入到低碳族的行列如果20%周后随机地从 小区中任选 3 个人，记 表示 3 个人中低碳族人数，求 的分2XX布列和数学期望 19.（本小题满分 12 分）四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧SABCDAB面 底面 已知 ， ，135o2C， 为线段 的中点2FS（）求证： 平面 ；/（）求平面 与平面 所成二面角的余弦值 、S20.（本小题满分 12 分）直线 与双曲线 C： 的右支交于不:1lykx21xy同的两点 A、B。AB CDAB CD小区 低碳族 非低碳族频率 p0.5. 小区 低碳族 非低碳族频率 p0.8.（1
7、）求实数 的取值范围；k（2）是否存在实数 ，使得以线段 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点ABF？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。21 （本小题满分 12 分）已知函数 （e 为自然对数的底数）.xxf)1(（1）求函数 的单调区间；()fx（2）设函数 ，存在实数 ，使得/()()xftfe 0,112x、成立，求实数 t 的取值范围。12()x请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分 10 分）如图，已知O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E，连接 AD、BD、OC、OD，且 OD=5.（1）若 ，求 CD 的长；3si
8、n5BAD（2）若 ，求扇形 OAC1:4:O（阴影部分）的面积（结果保留 ）23.（本小题满分 10 分）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线 L 的极坐标方程为 曲线 C 的cos2in0.参数方程为（ 为参数）4cos2inxy（1）求直线 L 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程。（2）若直线 L 与曲线 C 交于 A、B 两点，求线段 AB 的长。24. （本小题满分 10 分）已知函数 ()213fxx(1)求不等式 的解集。()6fx(2)若关于 x 的不等式 的解集非空，求实数 的取值范围。()faa数学(理科)答案一.选择题：CADAC AB
9、DBD AC； 二、填空题：13、0; 14、64; 15、2; 16、5三、解答题：17.解（1 ）由正弦定理可得 -sinsiBDA362sin8in4BDA -6 分（2 ） , -3610sincos88B610sicos4 -8 分 cocoinADCBADBABAD（ ）-10361844 -10 分为 中点，B22 cosACDACD2132()64-4 12 分18.解：解：（）设事件 表示“这 人中恰有 人是低碳族” 1 分422112222()0.5.0.50.80.5.8P C 5 分163（）设 小区有 人，两周后非低碳族的概率 Aa2.(%).3aP故低碳族的概率 7
10、 分0.2.68P的所有可能取值为 0，1 ，2，3 ，低碳族的概率X 10.6825， , 38(0)(5P1237()()5XC 3)()PXC的分布列为720 1 2 3因随机地从 小区中任选 3 个人，这 3 个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族A的概率都是 ，故这 3 个人中低碳族人数服从二项分布，即0.68，故 12(,)XB()0.682.4EX19.解（1 ）连接 交 于点 ，连接 ，由于底面 为平行四边形， 为DCFABCDE的中点，在 中， 为 的中点， ，又 平面 ， 平面SF/SEFSCFA平面 -/A5 分（2 ）以 的中点 为坐标原点，分别以 为 轴，建立如图
11、所BOOA， ， xyz， ，示的坐标系，则有 (2,0)(,20),(2),(0,)BSC， -(,)SAS (2,0)DBA-7 分设平面 的法向量为B1(,)nxyz由 ，得10nS20令 得： ，-9 分z1,(,)xyn同理设平面 的法向量为 ，SCD2abc由 ，得 ，令 得： -20n01)1,(,12nca-10 分设平面 与平面 所成的二面角为 ，则 -SCDAB1212cos|,|3n-12 分20.解：（1 ）将直线 的方程 代入双曲线 的方程 后，整理得l1ykxC2xy -2()20kxk -2 分依题意，直线 与双曲线 的右支交于不同两点lP38()251278()
12、5C23178()5317()AB CDXYZOE故 解得： -220()8)0kk2k-5 分（2 ）设 两点的坐标分别为AB、 12(,),xy、则由式得 -122kx -7 分假设存在实数 ，使得以线段 为直线的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,o)，则kAB由 得： ，即FAB1212()0xcy1212()()0xcx整理得 -21)kkcxc -10 分将式及 代入式化简得 解得 或62c2560k65k（舍）6(,)5k可知存在 使得以线段 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点-5kAB-12 分21.解：（1 ） 函数的定义域为 R,/()xfe当 时， ，当 时，0x/()0
13、fx/()0f在 上单调递增，在 上单调递减-()f,-4 分（2 ）假设存在 ，使得 成立，则12,0,x)(221xminma()()x-2/ ()xxtfte2/(1)()1()xxttee-6 分当 时， ， 在 上单调递减， ，即1t/()0(),1()0-8 分312et当 时， ， 在 上单调递增， ，即0t/()0x(),12(0)1-10 分te当 时，若 ， 在 上单调递减；若1t/,)(0tx(),t， 在 上单调递增，所以 ，即/(,)0xx(12()max(0),1，由（1）知，32ma,*t tee （ ）在 上单调递减，故 ，而 ，所以不等1()tg42te3te
14、式 无解。*综上所述，存在 ，使得命题成立-(,3)(,)2t-12 分22.解：（1 ）因为 是O 的直径，AB5OD所以 ，在 中，90,1oDRtABsinBDA又 ，所以 ，所以3sin5356221068AB因为 ，所以9,oDAC,DEABCED所以 ，所以 所以 -8E454825-5 分（2 ）因为 是O 的直径， ，所以 ，ABABAA,B所以 .,DCOD因为 ,所以 ,所以 -CDO -7 分设 ，则 ，.由 ,得4AxxB4:4:1AEEx因为 ，所以 ，所以 ，所以90oE09xo，所以00 1)(18DOAOD 0A故 -25368ACS 扇 形10 分23.解：（1 ）因为 ，所以直线 的直角坐标方程为 ，cos,inxyl20xy因为 ，所以曲线 C 的普通方程为 -1incos222164xy -5 分（2 ）联立方程 ，可求得交点坐标为 和20164xy2,2,所以 -2|AB 10 分24.解：（1 ）求不等式 的解集，即求 的解集，6)(xf 6321x得 或 或12(3)xx2(3)x2()x解得 或 或即不等式的解集为 -|12x 5 分（2 ） ()|3|(1)(23)|4fxx即 的最小值等于 4，()fx由题意得 ，解此不等式得 或|1|aa5故实数 的取值范围为 -(,35,) 10 分
