1、2017 届重庆市第一中学高三 12 月月考数学（理）试题一、选择题1已知集合 ， ，则 （ ）1,23A|120BxZxZACBA B , ,2C D23【答案】C【解析】试题分析：由 得： ，则02)1(xZx1，B，故选 C32，BAZ【考点】集合的运算【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响元素与集合之间是属于和不属于的关
2、系，集合与集合间有包含关系 在求交集时注意区间端点的取舍 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目2下列函数中，既在 上单调递增，又是奇函数的是（ ）0,A B yx1yxC D1lg【答案】C【解析】试题分析： 为偶函数，排除 A； 为减函数，排除 B；xyxy1既是奇函数又是增函数，则 C 正确； 为非奇非偶函数，排除 D，故1xy lg选 C【考点】函数的单调性；函数的奇偶性3已知向量 满足： ， ，且 ，则 （ ）,ab213,bababA1 B C2 D3 【答案】B【解析】试题分析： ， ， ， ，即2,1b12bba0ba，则 ，故 ，故选 B1ba 342a3【考点】平面向量的数量
3、积；向量的模长4已知 是抛物线 的焦点，点 在抛物线 上，且 ，则F2:Cyx,PxyC1x（ ）PA B 9832C D175【答案】C【解析】试题分析：由 ，得 ，则 ；由 得 ，由抛物线2xyy41px2y的性质可得 ，故选 C817pPF【考点】抛物线的性质5某班某学习小组共 7 名同学站在一排照相，要求同学甲和乙必须相邻，同学丙和丁不能相邻，则不同的站法共有（ ）种A B 24524AC D26 56【答案】A【解析】试题分析：根据题意，分 步进行分析，因为甲和乙相邻，将其看成一个3整体，考虑两人的顺序，有 种情况，将除去甲、乙、丙、丁剩下的 个人和整体2A3看成 ，有 种情况，元素
4、不相邻利用“插空法”；则共有 种情况，故选：44 254AA【考点】排列与组合【方法点睛】本题考查排列、组合的运用，因为涉及的限制条件比较多，所以注意认真分析题意，认清问题是排列还是组合问题，还要注意相邻问题需要用捆绑法；根据题意，分 步进行分析，因为甲和乙相邻，用捆绑法分析可得其情况数目，将除3去甲、乙、丙、丁剩下的 个人和整体看成 人，元素不相邻利用“插空法”，进34而由分步计数原理计算可得答案6在数列 中，已知 ，则 的前 项和 （ na13nnNnanS）A 51623B nC 141233D 151263n【答案】D【解析】试题分析：由 ，31231nnan124356nS ，故选
5、D1123nn【考点】数列求和7从甲、乙两个城市分别随机抽取 14 台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图） ，设甲、乙两组数据的平均数分别为 ，中位数分别为,x乙甲，则（ ）,m乙甲A B,xm乙 乙甲 甲 ,xm乙 乙甲 甲C D乙 乙甲 甲 乙 乙甲 甲【答案】A【解析】试题分析：由茎叶图可得：，710144838302581065 甲x，228乙， ，故 ， ，故选 A23.5甲m乙 乙甲 x乙甲 m【考点】茎叶图8 满足约束条件 ，若 取得最大值的最优解不唯一，则,xy402yxzaxy实数 的值为（ ）aA-1 B2 C D2 或-112【答案】C【解析】试题
6、分析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由得 ，即直线的截距最小， 最大若 ，此时 ，此时，zaxyzxz0azy目标函数只在 处取得最大值，不满足条件，若 ，目标函数 的斜率Bx，要使 取得最大值的最优解不唯一，则直线 与直线0kzaxy zy平行，此时 ，若 ，不满足，故选 C42yx210a【考点】简单的线性规划9若将函数 的图像向左平移 个单位长度，得到的函数图象关于8sin2yx0原点对称，则 （ ）44coA1 B 12C D48【答案】A【解析】试题分析：将函数 的图像向左平移 个单位长度，得sin2yx0，由其图象关于原点对称得 ，即si82sin8xy Zk,2，当
7、 为偶数时， ，当 为奇数时，k 10sico44k，故选 A10sico44【考点】三角函数的图象变换10设 ， ，且 ，则 的最大值为（ ）xy02yx1xyA B6 32C-6 D 32【答案】D【解析】试题分析：由 ，得 ，012yx12yx113xy，当且仅当 时，等号成立，则 的最大值232x yx21xy为 ，故选 D【考点】基本不等式【易错点睛】本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题：(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆” “拼” “凑”
8、等技巧，使其满足基本不等式中“正” “定” “等”的条件11已知 2F是双曲线 的右焦点，过点 的直线交 的右支于不同两点2:1yEx2FE，过点 且垂直于直线 的直线交 轴于点 ，则 的取值范围是（ ,AB2AByP2AB）A B 0,430,4C D2,1,1【答案】B【解析】试题分析：当直线 的斜率不存在时， ， ， ，AB2,3A,B4A，则 ，故排除 A；当 时，直线 为 ，直32PF432k3xy线 为 ， ，设 ， 联立得21xy2,0，P1,yx2,B，化简得 ，由韦达定理得032yx734，故 ， ，故 ，故7,42121x252PF10AB420152PF排除 C，D，故选
9、 B【考点】直线与圆锥曲线的综合12 （原创）已知函数 是单调函数，且fxR对 恒成立，则 （ ）3214fxxxR012ffA0 B6 C12 D18【答案】D【解析】试题分析：函数 是单调函数，且fx对 恒成立，存在唯一的常数 ，使得3214fxRc，即 ，则 ，即cxxxf 2323 14f，得 ，解得 ，则012432c02c034ffc，故选 D98【考点】函数的性质二、填空题13在等差数列 中，已知 ，则 的前 项和等于 na2683ana7【答案】 14【解析】试题分析： ， ，即862 61531 dd，231da，故答案为 1477aS4【考点】等差数列的前 项和n14 的展
10、开式中， 的系数是 （用数字填写答案）42x3x【答案】 8【解析】试题分析： 表示 个因式 的乘积， 的系数可41212x3x以是：从 个因式中选三个因式提供 ，另一个因式中有一个提供 ，也可以是从 个4x因式中选两个因式都提供 ，其余的两个提供 ，可得 的系数，故 的系数为：33，故答案为 2843C28【考点】二项式定理的应用15若曲线 与曲线 有四个不同的交点，21:0xy2:210Cyax则实数 的取值范围是 a【答案】 ,2【解析】试题分析：由 ，得 ，02:21xyC12y得 或0:2axyC， 和 有两个交点 ， ，故需满足y12yx0， ,2和1xy有两个交点，且不为 ， ，
11、即 ，得 且20， ,212a0a，即 得取值范围是 ，故答案为01a ,1,2,【考点】直线与圆锥曲线相交16定义在 上的函数 的导函数为 ，满足 ，则不等式Rfxfx fxfx4x的解集为 24xff【答案】 8,【解析】试题分析：取 ，则 ，易解得12xf241342xxA；故答案为 8x8,【考点】抽象函数的不等式【一题多解】本题主要考察了抽象函数不等式的解法，利用导数判断函数单调性的应用，可以采取构造函数的方式：令 ，则2xgxf，故 单调递增，所给不等式化为0gxfxf ，即 ，故 ，即22444f f4gx4x8x三、解答题17 的内角 的对边分别为 ，已知 ，且 ABC,abc
12、8264bcaA（1）求 ；（2）若 ，求 ABC的面积 sin3si2inCBS【答案】 （1） ；（2） 38【解析】试题分析：（1）运用余弦定理可得解；（2）结合（1）将已知条件利用 ，C利用两角和的正弦可得 ，运用正弦定理得边 ，最后求三角形面积3cosCc试题解析：（1）因 ，且 ，故 ；221abaB0B3（2）法一：由题 ，故 ，3sinsi103cosin2CCCcos2知 ，因此 ，从而 ，因此 6A8in46c1i832SaB【考点】正弦定理；余弦定理；三角形面积公式【一题多解】该题中求三角形的面积还可采用：法二：由题及正弦定理可得 ，又 ，故 ，31cb2864c230c
13、解得 ，故 1sin82SaB4c法三：过 作 于 ，由题 ，而ADCcos2cbaBbC，故 ，知 ，因此 ， ， ，1cos2B3cos62D3A2cD故 ，从而得解818在四边形 中，对角线 垂直相交于点 ，且 ，ACD,ABO4B将 沿 折到 的位置，使得二面角 的大小为3OEE（如图） 已知 为 的中点，点 在线段 上，且 90QOP2AP（1）证明：直线 ；/PQADE平 面（2）求直线 与平面 所成角 的正弦值B【答案】 （1）证明见解析；（2） 34【解析】试题分析：（1）建立如图直角坐标系 ，写出直线 的方向向量，xyzOPQ求出面 的法向量，在证明方向向量与法向量垂直即可；
14、（2）由（1）知面ADE的法向量，直线 与平面 所成角 的正弦值即 的方向向量与面法向BADEBD量夹角余弦值的绝对值试题解析：由题 ，故 两两垂直，从而可建立如图直角坐标90O,B系 ，则 ， ， ， xyz,430,4,0A（1）由题知 ，故 ，又 ，故 ，42AB4AP4,0B1,0AP从而 ，又 ，故 ，设平面 的法向量为3,0P3,Q3,12DE，易得 ， ，由 得 ，,nxyz4,0DA,4E0nA403xyz取 得 ，因 ，故直线 ；3,nP/PQE平 面（2）由（1）可知 为平面 的法向量，又 ，故3,4AD0,8B23sinco, 48BDn【考点】直线与平面平行的判定；直线
15、与平面所成的角【一题多解】 （1）如图，取 的中点 ，连接 ，则 ，由题知OR,PQ/DER，又 ，故 ，因此 ，因为42AB2P:41:AB： AP，且 ，故 ，,PRQDE平 面 ,平 面 /平 面，又 ，故 ，从而/平 面 RQPRDE平 面 平 面A平 面法二：由题 5E，取 中点 F，因 ，故 ，AOAFA，因此 ，从而 ，过点 作FDE平 面 E平 面 平 面 O于 ，连 ，则 ，从而 ，易知OHHD平 面 H， ， ，故 ，因此OEF32OF32641798HAsin4HD法三：由题 ， ，设点 到平面 的距离为 ，则由等体5A2OADEd积法可得 123，故 ，因此 2584d
16、AA63417d3sin4d19某工厂为了对先研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（1）求回归直线方程 ；ybxa（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是5 元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本） （附：对于一组数据 12,v，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：,nv， ）12iiiniiuvu【答案】 （1） ；（2） 80xy5.9【解析】试题分析：（1）计算 ， ，利用公式得 的值，得到y,yxinii1 ab,回归直线方程；（2）写出利润的表达式 ，利用均值不等式得xL14520解试题解析：（1）由题 ， ，故619.5ix619iy， ，得 ，从而614iiixy6210.7iix420.b，因此 ；280ab8y（2）设该产品的单价定为 元，工厂获得的利润为 元，则xL
