1、【解析】山东省日照一中 2015 届高三上学期第三次阶段复习质量达标检数学理【试卷综述】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说是一份很有特色的试题.【题文】第 I 卷（共 60 分）【题文】一、选择题 (本大题共 10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.)【题文】1已知 ， 是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则 （ ）ab
2、R， iai2bi2abi+A B C D54i3434i【知识点】复数代数形式的乘除运算L4【答案】 【解析】D 解析： 与 互为共轭复数，则 ，ai2bi ,1a= = ，故选：D2abi+()234ii+【思路点拨】由条件利用共轭复数的定义求得 的值，即可得到 的值,a2bi+【题文】2. 设集合 ， ，则 （ ） 12AxR ,xByRABA B C D03， 03， 1 3，【知识点】交集的运算.A1【答案】【解析】B 解析： = , 12xx|= ,所以 ,故选 B. 2,xyRy|0AB0 3，【思路点拨】先求出集合 A,B,再求出交集即可.【题文】3.设 则（ ）0.321lo
3、g,log,abcA. B. C. D. bcababc【知识点】比较大小；指数、对数函数的性质.B6 B7 E1【答案】【解析】A 解析：因为 利用指数、对数函数的性质可得0.321log,log,c， ， ，所以 ，故选 A.0log31p21log0 Da 2abb21a 1b baab【知识点】不等式比较大小；不等关系与不等式E1【答案】 【解析】D 解析：选项 A，c 为实数，取 c=0，ac 2=0，bc 2=0，此时 ac2=bc2，故选项 A 不成立；选项 B， ， ab0，ba0，ab0， ，即 ，1ab-= 0ba-1b故选项 B 不成立；选项 C，a b0，取 a=2，b
4、=1，则 ， ，此时 ，12-=0 21 ， ；120a+10a+同理由 可得 ， ，结合 可得 ，S10a 时， 最大，而 最小，故 最大 故选：C.10n101010s【思路点拨】由等差数列的性质和求和公式易得 且 ，可得 时， 最大，而10a+10a0ka=-故答案为： 。,2+【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出 a的取值范围【题文】13已知 2 ， 3 ， 4 ，若 7 ，(a、b 均为正实数)，则类比以2 23 23 3 38 38 4 415 415 7 ab ab上等式，可推测 a、b 的值，进而可得 ab .【知识点】类比
5、推理M1【答案】 【解析】55 解析：观察下列等式2 ， 3 ， 4 ，2 23 23 3 38 38 4 415 415照此规律，第 7 个等式中：a=7，b=7 21=48，a+b=55，故答案为： 55【思路点拨】观察所给的等式，照此规律，第 7 个等式中：a=7，b=7 21=48，即可写出结果【题文】14已知 x0，y0，且 =1，若 x+2ym2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围 . 21xy【知识点】函数恒成立问题E6【答案】 【解析】 解析： =1，42m-a1)上的“平均值函数”， 是它的一个均值点，xln)(则 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）1l0【知识点】命
6、题的真假判断与应用A2【答案】 【解析】 解析：容易证明正确函数 是 上的“平均值函数” ；1cos)(xf 2，1 就是它的均值点不正确反例： 在区间 上()fx=0,6正确由定义： 得 ，2012m- ()200011xmx-=+又 所以实数 m 的取值范围是 01,x- )(，正确理由如下：由题知 0lnbax-=要证明 ，即证明： ，0lnxab211lnln0tt0 的解集为 x|x4 或 x0, 0,1x 41-x + =( + )x+(1-x) 91x 41-x 1x 41-x 5当且仅当 ，即 x= 时,等号成立.13f(x)的最小值为 9.12 分【思路点拨】(I) 由三个二
7、次的关系可得 ，解方程组可得；(II) 由(I) 知 f(x)= + ，由基本不等4+1=5a41=b) 1x 41-x式可得【题文】17（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列 满足： ,且 是 , 的等差中项. na28432a32a4(I) 求数列 的通项公式；na(II) 若 ， ，求 成立的正整数 n 的最小值.nb21lognbs1 501ns【知识点】数列的求和；等比数列的通项公式D3 D4【答案】【解析】(I) ； (II) 5na解析：(I) 设等比数列 an的首项为 a1，公比为 q，依题意，有 2(a3+2)=a2+a4,代入 a2+a3+a4=28, 得 a3=8,a
8、 2+a4=20 31208aq解之得 12qa或 13又a n单调递增，q=2,a 1=2, .6 分n(II)12lognnb,3.2nns4 1()n-得231.nnn 122n150,s即150,2故使n成立的正整数 n 的最小值为 5 . 12 分【思路点拨】 （）设出等比数列a n的公比为 q，根据等比数列的通项公式及等差数列的性质分别化简已知的两条件，得到一个方程组，化简后即可求出 a1 和 q 的值，写出数列 an 的通项公式即可；（）把（）求出的数列 an 的通项公式代入，利用对数函数的性质化简，确定出 bn 的通项公式，列举出数列b n各项的和的相反数设为 Tn，记作，两边
9、乘以 2 得到另一个关系式，记作，即可求出 Tn，即为Sn，把求出的 Sn 代入已知的不等式中化简，即可求出满足题意的最小的正整数 n 的值【题文】18. （本小题满分12分）已知向量 ， 3(si,)4ax(cos,1)bx(I)当 时，求 的值；/b2coi(II)设函数 ，已知在 中，内角 的对边分别为 ，)fABCBC、 、 abc、 、若 ， ， ，求 （ ）的取值范围.3a6sin3()4cos(2)6fx0,3x【知识点】余弦定理；数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用菁 C7 C8 F2【答案】【解析】(I) ；(II) 21s12f85解析：(I)33/,cosin0,
10、ta44abxx22 22csn8cosini1t5x6 分(II) ()s()4f x+由正弦定理得 in,ini24abAAB可 得 所 以 或 3A 因为 ，所以 62cos4xf si()4x1, 0,3x12,42x,所以 213Af 12 分【思路点拨】 （1）由两向量的坐标，以及两向量平行列出关系式，整理求出 tanx 的值，所求式子变形后利用同角三角函数间的基本关系变形，将 tanx 的值代入计算即可求出值；（2）利用平面向量的数量积运算法则确定出 f（x），由 a，b 及 sinB 的值，利用正弦定理求出 sinA 的值，确定出 A 的度数，代入所求式子，根据 x 的范围求出
11、这个角的范围，进而求出正弦函数的值域，即可确定出所求式子的范围【题文】19（本小题满分12分）为迎接 2014 年“双十一” 网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量 p 万件与促销费用 x 万元满足： (其中 ，a 为正常231pxx0数)已知生产该产品还需投入成本 万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为 元件，假102 4)p定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求(I)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；(II)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值.【知识点】根据实际问题选择函数
12、类型B10【答案】【解析】(I) （ ）； (II) 当 时，促销费用投入 1 万元，厂家的x1460a1a利润最大；当 时，促销费用投入 万元，厂家的利润最大. 1aa解析：(I) 由题意知， ，3 分)2()24(ppy将 代入化简得： （ ）. 5 分231pxx160a(II) ， 3)(27)(7 y当且仅当 时，上式取等号. 8 分,14xx即当 时，促销费用投入 1 万元时，厂家的利润最大；9 分a当 时， 在 上单调递增，)(7y0,a所以 时，函数有最大值，即促销费用投入 万元时，厂家的利润最大x11 分综上，当 时，促销费用投入 1 万元，厂家的利润最大；1a当 时，促销费
13、用投入 万元，厂家的利润最大. 12 分a【思路点拨】 （）根据产品的利润=销售额产品的成本建立函数关系；（）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件【题文】20（本小题满分13分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an ，f(n) ，1n 2n1S， ，(I)计算 f(1)，f(2)，f(3)的值；(II)比较 f(n)与 1 的大小，并用数学归纳法证明你的结论.【知识点】数列递推式；用数学归纳法证明不等式D1 M3【答案】 【解析】(I)见解析； (II) 当 n1 和 n2 时，f(n)1；当 n3 时，f(n)1.证明见解析。解析：(I) 由已知 f(1
14、)S 21 ，12 32f(2)S 4S 1 ，12 13 14 1312f(3)S 6S 2 ；3 分13 14 15 16 1920(II) 由(1)知 f(1)1，f(2)1；下面用数学归纳法证明：当 n3 时，f(n)1. 5 分由(1)知当 n3 时，f(n) 1；6 分假设 nk(k3)时，f(k) 1，即 f(k) 1，那么1k 1k 1 12kf(k1) 1k 1 1k 2 12k 12k 1 12k 2 1 12k 1 12k 2 1k 2k12k1 1 1，2k (2k 1)2k(2k 1) 2k (2k 2)2k(2k 2) 12k(2k 1) 1k(2k 2)所以当 n
15、k1 时，f(n)1 也成立.11 分由和知，当 n3 时，f(n)1. 12 分所以当 n1 和 n2 时，f(n)1；当 n3 时，f(n) 1. 13 分【思路点拨】（1）此问根据通项公式计算出前 n 项的和当 n=1 时，f（1）=s 2；当 n=2 时，f（2）=s4s1=a2+a3；当 n=3 时，f（ 3）=s 6s2（2）当 n=1 时，当 n1 和 n2 时，f(n)1；当 n3 时，f(n) 1.【题文】21（本小题满分 14 分）已知函数 .2()xfxae(I)若函数 在点（0， ）处的切线与直线 平行，求 a 的值；y(f310xy(II)当 时， 恒成立，求实数 a
16、 的取值范围 .,44f【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.B11 B12【答案】【解析】(I) ； (II) 2a4e解析：（） ，由条件知 ， (1)()xfx (0)1fa因为函数 在点 的切线与直线 平行，0,f3y所以 , . 4 分31（）2()()xaafxe()(xae当 时， ，在 上，有 ，函数 是增函数；在 上，有010,)0ff)4,1()0fx函数 是减函数， 函数 的最小值为 0，结论不成立f 4()(f ()6 分当 时， a12,xa(1)若 ， ，结论不成立 7 分0()0f(2)若 ，则 ，在 上，有 ，函数 是增函数；(,1)()0fx()fx在 上，有 ，函数 是减函数，)4,1()fxfx
