1、,第 3 章点、直线和平面,采用多面投影。,过空间点A作H面的投射线（垂线），与投影面H的交点即为点A在H面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,第一节 点的投影,a,二、点的三面投影,投影面,正面投影面（简称正面或V面）,水平投影面（简称水平面或H面）,侧面投影面（简称侧面或W面）,投影轴,OX轴,OZ轴,OY轴,三个投影面互相垂直,V面与H面的交线,H面与W面的交线,V面与W面的交线,空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,向下翻,投影面展开,YH,不动,向右翻,Yw,Y,点的投影规律:,Z,az,a,X
2、,ayw,O,a,ax,ayH,a,YH,Yw, 点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴 即 aaOX轴,点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴 即 aaOZ轴,点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即 aax= aaz,aax= aayw=A到H 面的距离,aayH= aaz=A到W 面的距离,=A到V 面的距离,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,三、两点的相对位置, x 坐标大的在左, y 坐标大的在前, z 坐标大的在上,判断方法：,B点在A点之后之左、之下
3、。,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,重影点：,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,A、C为H面的重影点,a,a,c,被挡住的投影加( ),( ),a c,例题 ：已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。,Z,X,Yw,YH,b,b,b,o,一、直线的投影,直线上两端点在同面投影的连线。,第二节 直线的投影,直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称
4、特殊位置直线,二、各种位置直线的投影特性,以正平线为例，讨论其投影特性 :,同样，对于水平线和侧平线也可得到类似的特性。,直线的正面投影ab反映直线 AB 的实长,并且反映直线 AB 对H、W面的倾角、。,直线的水平投影ab和侧面投影 ab 分别平行于OX 轴和OZ 轴。,投影特性：,正平线只平行于正面投影面的直线,投影面平行线的投影特性：, 直线在所平行的那个投影面上的投影反映实长, 直线在另两个投影面上的投影平行于相应的,水平线,侧平线,正平线,实长,实长,投影轴，并且小于该直线的实长。,X,Z,YH,YW,O,并且反映直线对另外两个投影面的倾角。,实长,2.投影面的垂直线：,水平投影ab
5、OX, 侧面投影abOZ。,投影特性:,直线AB的正面投影ab积聚成一点;,只垂直于一个投影面的直线。,以正垂线为例，讨论其投影特性:,同样，对于铅垂线、侧垂线也可得到类似的特性。,（a）b,投影面垂直线的投影特性:,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相, 直线在其垂直投影面上的投影，积聚为一点。,应的投影轴。,三个投影都小于实长，而且与三根投影轴都倾斜。,投影特性：,3. 一般位置直线,与三个投影面都倾斜的直线。,三、直线与点的相对位置,点与直线的相对位置可以分为两种，即点在直线上和点不在直线上。,（1）若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同名投影上，并将线段的
6、各个投影分割成定比。,如图所示，C点在直线AB上，则C点的正面投影 c在直线 AB 的正面投影 ab上，C点的水平投影c在直线 AB 的水平投影ab上，同样c“在a“b“上,而且AC/CB= ac/cb,= ac/cb=ac/cb，,（2）若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点肯定不在该直线上。,反之，若点的各投影分别属于直线的同名投影，且分割线段的投影长度成定比，则该点肯定在该直线上。,Yw,其投影为：,例：判断点K是否在线段AB上。,a,b,因k不在a b上，故点K不在 AB 上。,应用定比定理,a,b,k,a,b,k,四、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交
7、叉。, 两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例2：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影, 两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影 必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,1(2 ),3(4 ), 两直线交叉,投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规
8、律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,两直线相交吗？,去42,方法1：根据水平面和正平面投影，作出直线AB、CD的侧面投影，按两直线处于不同的相对位置的投影特性来判断。,(a) (b) (c) 图311 直线相对位置的判断,例33 试判断如图311(a)中直线AB、CD的相对位置。,解 由于AB、CD两直线的同面投影不平行，就可以判断AB不平行于CD，排除了两直线相互平行的关系。,方法2：假定直线AB、CD相交，则ab、cd的交点就是AB、CD的投影，交点的投影应符合直线上的点分割线段成定比这一特性。,一
9、、平面的投影,围成平面的若干条直线的投影。,第三节 平面的投影,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,二、 各种位置平面的投影特性,a,b,c,a,c,b,c,b,a, 投影面垂直面,类似形,类似形,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？, 投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特形：,在它所平行的投影面上的投影反映实形
10、。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,为什么？, 一般位置平面,三个投影均为类似形。,投影特形：,三、平面上的直线和点, 平面上取任意直线,a,b,c,c,a,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。,d,b ,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！, 平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面的积聚性求
11、解,通过在面内作辅助线求解,k,例2：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,b,直线和平面之间与两平面之间的相对位置，可分为平行、相交或垂直三种情况。,第4节 直线与平面、平面与平面的相对位置,一、直线与平面平行及两平面平行,1直线与平面平行,直线与平面平行的几何条件是：若直线平行于平面内的任一直线，那么该直线必然与平面平行。利用该几何条件，就可以解决制图中有关直线与平面平行的问题。,例37 已知一直线DE和平面ABC，试判断DE是否平行于平面ABC，如图318所示。,图318 判断直线和平面是否平行,分析：根据直线与平面平行的几何条件，如果能在平面ABC内作一
12、直线平行于DE，那么就可判断直线DE平行于ABC；否则，他们就不平行。,两平面平行的几何条件是：如果一个平面内相交两直线平行于另一平面内的相交两条直线，那么这两个平面必然平行。利用上述几何条件，可以判断两平面是否平行和解决过定点作平面平行于已知平面等问题。,图319 两平面是否平行的判断,分析 如果一个平面内的相交两直线与另一平面内的相交两直线平行，那么就能判断出这两个平面平行，否则就不平行。判断出两平面ABC和DEF是平行的。,2两平面平行,例38 试判断图319所示的两已知平面ABC和DEF是否平行。,从图320中可以看出，铅垂面的水平投影积聚成一条直线，交点K是直线AB与平面P的共有点，
13、交点K既属于平面P，又属于直线AB，故AB的水平投影ab与p的交点k即为交点K的水平投影。为倾斜直线AB与铅垂面P相交的情况，,(a)分析 (b)投影图 (c)可见性判断图320 直线与垂直投影面相交,二、直线与平面相交及两平面相交,如果直线与平面相交，则只有一个交点，该点是直线和平面的共有点。它既属于直线，又属于平面,1倾斜线与特殊位置平面相交,直线DE与ABC相交，求交点K的投影情况如图321所示,作图过程 (b)可见性判断 图321 投影面垂直线与平面相交,2垂直线与倾斜面相交,两平面相交求交线，可归结为求两个共有点的问题。如图322(a)所示的倾斜平面ABC和铅垂面DEF相交，只要求出
14、属于交线上的两点即可。对两特殊位置平面相交和特殊位置平面与直线垂直的情况就不作介绍，读者可根据相关投影的理论知识进行分析并判断。,(a)空间分析 (b)投影图图322 投影面倾斜面与特殊位置平面相交,3倾斜平面与特殊位置平面相交,小 结,一、点的投影规律, aaOX 轴, aax= aaz=A到V 面的距离,aax= aayw=A到H 面的距离,aayH= aaz=A到W 面的距离,Y,Z,az,a,X,Y,ayw,O,a,ax,ayH,a,aaOZ 轴,二、各种位置直线的投影特性,1. 投影面平行线的投影特性：, 直线在另两个投影面上的投影平行于相应的,水平线,侧平线,正平线,实长,实长,X,Z,YH,YW,O,并且反映直线对另外两个投影面的倾角。,实长, 直线在所平行的那个投影面上的投影反映实长,投影轴，并且小于该直线的实长。,2. 投影面垂直线的投影特性:,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相, 直线在其垂直投影面上的投影，积聚为一点。,应的投影轴。,三个投影都小于实长，而且与三根投影轴都倾斜。,3. 一般位置直线的投影特性:,重点掌握：,一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。,三、各种位置平面的投影特性,二、平面上的点与直线,
