1、南安一中 20162017 学年高三年期初考试文科数学试题（满分：150 分 考试时间：120 分）第卷1、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 ，则 = 22|1,30xABxBACR)(A B C D2,)( ,1),(2,1)(3,)2设 （ 是虚数单位） ，则 iz zA B C D1i232ii23. 已知命题 :p“ 0,1x”的否定是“ 0,31x”，命题 :q“ a”是“函数 ()3fxa在区间,2上存在零点” 的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是 A qB pqC pD p4.若非零向量 ,ab满足
2、(4)a， ()b，则 a与 b的夹角是 A 6 B 3 C 2 D 56 5已知双曲线 C ：2xa- yb=1 的焦距为 10 ，点 P（2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为 A. 20x- 8y=1 B. 80-2=1 C. 25x- 0y=1 D. 20x- 5y=16已知 ()f是定义在实数集 R上的偶函数，且在 (,)上递增，则 A .72(log5)(3ff B 0.723lfC 0.72()lffD 0.722()l)f7如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 S 值为8,3mnA56 B336 C360 D14408函数 的图象大致是 321xyA. B. C. D.
3、9椭圆 的一个焦点为 ，该椭圆上有一点 ，满足 是等边三角形（O 为） 05(12abyxFAF坐 标原点） ，则椭圆的离心率是A. B. C. D. 3312210 如图网格纸上的小正方形边长为 1，粗线是一个三棱锥的三视 图，则该三棱锥的外接球表面积为 A B C D ,4864111.已知 ，则cos23,7,2cos68,2 ABC的面积为A. 2 B. C. 1 D.12.已知 ，则 的最大值为0xyyx2A. B. C. D. 12442第卷2、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13. 已知函数 ( ).若 ，则实数 ln,0()xfa1,a2()fefa14. 在正方体
4、 中，异面直线 与 所成角的大小为 1ABCD1AB1D15. 设实数 满足 则 的取值范围是 .,xy2,0,x3y16. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852 年英国来华传教伟烈亚利将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874 年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 2 至 2017 这 2016 个数中能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则此数列的项数为 .na3、解答题：解答题应写
5、出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分) 在 中，角 的对边分别为 ，且满足（ ）ABC, cba,ba20cosBC（）求角 的大小。C（）若 ，求 面积的最大值。6cAB18. (本小题满分 12 分) 设数列 的前 项和 ，数列 的前 项和为 ，nanSnnT满足 *32,nTSN()求数列 的通项公式；a（）求证： . *1,n19.（本题满分 12 分）如图三棱柱 ， ， 分别是 的中点，四1ABCABC1,D1,BC边形 是菱形，且平面 平面 .1AD1D1()求证：四边形 为矩形；1()若 ,且 体积为 131AB3，求三棱柱 的侧面积BC20.（本题满分
6、12 分）圆 F： 和抛2(1)xy物线，过 F 的直线 与抛物线和圆依次交于 A、B、C、D 四点xy42l()当 时，求直线 的方程； 7BDACl（）是否存在过点 F 的直线 ，使得三角形 OAB 与三角形 OCD 的面积l 之比为4:1，若存在，求出直线 的方程，否则说明理由21.（本题满分 12 分）已知 ，函数aRln1.fxa()讨论函数 的单调性；fx()若函数 有两个不同的零点 ，求实数 的取值范围；122,xa()在（2）的条件下，求证： .请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑22
7、.（本小题满分 10 分）选修 4-4；坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，圆 C 的参数方程为 ，在以原点 O 为极点，x 轴的非负半2sin,()coxty为 参 数轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l的极坐标方程为 ， i24(,0)A()求圆 C 的普通方程和直线 的直角坐标方程；() 是圆 上动弦，,求 中点 到 l距离的最小值.APAPM23.(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 (1,.fxaxR()当 时，求不等式 的解集；1a2()fx()若正实数 满足 ，函数 恒成立，求实数 的取值范围.,mn12()fmna南安一中 20162017 学年高三年期
8、初考试文科数学试题答案及评分参考一、选择题：本大题考查基本知识和与基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。(1) C (2) B (3)C (4) B (5) D (6) A(7) B (8) A (9) A (10)D (11) D (12)B二、填空题：本大题考查基本知识和与基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。（13） （14） （15） （16）134260 1,5三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. () .2 分)cos(cos2,cos)2( BCbaBCba 由正弦定理得 AA sinin()in(isin 在 中， ,
9、所以B021cs又 所以 .6 分),0(C32()由()和余弦定理有 abaCbac 3cos22当且仅当 时等号成立.10 分.12,6abc32sinCSABC即面积最大值为 .12 分318本小题主要考查数列的概念及 与 的关系，考查运算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程naS思想等满分 12 分解析：()当 ，由已知有， .1 分 1n1321a当 时， 2nTS 13()n -得： .3 分132nnna 故 12nSa -得： 则 .5 分 13nn132na是以 为首项，公比为 的等比数列. .6 分 na132na*()N（）.8 分3121nnnSA， .10 分312
10、*32nnSN函 数 为 上 的 单 调 递 增 函 数(1)nS . . .12 分*1,nN故 成 立19. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体体积、面积问题。考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形几何思想，化归转化思想。满分 12 分. 解析：()过点 作 ,交 于点 , A1OD1O平面 平面 ,平面 平面 ,1CBA1CB1D1AO平面 ， 平面 , .2 分O1是正三角形， 为 中点，A平面BC,1平面 ， .5 分1D四边形 为矩形. .6 分B1C()过点 作 交 于点 ，连接O1EEA设 ， =ABa32a1D在 中 .7RtAO3,4aD
11、分体积为 ,1BC， .9 分324a2a1,3AB11,OEA平面,平面 1B在 中 .11 分RtAOE1321392ABS同理 侧面积为 .12 分19CSA1CA320.本小题主要考查直线与圆、抛物线位置关系等基本知识，考查运算求解；考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想。满分 12 分.解析：解：()当斜率不存在时， 4|AD为 通 径 ，不合题意724|ACBD当斜率存在，设直线 的方程为： l(1)ykxOE联立方程： 得：24(1)yxk. . 2 分222(0kx直线 过 F，故当 直线 必与抛物线交于两点，设lkl 12(),)AxyD.4 分2124x121BD
12、ACFAxp247k2,42k故直线 的方程为： .6 分l )1(xy（）当直线 斜率不存在，显然不成立则直线 斜率存在由()知 .8 分l 412xBFACDSOAB解得 .10 分21214kx12,x245k28,2k,0,1:CDAB故直线 的方程为： .12 分l 2xy21.本小题主要考函数与导数的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分 12 分.解析：解：（）f（x）的定义域为（0，+ ），其导数 f（x ）= a当 a0 时， f（x）0 ，函数在（0 ，+）上是增函数；当 a0 时，在区间（ 0， ）上，f（x）0 ；
13、在区间（ ，+ ）上，f（x）0 f（x）在（0， ）是增函数，在（ ，+ ）是减函数4 分（）由（）知，当 a0 时，函数 f（x）在（0 ，+）上是增函数，不可能有两个零点，当 a0 时，f（x）在（0 ， ）上是增函数，在（ ，+）上是减函数，此时 f（ ）为函数 f（x）的最大值，当 f（ ）0 时，f （x ）最多有一个零点，f（ ）=ln 0 ，解得 0a1，此时， ，且 f（ ）=1 +1= 0，f（ ）=2 2lna +1=32lna （0a1），令 F（a）=32lna ，则 F（x ）= = 0，F（a）在（0，1 ）上单调递增，F （ a）F（1）=3e 20，即 f（
14、）0 ，a 的取值范围是（0，1 ） 8 分（）由（）可知函数 f（ x）在（0， ）是增函数，在（ ，+）是减函数分析：0 ， 只要证明：f（ ）0 就可以得出结论下面给出证明：构造函数：g（x）=f （ x）f（x）=ln（ x）a（ x）（lnxax）（0 x ），则 g（x ）= +2a= ，函数 g（x）在区间（ 0， 上为减函数0x 1 ，则 g（x 1）g （ ）=0，又 f（x 1）=0，于是 f（ ）=ln（ ）a（ ）+1f （ x1）=g（x 1）0又 f（x 2）=0，由（1）可知 ，即 12 分(22)（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程解析： 解：(
15、)圆 C 的普通方程为： .2 分 d24xy2sincos)直线 l的直角坐标方程: .4 分04yx() M 的参数方程为：2sin,()co0txy为 参 数即 所以设 M（ ， ） . 6 分sin1,()coxty为 参 数 sin1tcost则 M 点到 l距离: .9 分2|3)4i(|24cosi| tttd当 时， .10 分4t13min（23） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲解析：()当 时，不等式 即 . .1 分 1a2()fx21xx当 时，由 ，得 ，故有 ； .2 分x1或 1当 时，由 ，得 ，故有 ；. 3 分12xx10x或 x当 时，由 ，得 ，故有 . .4 分xR综上述，不等式 的解集是 . .5 分2()fx,()依题意，问题可转化为求 .6 分minmax12()()f其中 ()1fxax又 1244228nmn nA当且仅当 ，即 时取等号. .8 分421n2m故由 ，得 ，即8a8a97a综上述， 的取值范围为 . .10 分9,7
