1、2017 届河北省衡水中学高三摸底联考（全国卷）数学（文）试题 数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则如图所示阴影部分表示的集合为（ ）2|30,|13AxBxA B C D0,10,31,31,32. 已知向量 ，且 ，则实数 的值为（ ）,21manamnaA B C 或 D223. 设复数 满足 为虚数单位） ，则复数 对应的点位于复平面内（ ）z3(izi:zA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4. 已知 张卡片上分别写着数字 ，甲、乙两人等
2、可能地从这 张卡片中选择 张，则他们选择同41,2441一张卡片的概率为（ ）A B C D16125. 若直线 和圆 没有交点，则过点 的直线与椭圆 的交点个:4lmxny2:4Oxy,mn2194xy数为（ ）A B 至多有一个 C D0 126. 在四面体 中， ，则该四面体外接球的表SA,2,6ABSACSB面积是（ ）A B C D 86647. 已知 为等差数列， 为其前 项和，公差为 ，若 ，则 的值为（ ）nanSd2017SdA B C D12010 208. 若函数 的部分图象如图所示，则关于 的描述中正确的是（ ）sin0fxAxfxA 在 上是减函数 B 在 上是减函数
3、 Cfx5,12 fx5,36在 上是增函数 D 在 上是增减函数f, f,9. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则（ ）231A B C D13a12a1a10a10. 函数 的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（ ）3fxxA B 43 2C D20a 6351a11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D13351043107412. 已知函数 ，则关于 的方程 ，当 时实根个2log1xfxx2fxa2数为（ ）A 个 B 个 C 个 D 个5678第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.
4、 中心在原点，焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 ，则它的离心率为 x2,114. 曲线 在 处的切线方程为 23lnfx115. 某大型家电商场为了使每月销售 和 两种产品获得的总利润达到最大，对某月即将出售的 和AB AB进行了相关调査，得出下表:如果该商场根据调查得来的数据，月总利润的最大值为 元16. 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字 出现在第 行;数字 出现在第 行;数12,3字 （从左至右)出现在第 行;数字 出现在第 行，依此类推，則第 行从左至右的第 个6,5437,8910404数字应是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说
5、明、证明过程或演算步骤. ） 17. （本小题满分 12 分）已知顶点在单位圆上的 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且ABCabc.22bcab（1）求角 的大小;A（2）若 ,求 的面积.24BC18. （本小题满分 12 分）如图，三棱住 中, .1ABC11,60ABA（1）证明: ;1ABC（2）若 ,求三棱住 的体积.2,61ABC19. （本小题满分 12 分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出 盒该产品获利润 元;未售出的产品，每盒亏损 元 .根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分15030布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购
6、进了 盒该产品，以 (单位：盒， )表示16x102x这个开学季内的市场需求量，(单位：元) 表示这个开学季内经销该产品的利润 .（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量 的中位数;x（2）将 表示为 的函数;yx（3）根据直方图估计利润不少于 元的概率.48020. （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 中, 过点 的直线与抛物线 相交于xOy2,0C24yx两点, .AB12,xyB（1）求证: 为定值;2（2）是否存在平行于 轴的定直线被以 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求该直线方程和yAC弦长；如果不存在，说明理由.21. （本小题满分 12 分）已知函数 .2ln,fx
7、abxaR（1）当 时, 求函数 在 上的最大值和最小值 ;3abf1,（2）设 ,且对于任意的 ,试比较 与 的大小.00,xfflna2b请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图, 四点在同一个圆上， 与 的延长线交于点 ,点 在 的延长线上.,ABCDBCADEFBA（1）若 ,求 的值;1,32E（2）若 ,证明: .2FEF23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 轴非负半轴重合，直线 的参数方程为:xl为参数), 曲
8、线 的极坐标方程为: .312(xtyC4cos（1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程;l（2）设直线 与曲线 相交于 两点, 求 的值.lPQ24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .23,12fxaxgx（1）解不等式 ;5g（2）若对任意 ,都有 ,使得 成立, 求实数 的取值范围.1xR2x12fxga河北省衡水中学 2017 届高三摸底联考（全国卷）数学（文）试题参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1-5.CBACD 6-10. DBCCD 11-12. CB二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13. 14. 15. 16. 2
9、503-yx960194三、解答题（2）由 得 2sinaAsin3A由余弦定理得 2cob即 2 13s6042cbc， 即 .13in1in2ABCSb18、解： （）证明：如图，取 的中点 ，连结 , 因为 ，所以 ABOC1ABCOCAB 由于 ， ，故 为等边三角形，1AB1601所以 O因为 ，所以 平面 . 1CAB1OCAB C1B1O又 平面 ，故 .1AC1O1ABC（）由题设知 与 都是边长为 的等边三角形，2所以 又 ，则 ，故 .1316211OA1OC因为 ，所以 平面 为三棱柱 的高 0OCABOA,BCB又 的面积 . CS故三棱柱 的体积 113ABCVS19
10、、解：（1）由频率直方图得：需求量为 的频率= ，0,20.52.1需求量为 的频率= ，需求量为140,160)的频率= ，20,40. 0.3则中位数 36x（2）因为每售出 盒该产品获利润 元，未售出的产品，每盒亏损 元，153所以当 时， ， 06x01804yxx当 时， 168所以 .84,160620yx（3）因为利润不少于 元，所以 ，解得 ,8408x120x所以由（1）知利润不少于 元的概率 .41.9p20、解：（） （解法 1）当直线 垂直于 轴时， ,AB,2y因此 (定值) ,821y当直线 不垂直于 轴时，设直线 的方程为ABx )(xky由 得yk4)(2 08
11、42ky因此有 为定值 82121（解法 2）设直线 的方程为AB2xmy由 得 xym42 082y821因此有 为定值 . 21()设存在直线 ： 满足条件，则lax的中点 ，AC)2,(1yE211)(yxAC因此以 为直径的圆的半径 41221xr又 点到直线 的距离Eax|2|1axd所以所截弦长为 2112 )()4(axr 2121)(4ax 2148当 即 时，弦长为定值 2，这时直线方程为 . 0a x21 【解析】 （1）当 时， ，且 ，,3b23lnfx1,2 2123xfx由 ，得 ；由 ，得 ，()01()0f2x所以函数 在 上单调递增；，函数 在 上单调递减，f
12、x(,)2()f1,所以函数 在区间 仅有极大值点 ，故这个极大值点也是最大值点，f1,x故函数在 上的最大值是 ， ,22f又 ，153lnllnl404ff故 ，故函数在 上的最小值为 2ff1,22lf（）由题意，函数 f（x）在 x=1 处取到最小值，又 babaxf 112)(2 设 的两个根为 ，则 0f 21,x021a不妨设 ，,21x则 在 单调递减，在 单调递增，故 ，)(f),(2)(2xff又 ， 所以 ，即 2 ，即 121aba令 ，则 令 ，得 ,24lngxx14xg0g14x当 时， 在 上单调递增；100,当 x 时， 在（ ）上单调递减；4,gx，41因为
13、 1ln0故 ，即 ，即 .0ga242labaln2ab22.本题满分 10 分（1）解：因为 四点共圆； ,又,ABCD EDCBF,又 .,ECDEEABAB:16,32ECA（2） ,又 ,2,FF,FFBF:又因为 四点共圆； .,ABCD D23本题满分 10 分解：(1) . , 由 ,得 , 24cos,4cos22,cosxyx24yx所以曲线 的直角坐标方程为 ,由 ,消去 解得： .所以直线 lC24xy312t-3+10的普通方程为 . -3+10xy(2)把 代入 , 整理得 ,2ty24xy2350tt设其两根分别为 ，则 . 12,t 2121212113,5, 47ttPQttt24、本题满分 10 分解析： （1）由 得 ， ，解得 25x125x13x24x所以原不等式的解集为 . |4（2）因为对任意 ，都有 ，使得 成立1xR2x12fxg所以 ，| |yfyg有 , ,所以 从而 ()233fxaxaxa12x23a或 . 所以 实数 的取值范围 . 1a5,5
