1、广东省清远市第二中学 2015 届高三第二次月考文科数学试卷本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设 为虚数单位，则复数 （ D ）i34iA B C D43i43i43i2设集合 , ，则 （A ）1,256U1,5MUA B C D,63,23下列函数为偶函数的是（ D ）A B C Dsinyx3yxxye2ln1yx4在 中，若 ， ， ，则 =（ B C60A453BAC）A B C D 32325.如图，在 RtABC 中，A90，AB
2、1，则 的值是ABC( B )A、1 B、1 C、1 或1 D、不确定，与 B 的大小，BC 的长度有关6某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为（ C ）A B C D 724830247在平面直角坐标系 中，直线 与圆xOy5xy2xy相交于 、 两点，则弦 的长等于（B ）AA B C D 32318执行如图 2 所示的程序框图，若输入 的值为 6，则输出 的值ns为（ C ） 第 5题A B C D 1056159函数 ()sin()fxx（其中 0,|2A）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将 singx的图像 （ A ） A向左平移 6个单位长度 B向右平移 6个单位长度C向
3、左平移 3个单位长度 D向右平移 3个单位长度10. x , y 满足约束条件 .02,yx若 取得最大值的最优解不唯一，则实数axyz的值为（ D ）aA、 21或-1 B、2 或 1 C、2 或 1 D、2 或-1二、填空题：本大题共 5 小题考生作答 4 小题每小题 5 分，满分 20 分 （一）必做题（1113 题）11函数 的定义域为_ _xy1),0(),112若等比数列 满足 ，则 _ _na245231a413函数 的最小值为 ()xfee（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）14 （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中 中，曲线 和曲线 的xoy1C2参数
4、方程分别为 （ 为参数， ）和 （ 为参数） ，则sin5cy021tyx曲线 和曲线 的交点坐标为 （2,1） 1C215 （几何证明选讲选做题）如图 3，直线 PB 与圆 相切与点 B，D 是弦 AC 上的点，O，若 ，则 AB= DBAP,mCnmn图 3OAB CP D第 9 题图三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （12 分）已知等差数列 的公差 ,前 项和为 .na1dnnS（1）若 成等比数列, 求 ；13a1（2）若 ，求 的取值范围59S116解：（1）根据数列 的公差 ,且 成等比数列, nad13a得 , 21()a即
5、 ，解得 或 。 0112（2）根据数列 的公差 ,且 , n59S得 ; 21158a即 ,解得 31a17、 （本小题满分 12 分）已知函数 3sin()cos()2,()6fxxR（1）求 的值；5()6（2）求 子啊区间 上的最大值和最小值及其相应的 x 的值fx,217.【解析】（1） 3sin2x+22 分)6cos()sin(3)(xxf+24 分=1 6 分（2） 2x6536 7 分1sin21x8 分从而当 3时，即 6时 10 分4)(maxf而当 63x时，即 2x时12 分1)(minf18.（本小题满分 12 分）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在
6、我市某普通中学高中生中随机抽取 200 名学生，得到如下 列联表：2喜欢数学课 不喜欢数学课 合计男 30 60 90女 20 90 110合计 50 150 200（1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取 5 人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从中随机抽取 2 人，求恰有一男一女的概率.dbcabnK2)(Pk2（ ）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010.455 0.708 1.323 2.072
7、2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828解：（1） ， （2 分）220(3960).615.02415K约有 97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”. （4 分）（2）男生抽取的人数有： （人） （5 分）302女生抽取的人数有： （人） （6 分）5（3）由（2）可知，男生抽取的人数为 3 人，设为 a， b， c，女生抽取的人数为 2 人，设为 d， e，则所有基本事件有： 共 10(,),(),abcde(),(,)de,(),ced种.（8 分）其中满足条件的基本事件有： 共 6 种， (10 分)(,),ade(),be(,)cde所
8、以，恰有一男一女的概率为 . （12 分）63105p19 （本小题满分 13 分）如图 3，在四棱锥 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，且 DAB=60. 侧面PABCDPAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面 ABCD， G 为 AD 边的中点.（1）求证： BG平面 PAD；（2）求三棱锥 GCDP 的体积；（1）证明：连结 BD. 因为 ABCD 为棱形，且 DAB=60，所以ABD 为正三角形. （1 分）又 G 为 AD 的中点，所以 BG AD. （2 分）又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD， （3 分） BG平面 PAD. （4 分）（2）
9、因为 G 为正三角形 PAD 的边 AD 的中点，所以 PGAD.又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，所以 PG平面 ABCD. （5 分）因为正三角形 PAD 的边长为 2，所以 . （6 分）3PG在 CDG 中， CD=2， DG=1， CDG=120，所以 . （7 分）2312CDGS故 . （8 分）1PV20.（本小题满分 14 分）已知函数 ()lnfxax（I）当 1a时，求曲线 ()yf在点 1,()f处的切线方程；（II）在（I）的条件下，求 x的极值；（III）讨论 ()fx的单调区间。PAB CDGE图 320.解：（I）当 1a时， ()
10、lnfx， 1()(0)fx-1 分()f， 2f -3 分所以切线方程为 0y -5 分（2 ）函数的定义域为 ),(，由（1 ）得 xf1)( ，-6 分x0 0)(xf恒成立 -8 分f(x) 在 ,上单调递增，没有极值 -9 分 （3 ） ()(0)xaf -10 分当 时，在 ,时 ()0fx，所以 ()fx的单调增区间是 (0,)；-11 分当 0a时，函数 ()fx与 在定义域上的情况如下：,)aa(,)a()f0 +x 极小值 -13 分综上，当 0a时， ()f的单调增区间是 (0,)；当 a0 时， ()fx的单调增区间是(,)，减区间是 ,a。-14 分21 （14 分）
11、已知动点 到直线 的距离是它到点 的距离的 2 倍。 (,)Mxy:4lx(1,0)N()求动点 M 的轨迹 C 的方程； ()过点 的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜(0,3)P率. 21解: () 根据点 到直线 的距离是到点 的距离的 2 倍,则 ,)xyx()1341(2|4| 22x. 故动点 的轨迹为椭圆,其方程为 y ()设 ，则由题知12()(,)AxyB。120,3椭圆的上下顶点坐标分别是 ，经检验直线 不经过这 2 点,即直线0,(,3)m斜率 存在.设直线 的方程为 .联立椭圆和直线方程,整理得: mkmykx221212 444)43 kx（23924)3(25)(212121 kkxx 故直线 的斜率 3k m
