1、【解析】山西大学附中 2015 届高三上学期期中考试数学理试题考查内容：高中全部 【试卷综析】本分试卷是高三综合测试卷，着重于基础知识，基本技能和基本思想方法，同时也考查的逻辑思维能力和计算能力，空间想象能力以及运用所学的数学知识和思想方法分析问题和解决问题的能力，难度不大，以基础题为主，但又穿插有一定梯度和灵活性的题目，总体而言，此套题着重基础知识和技能的考查考核，通过这份试卷，能过起到查漏补缺， 薄弱环节，便于调整复习的作用，也能够让学生自己了解掌握基本知识和基本技能的情况，做到复习心中有数.【题文】一选择题（512=60 分）【题文】1.已知集合 ,集合 ,则 =（ ）2log0Ax01
2、BxABA. B. C. D. 0x1或 【知识点】集合的并集 A1【答案】A【解析】解析：因为 ，所以可得 ，故选择 A.x0Ax【思路点拨】先求的集合 A，再根据并集概念即可求解.【题文】2设等差数列 的前 项和为 ， ，则 等于（ ）nanS246a5SA10 B12 C15 D30【知识点】等差数列的性质 D2【答案】C【解析】 解析：由等差中项可得 ，所以 ，故选择 C.24151552a【思路点拨】解题的关键是利用等差中项得到 ，再利用求和公式求得.aa【题文】3已知函数 则 ( ),0)21(,2xf )4(fA. B. C. D. 446【知识点】分段函数 B1【答案】C【解析
3、】解析： 因为 ，所以 ，所以404162f，故选择 C.12464ff【思路点拨】求解时先从内函数求起，采用由内到外的顺序求得.【题文】4下列命题错误的是( )A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为02yx0yx“若 中至少有一个不为 则 ”；, 2B. 若命题 ，则 ；1,:020Rp 01,:2xRpC. 中， 是 的充要条件；ABCBsiniAD. 若 向 量 满 足 ， 则 与 的 夹 角 为 钝 角 .,abab【知识点】命题以及命题的否定 A2 A3【答案】D【解析】 解析：先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题，由此知 A 正确；特称命题的否定
4、为全称命题，可得 B 正确；由正弦定理以及三角形中的大角对大边可得 C 正确；若向量 满足 ，则 与 的夹角为钝角或 ，可得 D 错误；故选择 D.,ab0ab018【思路点拨】因为向量 满足 ，则 与 的夹角为钝角或 ，可得 D 错误.【题文】5.右图给出的是计算 的一个程序框图，10.86412其中判断框内应填入的条件是( )A. B. C. D. 50i50i 25i25i【知识点】程序框图 L1【答案】B【解析】解析：框图首先给 变量赋值 判断，条件不满足，执行sn， ， 01sni， ， 判断，条件不满足，执行1241sni， ， ；判断，条件不满足，执行6234， ， ；由此看出，
5、当执行 时，执行18142sni， ， ； 1240s，在判断时判断框中的条件应满足，所以判断框中的条件应是 ，0105ni， i 50？故选择 B.【思路点拨】框图给出的是计算 的值的一个程序框图，首先赋值 i=1，执行1240s 时同时执行了 和式共有 50 项作和，所以执行完成102s， i，后的 值为 51，再判断时 i=51 应满足条件，由此可以得到正确答案i【题文】6. ( )的 大 小 关 系 是则且已 知 yxbayaxbRa ,2, A B. C. D.视 的值而定 yxy【知识点】基本不等式 E6【答案】A【解析】解析： 由不等式 可得 ，又因为22,2ab，所以可得 ，故
6、选择 A.2ab2ab【思路点拨】利用不等式 可得 ，进而可以得证.22,ab2ab【题文】7. 曲线 在点（1，-1）处的切线方程为（ ）xyA. B. C. D. 32y321xy1xy【知识点】求切线方程 B11【答案】C【解析】解析：由题意可得： ，所以在点（1，-1）处的切线斜率为-2 ，所以在点2( )处的切线方程为： 故答案为：C1（ ， ） 21yx【思路点拨】由题意求出导数： ，进而根据切点坐标求出切线的斜率，即可求出切线的方2( )程【题文】8若 m是 2和 8的等比中项，则圆锥曲线21yxm的离心率是( )A 32 B 5 C 32或 5 D 3或 5【知识点】等比中项
7、圆锥曲线的性质 D3 H5 H6【答案】D【解析】解析：正数 是 2，8 的等比中项， 2816， 4m，若 ，椭圆21yxm的方程为： ，其离心率 ，4m214yx32e若 ，则双曲线方程为 ，离心率 ，故选择 D25e【思路点拨】正数 是 2，8 的等比中项，可求得 ，从而可曲线为椭圆或双曲线，可求得其离心率m【题文】9. 已知函数 为偶函数， ，其图象与直线 的某两个交点)0(sin(xy 02y的横坐标为 ，若| |的最小值为 ，则（ ）21,x12A. B. 4,C. D. , 【知识点】由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 C4【答案】A【解析】 解析： 因为函数 的最大
8、值为 2，且图象与直线 的某两)0(sin(2xy 2y个交点的横坐标| |的最小值为 ，即函数的周期为 ，所以 ，因为12x为偶函数，所以 ，又因为 ，所以 ，故选择 A.2sin()(0y2k02【思路点拨】由题意可得函数的最小正周期为 ，即可得 ，根据函数为偶函数可得 ，进22k而得到 .2【题文】10. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A.1 B. 2 C.3 D. 4【知识点】由三视图求面积、体积 G2【答案】B【解析】解析：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为 2 的正方形，故其底面积为 ，由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高
9、，其相对的侧棱与高及底面正方形的142对角线组成一个直角三角形，由于此侧棱长为 ，对角线长为 2，故棱锥的高为 此13213棱锥的体积为 ，故选择 B123【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可【题文】11已知平面区域 ，1|1(,)0,(,)0yxyxxMx 向区域 内随机投一点 ，点 落在区域 内的概率为（ ） 【来源：全,品中&P高 A B C D14131223【知识点】简单的线性规划的应用 几何概型 E4 K3【答案】C【解析】解析：如下图，阴影部分大的
10、等腰直角三角形区域为 ，小的等腰直角三角形区域为，由面积比知 ，故选择 C.M12p【思路点拨】本题考查的知识点是线性规划及几何概型的意义，处理的思路为：根据已知的约束条件, 画出满足约束条件的可行域 及 的范围，再根据几何概型的意义，求出概率M【题文】12已知函数 若 则 的()ln,exf2201(),0133eeabf()+f()f()=52最小值为（ ）A6 B8 C9 D12【知识点】函数的性质 基本不等式 B1 E6【答案】B【解析】解析：因为 ，2lnllnexxfxfe e所以 ，即 ，由不等式可得220120133e f()+f()f()=014ab，当且仅当 时，等号成立，
11、故选择 B.228abab【思路点拨】根据已知函数的特征结合所求 ，可得22010133eef()+f()f()，即可得 ，再利用不等式 ，即可求得.2fxfe4ab2ab【题文】二填空题(54=20 分)【题文】13已知复数 满足 ，则 _.z(1iz【知识点】复数的运算 L4【答案】 【解析】解析： 化简可得 ，故答案为 .1+2i 11.2iizi12i【思路点拨】分式上下同时乘以 ，化简分母即可得到.1i【题文】14已知 ， ， 的夹角为 60，则 |2a|3b,a|ab【知识点】向量的数量积 F3【答案】 【解析】解析： 由题意可得 ，131.cos23ab，故答案为 .224.43
12、91abab 13【思路点拨】由已知可得 ，求向量的模采用平方再开方求得.1.cos23ab【题文】15. 设直线 与球 有且只有一个公共点 ，从直线 出发的两个半平面 截球 的两个截面lOPl,O圆的半径分别为 1 和 ，二面角 的平面角为 ，则球 的表面积为 .3l2O【知识点】二面角 球 G8【答案】 【 解析】解析：设两个半平面 截球 O 的两个截面圆的圆心分别为 ，连接6， 21，如图所示： 12OP， ， ，由球的截面圆性质及球的切线性质得 ，且12OOPl， 123OP， ，四点共面， 为二面角 的平面角，1220llP面 ， 面 ， ， ， ， 12l，四边形为 矩形 得 球
13、O 的表面积 12OP1221R， 24，46SR【思路点拨】设两个半平面 截球 O 的两个截面圆的圆心分别为 ，根据球的截面圆性质及球， 21，的切线性质得 ，继而四边形 为矩形，得出12OPl， 120OP，再计算球 O 的表面积即可221PR，【题文】16已知数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ，设napnanb52nb，若在数列 中， ，则实数 的取值范围是 nnbac, cc8)8,(Np【知识点】函数及其表示 数列的单调性 B1 D1【答案】 【解析】解析：由题意可得 是 中的较小者， an是递减数列； bn是递增数列，)17,2( nnab，因为 ，所以 是 的最大者，则
14、n=1，2 ，3，7 ，8 时， 递增，n=8，9，10，时，8nc （ ） 8cn nc递减，因此，n=1，2，3，7 时， 总成立，当 n=7 时， n5pn=9，10 ，11，时， 总成立，当 n=9 时， 成立，751p ， ， 5n 952pp25，而 ，若 a8b8，即 23p-8，所以 p16，则88cab或故 若 ，即 ，所以 p16，758821capbp， ， ， 216p ， 8ab 852p那么 ，即 8p-9，p17，32b， 9ca故 16 p17，综上，12p17故答案为：（12，17） 【思路点拨】由 表达式知 是 中的较小者，易判断an是递减数列； bn是递增
15、数列，由nnnb，所以 是 的最大者，则 n=1，2，3，7 ，8 时， 递增，n=8，9，10，时， 递减，8nc （ ） 8c ncnc，进而可知 an 与 bn 的大小关系，且 ，分两种情况讨论，当 ，当88cab或 887ab时 ， ，分别解出 p 的范围，再取并集即可；889cba时 ， 【题文】三解答题(写出必要的文字说明和解答过程，共 70 分)【题文】17 （本小题满分 12 分）公差不为零的等差数列 中， 且 成等比数列。n37,a249,a（1）求数列 的通项公式；na（2）设 ，求数列 的通项公式1,bnb【知识点】等差数列和等比数列的性质 数列求和 D2 D3 D4 【
16、答案】 （1） ；（2） . 3n 2376n【解析】解析：(1)等差数列 中， 且 成等比数列a3,249,a2 249111 8add， 即 （ ） （ ） （ ） ，整理得：2698， 即 ，13111073daa， ， 又 ， ， ，则数列an的通项公式为； ；32nn（ ）(2) 1 111232112nn nnbbbabab ， ， ， ， ， ， ，21a即1()(341)2n nb则()34762nb【思路点拨】 （1）由等差数列 an中 a2，a4，a9 成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用等差数列的通项公式化简，得出首项与公差的关系，根据 a3 的值，确定出首项
17、与公差，即可得到等差数列的通项公式；（2 ）分别把 n=1，2，n-1 代入 an=bn+1-bn，等式左右两边分别相加，左边利用等差数列.【思路点拨】根据等差等比数列的性质可求得 进而求得通项公式；根据已知的形式可得采用13ad， ，累加的方法，对数列求和，然后化简，右边抵消合并后将 b1 的值代入，整理后即可得到数列bn的通项公式【题文】18 （本小题满分 12 分）甲、乙两人参加某种选拔测试在备选的 道题中，甲答对其中每道题的概率都是 ，乙能答对其中1053的 道题规定每次考试都从备选的 道题中随机抽出 道题进行测试，答对一题加 分，答错一题5 310（不答视为答错）减 分，至少得 分才
18、能入选55（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率【知识点】概率 离散型随机变量及分布列 K6【答案】(1) ；(2) .2EX1035【解析】解析：解：（）设乙答题所得分数为 ，则 的可能取值为 1X15,03分； ；3510C()2PX21530C()P； 5 分12530() 5310()2X乙得分的分布列如下： X1530P21256 分 7 分1515()030222EX（）由已知甲、乙至少答对 题才能入选，记甲入选为事件 ，乙入选为事件 .AB则 ， 9 分2338()C()515PA 11 分1()B故甲乙两人至少有一人入选的概率 12 分410
19、31()25PAB【思路点拨】 （）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（）由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论【题文】19 （本小题满分 12 分）在如图所示的空间几何体中，平面 平面 ， 与 是边长为 的等边三角形，ACDBACDB2， 和平面 所成的角为 ，2BEB60且点 在平面 上的射影落在 的平分线上AC（）求证： 平面 ；/D（）求二面角 的余弦值第 19 题图【知识点】线面平行 二面角 G4 G11【答案】 （）略；（） .13【解析】解析：（）证明：由题意知， ， 都是边长为 2 的
20、等边三角形，取 中点 ，ABCDACO连接 ，则 ， ，2 分DOB,O又 平面 平面 ， 平面 ，作 平面 ，ACEFABC那么 ，根据题意，点 落在 上，EF/FB ，易求得 ，4 分60B3DOE四边形 是平行四边形， ， 平面 6 分DEFOOFDE/ABC（）解法一：作 ，垂足为 ，连接 ，BCGG 平面 ， ，又 ，A 平面 ， ， 就是二面角 的平面角9 分BCEFEFABCE中， ， ， GRt2130sinB321G 即二面角 的余弦值为 .12 分cosEFABCE3解法二：建立如图所示的空间直角坐标系 ，可知平面 的一个法向量为xyzOABC)1,0(1n设平面 的一个法
21、向量为BCE),(2n则， 可求得 9 分02n)1,3(2所以 ，|,cos2121n又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角 的余弦值为 12 分ABCE13【思路点拨】 （）取 中点 ，连接 ， ，由题设条件推导出 平面 ，作 平面ACODB, DOABCEF，由已知条件推导出 ，由此能证明 平面 ；（）法一：作 ，AB60EF/EBG垂足为 ，连接 ， 就是二面角 的平面角，由此能求出 的余弦值GAC为 法二：以 为 x 轴，以 为 y 轴，以 为 z 轴，建立空间直角坐标系 ，利用13OABODxyzO向量法能求出二面角 的余弦值CE【题文】20 （本小题满分 12 分）椭圆 ： 的离心率为 ，长轴端点与短轴端点间21(0)xyab32的距离为 5（1）求椭圆 的方程；C（2）设过点 的直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点，若 为直角三角形，求直线D(0,4)lC,EFOOEF的斜率l【知识点】椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系 H5 H8【答案】 （） ；() 和 214xy95【解析】解析：（1）由已知 ，又 ，解得 ，23,cab22abc224,1ab
