1、南昌三中 20162017 学年度上学期第三次月考高三数学（理）试卷 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 MxyNM,cos,10，则 N是（ ）A , B. C. 1,0 D. 02.sin15cos75cos15sin105等于( )A0 B. C. D112 323已知 i是虚数单位，复数 z的共轭复数是 z，如果 iz48，那么 z（ ）等于（A） i4（B） i43 （C） i34（D） i34.给出下列三个命题：“若 20x，则 1x”为假命题；若 p q为假命题,则 p,q均为假命题；命题
2、 p： ,R，则 0:,2pR.其中正确的个数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.35函数 2cos14yx的一个单调递减区间为（ ）A. 3, B. 3, C. ,4 D. ,26. 为了得到函数 )62sin(xy的图象，可以将函数 xy2cos的图象（ ）A.向右平移 6个单位长度 B.向右平移 3个单位长度C.向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度7已知函数 cosfxAx的图像如图所示， 23f，则0f（ ）A. 23 B. 12 C. 23 D. 12 8在ABC 中，cos 2 ，则ABC 的形状为( )A2 b c2cA直角三角形 B等腰三角形或直角三角形C正三角形 D
3、等腰直角三角形9.已知 )(xf是奇函数并且是 R上的单调函数，若函数 )()12(xfxfy只有一个零点，则实数 的值是（ ）A 41 B 81 C 87 D 8310.函数 )0,(aayx的定义域和值域都是 10， ，则 548log6laa( )A 1 B 2 C 3 D 411.已知定义在 R 上的函数 ()yfx是偶函数，当 0x时，2sin ,01 ()13 ,xf，若关于 x的方程 2()()0fxafb（ ,aR） ，有且仅有 6 个不同实数根，则实数 a的取值范围是( )A. 34, B. 7(4)2 C. 73(,)2 D. 7(4,),)212.已知函数 )yfx对任意
4、的 x满足 cosin0fxfx (其中 )fx是函数 ()fx 的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）A. 2()()34ff B. 2()34f C. (0)23ff D. ()2()4ff二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填写在题中的横线上。13已知锐角 终边上一点 P 的坐标是(2sin2，2cos2)，则 等于 14已知 tan2，则 2sini= 15.已知 0(sico)xd，在 64(1)axy的展开式中， 2xy项的系数为_.16.函数 )lnf在点 0,Pf处的切线 l与函数 g()e的图象也相切，则满足条件的切点P的个数有_个.三、解答题
5、：本大题共 5 道小题，共 60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 12 分）在锐角 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc，且 2osCac 。 （1）求角 B， （2）求 sin的取值范围18 （本小题满分 12 分）已知 RtABC 中， 90A,AB=1，BC=2，D 为 BC 的中点，将ADB 沿 AD折起，使点 B 在面 ADC 所在平面的射影 E 在 AC 上.（）求证：CD平面 BDE（）求折起后二面角 BADC 的余弦值；BADCDBEA C19 （本小题满分 12 分）已知函数 22()cosincosifxtxx， （1）当 t时，若3()
6、24f，试求 sin2；（2）若函数 在区间 (,16上是增函数，求实数 的取值范围.20. （本小题满分 12 分）计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和 .单位：亿立方米）都在 40 以上.其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过 120 的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每
7、年发电机最多可运行台数受年入流量 限制，并有如下关系:若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21 （本小题满分 12 分）已知函数 ()lnfxmx（ 为常数）.（）讨论函数 ()fx的单调区间；（）当 32m时，设 2gf的两个极值点 1， 2x， （ 12）恰为2()lnhxcbx的零点，求 1212()xyh的最小值.四、选做题（请考生在 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系
8、 xOy中，曲线 1C的参数方程为 2cos,inxy（ 为参数） 以 O为极点， x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系 （）写出 1C的极坐标方程；（）设曲线2:14xCy经伸缩变换 ,2xy后得到曲线 3，射线 3（ 0）分别与 1C和 3交于 A,B两点，求 |AB年入流量 804X120X12发电量最多可运行台数 1 2 323.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知不等式 |3|21x的解集为 |xm （）求 的值；（）设关于 x的方程|xtmt（ 0t）有解，求实数 t的值南昌三中高三第三次月考理科数学试卷一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共
9、 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 MxyNM,cos,10，则 N是（ B. ）A , B. C. 1,0 D. 02.sin15cos75 cos15sin105等于( D )A0 B. C. D112 32解析 sin15cos75cos15sin105sin15cos75 cos15sin75sin90.3已知 i是虚数单位，复数 z的共轭复数是 z，如果 iz48，那么 z（ ）等于（A） i4（B） i43 （C） i3（D） i3解:设 yxz， 、 都是实数，则 yixz2， iz48，82，解方程组得 xy. i4.故选 D4.给出下
10、列三个命题：“若 230，则 1x”为假命题；若 p q为假命题,则 p,q均为假命题；命题 p： ,xR，则 0:,2pR.其中正确的个数是（ 【B】 ）A.0 B.1 C.2 D.3【解析】 （1）命题“若 1，则 2x”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此（1）不正确；（2）错误;（3）根据含量词的命题否定方式，可知命题(3)正确.5函数 2cos4yx的一个单调递减区间为（ ）A. , B. 3, C. ,4 D. ,2思路：先变形解析式， 2cos1cos2sin4yxxx，再求出单调区间：224kxkkxkZ， 0k时，D 选项符合要求答案：C6. 为了得到函数 )6sin(y
11、的图象，可以将函数 xy2cos的图象（ B ）A.向右平移 6个单位长度 B.向右平移 3个单位长度C.向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度7已知函数 cosfxAx的图像如图所示， 23f，则 0f（ ）A. 23 B. 12 C. D. 1 思路一：可以考虑确定 fx的解析式进而求出 0f， 如图可计算出 173T，所以 3 ，取零点的 中点可得对称轴 24x 而 3cos4fAA，从而 924k，解出一个值 。所以 cos34fxx， 且224f，所以 2cos34fx，进而 03f 思路二：同思路一先解出 3T，则 0f，从图中可得 与 2关于 71x中心对称，从而 220
12、ff答案：A.8在ABC 中，cos 2 ，则ABC 的形状为( A )A2 b c2cA直角三角形 B等腰三角形或直角三角形C正三角形 D等腰直角三角形解析 cos 2 ， ，即 cosA ，又由余弦定理知，A2 b c2c 1 cosA2 b c2c bccosA ， ，a 2b 2c 2，ABC 为直角三角形b2 c2 a22bc b2 c2 a22bc bc9.已知 )(xf是奇函数并且是 R上的单调函数，若函数 )()1(2xfxfy只有一个零点，则实数的值是（ ）A 41 B 81 C 87 D 83【答案】C【解析】令 0)()2(xfxfy，且 )(xf是奇函数，则 )()()
13、12( xffxf ，又因为 )f是 R上的单调函数，所以 12只有一个零点，即 0只有一个零点，则 01(8，解得 87，故选 C10.函数 )0,(aayx的定义域和值域都是 10， ，则 548log6laa( )A 1 B 2 C 3 D 4【答案】C11.已知定义在 R 上的函数 ()yfx是偶函数，当 0x时，2sin ,01 ()13 ,xf，若关于 x的方程2()()0fxafb（ ,a） ，有且仅有 6 个不同实数根，则实数 a的取值范围是( )A. 34, B. 7(4)2 C. 73(,)2 D. 7(4,),)2【答案】C【命题立意】本题考查分段函数的图像，换元法，涉及
14、数形结合、方程、转化思想，属难题.【解析】 ()fx的图像如图所示， (,1)(0,1,)(AA，当 1x时， ()fx的最大值是 2,；当0x时， 的最小值是 0， 32x是部分图像的渐近线.设 ()tf，依题意，符合题意有两种情况：(1) 12,3,，此时 127(,4)at，则 7(4,)2a；(2) (0t， 2()t，此时 3t，则 73(,)2a；综上， 734,2a，选 D.12.已知函数 ()yfx对任意的 (,)满足 ()cos()in0fxfx (其中 )fx是函数 ()fx 的导函数)，则下列不等式成立的是A. 2()()34ff B. 2()34f C. (0)23ff
15、 D. ()2()4ff【答案】A【解析】令 xffxffxgfxg 22 cosincos,cos 则，由对任意的(,)2x满足 ()()in0ff可得 0g，所以函数 g在 ,上为增函数，所以 43g，即 4cos3csff，所以 432ff，故选 A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填写在题中的横线上。13已知锐角 终边上一点 P 的坐标是(2sin2，2cos2)，则 等于 解析 点 P 位于第一象限，且 tancot2tan tan ，2 ， 2 .(2 2) (2 2) 2 (0，2) 214已知 tan2，则 2sini= 4515.已知 0(s
16、ico)xd，在 64(1)axy的展开式中， 2xy项的系数为_.【解析】根据题意，可以求得 20cosin|， 64(1)的展开式中， 2xy的系数为12647C,故选 B.16.函数 ()lnfx在点 0(,)Pxf处的切线 l与函数 gxe的图象也相切，则满足条件的切点 P的个数有_个.【答案】【思路点晴】两个函数的切线相同，我们就可以这样来操作，先在第一个函数中求得其切线方程，如本题中的 0ln1xy，得到斜率为 01x，利用这个斜率，可以求得第二个函数的切点，从而求得其切线方程为 00，这两个切线方程应该是相等的，故它们的截距相等，根据两个截距相等，可以得到关于切点横坐标的一个方程
17、，我们根据图像就可以知道这个切点的横坐标可以有两个.三、解答题：本大题共六道小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 12 分）在锐角 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc，且 2osCac 。 （1）求角 B， （2）求 sin的取值范围解：（1）方法一：使用余弦定理222cosbacb22bcaca由余弦定理得： cosaB os3方法二：观察等式 ,齐次，考虑使用正弦定理BADCDBEA COF FOEDBEA COxyz2cos2sincoC2sinAbCaBin 2sincoBCB13（2） 3 2131sisincosisicsin2A A
18、31c2ini4464A ABC为锐角三角形 ,0,2BC 2623A52,61sin,6A 13sin,4C18 （本小题满分 12 分）已知 RtABC 中， 90,AB=1，BC=2，D 为 BC 的中点，将ADB 沿 AD 折起，使点 B 在面 ADC 所在平面的射影 E 在 AC 上.（）求证：CD平面 BDE（）求折起后二面角 BADC 的余弦值；解： （）在对折图中作 BOAD 于 O,连结 OE，由条件及三垂线定理知 OEAD，对照原图知点 B、O、E 共线，BA=BD,BE 是 AD 中垂线，BDE=BAE=90 0，CDDE, 又BE平面ACD, CDBE,CD平面 BDE
19、 （用向量方法证明也可）（）解法一：由（）知BOE 就是二面角 B-AD-C 的平面角，如原图，易求得 BO= 23,OE= 6，BOE= arccos 1，故二面角 B-AD-C 的大小为 arccos 31 （）解法二：取 AC 的中点为原点 O，AC 所在的直线为 x 轴，OD 所在直线为 y 轴建立空间直角坐标系。由题意得 C（ 23，0，0） ，A（ 2，0，0）D（0， 21，0）设 B（x 0，0，z 0） ，则BABD1，即 14)(202zx解出 x0 63，z 0 ，所以 B（ 63，0， ） ，E（ 63，0，0）又可求得平面 ABD 的一个法向量为 m（ 2，6， ）
20、，平面 CAD 的一个法向量 n（0，0，1）,BADCDBEA Ccos m， n 31 ，故二面角 BADC 的大小为 arccos 31 19 （本小题满分 12 分）已知函数 22()cosincosifxtxx， （1）当 t时，若 3()24f，试求 si2；（2）若函数 在区间 ,16上是增函数，求实数 t的取值范围.解：（1）当 1t时，函数 22()csicsifxxxcsin2x，3 分。由 ()f得3sinco4,两边同时平方并整理得 7no16， 5 分即 16726 分（2）函数函数 ()fx在区间 (,126上是增函数，则等价于不等式 ()0fx在区间 (,126上
21、恒成立，也即 ()sincos0ft在区间 (,126上恒成立，9 分从而 tax在在区间 (,上恒成立， 而函数 tan2yx在区间上的最大值为 tan()3A，所以 3为所求. 13 分.20. （本小题满分 12 分）计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在 40 以上.其中，不足80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过 120 的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系:若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？年入流量 X804X120X2发电量最多可运行台数 1 2 3所以 420.10.84EY.安装 3 台发电机 .
