1、浙江省嘉兴市第一中学等五校 2015 届高三上学期第一次联考数学（文）试题【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式性质、函数的性质及图象、三角函数的图像与性质、解三角形、数列、平面向量、立体几何、绝对值不等式等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1. 已知
2、全集为 ，集合 ，则 （ ）R221,680xABxRACBA. B. C. D.0x24x04或 24x或【知识点】集合的运算 A1【答案】 【解析】C 解析：因为 ，所以21,680xABxx，则选 C.24,04RRBAC或 或【思路点拨】遇到不等式解集之间的关系时，可先对不等式求解，再对集合进行运算.【题文】2. 在等差数列 中， ，则 等于（ ）na563,2a348aA. B. C. D. 12【知识点】等差数列 D2【答案】 【解析】C 解析：因为 ，所以 ，则选 C.561a348563aa【思路点拨】一般遇到等差数列，可先观察其项数是否具有性质特征，有性质特征的先用性质转化求
3、解.【题文】3. 设 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是（ ） lmA. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则lllm/C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则l/l/【知识点】线线、线面位置关系 G4 G5【答案】 【解析】B 解析：A 选项，由线面垂直的判定定理可知不一定垂直，所以错误；B 选项，若， ，则 ，由线面垂直的性质可知正确，因为只有一个选项正确，所以选 B.llm/【思路点拨】准确理解直线与平面垂直的判定定理与性质定理是本题的关键.【题文】4. 设 是实数，则“ ”是“ ”的（ ）,ab1ab1abA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既
4、不充分又不必要条件【知识点】充分、必要条件 不等式性质 A2 E1【答案】 【解析】A 解析：因为 ，所以若 ，显然11abab 1ab，则充分性成立，当 时显然不等式 成立，10bab 2,31ba但 不成立，所以必要性不成立，则选 A. 【思路点拨】判断充分必要条件，应先分清命题的条件与结论，若从条件能推出结论，则充分性满足，若从结论能推出条件，则必要性满足.【题文】5. 已知函数 是偶函数，且 ，则 （ ）()yfx(2)1f(2)fA. B. C. D. 1155【知识点】偶函数 B4【答案】 【解析】D 解析：因为函数 是偶函数，所以 ，()yfx223,5fff所以选 D.【思路点
5、拨】抓住偶函数的性质，即可得到 f(2)与 f(2) 的关系，求值即可.【题文】6. 已知函数 的最小正周期为 ，为了得到函数()cos,0)4fxxR的图象，只要将 的图象（ ）()singx()yfA. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度3434C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度88【知识点】三角函数的图象 C3【答案】 【解析】D 解析：由函数 的最小正周期为 得 ，()cos(,0)4fxxR2则 ，显然用 换 x 即可得到函数 g(x) 3cos2sin2in2448fx38=sin2x 的解析式，所以图象向右平移 个单位长度，则选 D.38【思路点
6、拨】判断函数的图象的平移变换关键是判断函数解析式中的 x 的变化.【题文】7. 设实数 满足 则 的取值范围是（ ）yx,4,2x|zyxA. B. C. D.6,8,8080,6【知识点】简单的线性规划 E5【答案】 【解析】B 解析：满足不等式组的可行域如下图所示，由题意可知 A（2，2） ，B（-4，8 ） O （0，0） ，由直线 x+y=4 与 y 轴交点坐标为(0,4),当 x0 时，z=y4x，显然经过点(0,4)时最大为 4,经过点 A 时最小为6，当 x0时，z=y+4x，显然动直线经过点(0,4)时目标函数得最大值 4，当动直线经过点 B 时目标函数得最小值为8,所以的取值
7、范围是 ，则选 B. 4|zx4,8.【思路点拨】一般遇到由不等式组表示的区域求目标函数的最值常用数形结合的方法解答，本题应注意对绝对值讨论求最值.【题文】8. 如图，在正四棱锥 中， 分别是ABCDSNME,的中点，动点 在线段 上运动时，下列四个结论：SCDB,PN ； ； ； AEP/BE面/SACP面中恒成立的为（ ）A. B. C. D. 【知识点】平行关系与垂直关系 G4 G5【答案】 【解析】A 解析：由正四棱锥 S-ABCD，可得 SO底面ABCD，ACBD，SOACSOBD=O，AC平面 SBD，E，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中点，EMBD，MNSD，而 EMMN=
8、N，平面 EMN平面 SBD，AC平面 EMN，ACEP故正确由异面直线的定义可知：EP 与 BD 是异面直线，不可能 EPBD，因此不正确；由可知：平面 EMN平面SBD，EP平面 SBD，因此正确由同理可得：EM平面 SAC，若 EP平面 SAC，则 EPEM，与EPEM=E 相矛盾，因此当 P 与 M 不重合时，EP 与平面 SAC 不垂直即不正确综上可知选 A.【思路点拨】对于各个命题，可结合线面垂直及线面平行的判定或性质进行解答或用反例排除.【题文】9. 设 是定义在 上的恒不为零的函数，对任意实数 ，都有fxR,xyR，若 ，则数列 的前 项和 的取值范围是（ fxyfx1,2na
9、fNnanS）A. B. C. D. 1,2,21,21,2【知识点】等比数列 D3【答案】 【解析】C 解析：由 得 ，得 ，所以fxyfxfnfn12nna，所以选 C.112,2nnnS【思路点拨】当函数的自变量取正整数时，可转化为数列问题进行解答.【题文】10 已知函数则函数 的所有零点之和是)(xf21,0x)(xg2,01.x)(xgf（ ）A. B.C.D. 321321231231【知识点】函数的零点 B9【答案】 【解析】B 解析：由 f(x)=0 得 x=2 或 x=2，由 g(x)=2 得 x= ,由 g(x)=2，得 ，12x所以函数 的所有零点之和是 ，则选 B.)(
10、xgf 13【思路点拨】结合函数的零点的定义，可从外到内依次求值，即可解出所有零点.【题文】二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分【题文】11. 函数 的定义域为 )2(log1)(xf【知识点】函数的定义域 B1【答案】 【解析】xx 2 且 x3 解析：由题意得 ，2x-0log解得 x 2 且 x3.所以函数的定义域为 xx2 且 x3.【思路点拨】求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量构成的集合.【题文】12. 已知 ， ，则 1sin()43cs【知识点】两角和与差的三角函数 C5【答案】 【解析】 解析：因为 ， ，所以 ，2461sin()4
11、322cos43则 .24cos36【思路点拨】对于给值求值问题，通常从角入手，用已知角表示所求角，再利用相应的公式进行计算.【题文】13. 已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 【知识点】由三视图求体积 G2【答案】 【解析】 解析：由三视图可知该几何体由一个倒放的直三棱柱和一个四棱锥组成，所以其1603体积为 .21604423【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是正确分析三视图对应的几何体的特征.【题文】14. 已知偶函数 的图象关于直线 对称，()yfx1x且 时， ，则 = 0,1x()1fx32f【知识点】偶函数 B4【答案】 【解析】 解析：因为函数为偶函数且图
12、象关于直线 对称，所以2 1x.3112fff【思路点拨】利用已知条件函数为偶函数且图象关于直线 对称，可把所求函数值向已知区间进行转化，1x再代入求值.【题文】15. 设 是按先后顺序排列的一列向量，若 ，12na, 1(204,3)a且 ，则其中模最小的一个向量的序号 ()nn【知识点】向量的坐标运算 F2【答案】 【解析】1002 或 1001 解析：因为 ，所以1,205,1nan，因为二次函数22220154065nan的对称轴方程为 ，又 n 为正整数，所以当 n=1002 或 1001246y x时模最小.【思路点拨】可以借助于等差数列的通项公式求出向量的一般形式，再借助于二次函
13、数求最值.【题文】16. 设 R，关于 的方程 的四个实根构成以 为公比的等比数ba,x0)1)(22bxax q列，若 ，则 的取值范围是 2,31q【知识点】等比数列 D3【答案】【解析】 解析：设关于 x 的方程 的四个实根为124,9 0)1)(22bxax，其中 是方程 的两根， 是方程 的两根,所以1,23,4x1,2x210xa3,42，因为 ，所以 和 分别是等比数列的第一、3434,a四项和第二、三项，不妨设 为等比数列的首项，则 ，由 可得 ，1x 213xq，= ，记 ，则32211qq221fqq因为 ，所以当 时， ，此时 f(q)单调递减；当 q1,2时， ，1,2
14、3q1,3q0fq 0fq此时 f(q)单调递增，所以 f(q)在 q=1 处取到极小值 4，而 ，所以 f(q)在127394ff 13处取到极大值 ，所以当 时， ，即 ab .1292,31q,fq1,【思路点拨】根据题意，可把 ab 转化为关于 q 的函数，利用函数的单调性求值域.【题文】17. 已知正四棱锥 可绕着 任意旋转， 若 ， ,则VABCD/平 面CD2AB5V正四棱锥 在面 内的投影面积的取值范围是 VABC【知识点】正四棱锥的性质 G7【答案】 【解析】 解析：由题意可得正四棱锥的侧面与底面所成角为 ，侧面上的高为 2，设正3,4 3四棱锥的底面与平面 所成角为 ，当
15、时投影为矩形，其面积为 22cos=4cos06,当 时，投影为一个矩形和一个三角形，此时 VAB 与平面 所成角为 ，正26 3四棱锥在平面 上的投影面积为4cos+ ,当 时投影12cos3sincos23in322面积为 ，综上，正四棱锥 在面 内的投影,2VABCD面积的取值范围是 .3,4【思路点拨】正确分析投影特征是本题解题的关键，本题在旋转过程中投影形状有三种情况应分别计算.【题文】三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】18.（本题满分 14 分）锐角 的内角 的对边分别为 ，已知ABC,abc2cossin.CBA（）求 的值
16、；（）若 ，求 的面积. 3,abAB【知识点】解三角形 C8【答案】 【解析】 （） （） 解析：（）由条件得 cos(BA)=1cosC=1+cos(B+A),所以123cosBcosA+sinBsinA=1+cosBcosAsinBsinA,即 sinAsinB= ;12（） ，又 ，解得： ，sin32AaBbsinAB3sin,siA因为是锐角三角形， ，16co,332sinisincosin6CABAB.132i26Sab【思路点拨】在解三角形时，得到角的关系后注意利用三角形内角和向所要解决的问题进行转化，求三角形面积的关键是利用正弦定理求出角 C 的正弦值.【题文】19. （本
17、题满分 14 分）如图所示，正方形 所在的平面与等腰 所在的平面互相垂直，ABDABE其中顶 ， ， 为线段 的中点120BAE4ABFE（）若 是线段 上的中点，求证： / 平面 ；HDH（）若 是线段 上的一个动点，设直线 与平面 所成角的大小为 ，求 的最大值Ctan【知识点】线面平行的判定，直线与平面所成的角 G4 G11【答案】 【解析】 （）略；（） 65解析：（）连接 ， 是正方形， 是 的中点，有 是 的中点，ACBDHACFAE， FHE是 的 中 位 线 ,DEHCD.FEA而 面 ， 面 ， 从 而 面（）因为面 ABCE面 ABE，它们的交线为 AB，而 DAAB,所以
18、 DA面 ABE,作 FIAB，垂足为 I，有FIAD,得 FI面 ABCD，所以FHI 是直线 FH 与平面 ABCD 所成的角，当 IHBD 时，IH 取到最小值为 ，所以 的最大3sin603,taIIAH52tan值为 .5【思路点拨】一般遇到两面垂直的条件，通常利用两面垂直的性质定理转化为线面垂直，证明线面平行通常利用线面平行的判定定理证明线线平行，求线面所成角一般先利用定义作出其平面角再利用所在的三角形求值.【题文】20. （本题满分 15 分）已知数列 的前 项和 满足nanS(1)(2),ntta(,01)为 常 数 且tt（）求数列 的通项公式；na（）设 ，且数列 为等比数
19、列1bSnb 求 的值； t 若 ，求数列 的前 和 3logncncnT【知识点】数列的通项公式 数列求和 D1 D4【答案】 【解析】C 解析：（） ；（） 2nat13t23nn解析：（）由 ，及 ，作差得 ，(1)()ntSt11()()nSa1at即数列 成等比， ， ，故 na1a2tt（）数列 为等比数列， nb13b代入得 整理得22(1)()ttt326t解得 或 （舍） 故303当 时， 显然数列 为等比数列1t1nnbSnb 32lognnca 则 作差得12346n nT 2341162n nT231113nnnn故 .nnT【思路点拨】一般遇到数列的前 n 项和与通项
20、的递推公式，通常先转化为项的递推关系再进行解答，遇到数列求和问题，通常先明确数列的通项公式，再由通项公式确定求和思路.【题文】21. （本题满分 14 分）设向量 ， 其中2(,3cos)a(,sinco)2mb=,为实数,m（）若 ，且 求 的取值范围；12,abm（）若 求 的取值范围,【知识点】向量的数量积，三角函数的性质 C3 F3 【答案】 【解析】 （） ；（） .101066m6,1【解析】 （） 时， ，因为 ，所以223,24mabab,整理得 对一切 均有解，当31204m15308R时，得 ，符合题意，当 时，122m，解得 ，所以 的取253134 088 101066
21、mm值范围为 ；101066（）由题意只需 ，由 消元得23cossin2m 2m，解不等式组 ，解得 2sini,3m 2492m，所以 .1426,1m【思路点拨】先把向量关系转化为坐标关系，再转化为方程有实根或函数的值域问题进行解答.【题文】22. （本题满分 15 分） 已知函数 1.fxaxR（）当 时，求使 成立的 的值;1afx（）当 ，求函数 在 上的最大值；0,3yf1,2（）对于给定的正数 ，有一个最大的正数 ，使 时，都有 ，试求出这M0,x2fx个正数 ，并求它的取值范围 .M【知识点】二次函数 函数的值域，函数的单调性 B3 B4 B5【答案】 【解析】 （）1；（ ） ；（） max,0125,3fa，2,31,02aaM0,6M解析：（）当 时，由 得 ，解得 ；afx1x1x
