1、1 第三章 概率 学习目标 1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率.2.掌握随机事 件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.3.能区分古典 概型与几何概型，并能求相应概率 1频率与概率 频率是概率的_，是随机的，随着试验的不同而_；概率是多数次的试验中 _的稳定值，是一个_，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率 2求较复杂概率的常用方法 (1)将所求事件转化为彼此_的事件的和； (2)先求其_事件的概率，然后再应用公式P(A)1P( )求解 A 3古典概型概率的计算 关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)
2、 求 m n 解有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏 4几何概型事件概率的计算 关键是求得事件A所占_和_的几何测度，然后代入公式求解 类型一 频率与概率 例1 对一批U盘进行抽检，结果如下表： 抽出件数a 50 100 200 300 400 500 次品件数b 3 4 5 5 8 9 次品频率 b a (1)计算表中次品的频率； (2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？2(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？反思与感悟 概率是个常数但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计 跟踪训练1 某
3、射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下： 射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91 (1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？ (2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？ (3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心 吗？ (4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心 吗？类型二 互斥事件与对立事件 例2 甲、乙两人参
4、加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、 乙两人各抽一题3 (1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？反思与感悟 在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面 却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解 跟踪训练2 有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券 (1)有放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券 的概率； (2)无放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券 的概率类型三 古典概型与几何概型 例3 某
5、产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标Sxyz评价该产品的等 级若S4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质 量指标列表如下： 产品编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 质量指标 (x，y，z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 质量指标 (x，y，z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，4 用产品编号列出所有
6、可能的结果； 设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4” ，求事件B发生的 概率反思与感悟 古典概型与几何概型的共同点是各基本事件等可能；不同点是前者总的基本事 件有限，后者无限 跟踪训练3 如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形， 较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为( ) A. B. 4 13 3 13 C. D. 2 13 1 13 类型四 列举法与数形结合 例4 三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A发球算起，经4 次传球又回到A手中的概率是多少？5 反思与感悟 事件个数没有很明显
7、的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助 树状图法直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达 跟踪训练4 设M1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，任取x，yM，xy.求xy是3的倍数的 概率1下列事件中，随机事件的个数为( ) 在某学校明年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军； 在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯； 从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签； 在标准大气压下，水在4 时结冰 A1 B2 C3 D4 2把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌” 是( ) A对立事件 B互斥但不对立事件
8、C不可能事件 D必然事件 3下列试验属于古典概型的有( ) 从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色； 在公交车站候车不超过10分钟的概率； 同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正” “两反” “一正一反”的次数； 从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌 A1个 B2个 C3个 D4个 4甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( )6 A. B. C. D无法确定 1 3 1 4 1 2 5任取一个三位正整数N，则对数log 2 N是一个正整数的概率是( ) A. B. 1 225 3 899 C. D. 1 300 1 450 1两
9、个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥 2关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题： (1)本试验是不是等可能的？ (2)本试验的基本事件有多少个？ (3)事件 A是什么，它包含多少个基本事件？ 只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错 3几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成 正比，而与A的位置和形状无关求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整 个区域的几何度量，然后代入公式即可求解 4模拟方法问题中，由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A发生 的条件确定随机数应满足的关系式7 答案精析 知识梳
10、理 1近似值 变化 频率 常数 2(1)互斥 (2)对立 4区域 整个区域 题型探究 例1 解 (1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017，0.02,0.018. (2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽 取一个是次品的概率约是0.02. (3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(10.02)2 000，因为 x是正整数，所以x2 041，即至少需进货2 041个U盘 跟踪训练1 解 (1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9. (2)击中靶心的次数大约为3000.9270.
11、 (3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化后30次中，每次击中 靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心 (4)不一定 例2 解 把3个选择题记为x 1 ，x 2 ，x 3, 2个判断题记为p 1 ，p 2 .“甲抽到选择题，乙抽到判 断题”的情况有(x 1 ，p 1 )，(x 1 ，p 2 )，(x 2 ，p 1 )，(x 2 ，p 2 )，(x 3 ，p 1 )，(x 3 ，p 2 )，共6种； “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p 1 ，x 1 )，(p 1 ，x 2 )，(p 1 ，x 3 )，(p 2 ，x 1 )， (p 2 ，x 2 )，(p 2 ，
12、x 3 )，共6种； “甲、乙都抽到选择题”的情况有(x 1 ，x 2 )，(x 1 ，x 3 )，(x 2 ，x 1 )，(x 2 ，x 3 )，(x 3 ，x 1 )， (x 3 ，x 2 )，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p 1 ，p 2 )，(p 2 ，p 1 )，共2种 因此基本事件的总个数为666220. (1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为 ， “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的 6 20 3 10 概率为 ，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为 6 20 3 10 . 3 10 3 10 3 5 (2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为
13、，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题” 2 20 1 10 的概率为1 . 1 10 9 108 跟踪训练2 解 (1)把4张债券分别编号1,2,3,4，其中3,4是中奖债券，用(2,3)表示 “第一次取出2号债券，第二次取出3号债券” ，则所有可能的基本事件为(1,1)，(1,2)， (1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)， (4,2)，(4,3)，(4,4) 用C表示“有放回地从债券中任取2次，取出的2张都不是中奖债券” ，则 表示“有放回地 C 从债券中任取2张，取出的2张中至少有1张是中奖债券”
14、 ，则C(1,1)，(1,2)，(2,1)， (2,2)，所以P( )1P(C)1 . C 4 16 3 4 (2)无放回地从债券中任取2张，则所有可能的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)， (2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3) 用D表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张都不是中奖债券” ，则 表示“无放回地 D 从债券中任取2张，取出的2张至少有1张是中奖债券” ， 则P( )1P(D)1 . D 2 12 5 6 例3 解 (1)计算10件产品的综合指标S，如下表： 产品编号 A 1 A 2 A 3 A 4
15、 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中S4的有A 1 ，A 2 ，A 4 ，A 5 ，A 7 ，A 9 ，共6件，故该样本的一等品率为 0.6，从而可 6 10 估计该批产品的一等品率为0.6. (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为A 1 ，A 2 ，A 1 ，A 4 ， A 1 ，A 5 ，A 1 ，A 7 ，A 1 ，A 9 ，A 2 ，A 4 ，A 2 ，A 5 ，A 2 ，A 7 ，A 2 ，A 9 ，A 4 ，A 5 ， A 4 ，A 7 ，A 4 ，A 9 ，A 5 ，A 7 ，A 5 ，A 9 ，
16、A 7 ，A 9 ，共15种 在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A 1 ，A 2 ，A 5 ，A 7 ，则事件B发 生的所有可能结果为A 1 ，A 2 ，A 1 ，A 5 ，A 1 ，A 7 ，A 2 ，A 5 ，A 2 ，A 7 ，A 5 ，A 7 ，共6 种 所以P(B) . 6 15 2 5 跟踪训练3 D 设阴影小正方形边长为x，则在直角三角形中 有2 2 (x2) 2 ( ) 2 ， 13 解得x1或x5(舍去)， 阴影部分面积为1，飞镖落在阴影部分的概率为 . 1 13 例4 解 记三人为A、B、C，则4次传球的所有可能结果可用树状图方式列出：如下图9 每一个分支
17、为一种传球方案，则基本事件的总数为16个，而又回到A手中的事件个数为6 个，根据古典概型概率公式得P . 6 16 3 8 跟踪训练4 解 利用平面直角坐标系列举，如图所示 由此可知，基本事件总数n12345678945.而xy是3的倍数的情况 有m12443115(种)故所求事件的概率 . m n 1 3 当堂训练 1C 在某学校明年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能 未获得冠军，是随机事件；在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯 不一定被抽到，是随机事件；从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签， 是随机事件；在标准大气压下，水在
18、4 时结冰是不可能事件故选C. 2B 根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与 “乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌” 之外，还有“丙分得红牌” ，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红 牌”是互斥但不对立事件 3A 古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性符合两个特征；对于和，基 本事件的个数有无限多个；对于，出现“两正” “两反”与“一正一反”的可能性并不相 等，故选A. 4C 共有4个事件“甲、乙同住房间A，甲、乙同住房间B，甲住A乙住B，甲住B乙住 A” ，两人各住一个房间共有两种情况，所以甲、乙两人各住一间房的概率是 . 1 210 5C 三位正整数有100999，共900个，而满足log 2 N为正整数的N有2 7, 2 8, 2 9 ，共3个， 故所求事件的概率为 . 3 900 1 300
