1、南昌三中 20162017 学年度上学期第五次考试高三数学（文）试卷一、选择题：本大题共 12 个小题, 每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数 z的对应点为 1,，则 2z( )A. 2 B i C. D. i2.已 知 全 集 U=R， 集 合 lg()Axy， 集 合 25Byx， 则 AB（ ）A B 1,2 C 2, D (1,)3. 设 ,mn是空间中两条不同的直线， 是平面， m,则“ n ”是“ /n ”的( )A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.给出下列三个命题：
2、“ 若 230x，则 1x”为假命题； 若 p q为假命题,则 p,q均为假命题；命题 p： ,0R，则 0:,2pR.其中正确的个数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.35.将函数 sin2fx的图象向左平移 8个单位，所得的函数关于 y轴对称，则 的一个可能取值为（ ）A 34 B 4 C.0 D 46. 在明朝程大位算法统宗 中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有 7 层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ）A5 B6 C4 D3 7.已知双曲线 )
3、0,(12bayx的焦距为 52，且双曲线的一条渐近线与直线 02yx垂直，则双曲线的方程为（ ）A 42yxB 142yx C 15302yx D 12035yx8. BC外接圆圆心 O，半径为 1， AOB且 AB，则向量 A在向量 BC方向的投影为（ ）A 21B 23C 2D 239.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A7 B 9 C 10 D1110.已知实数 ,xy满足40,1,，则 zxy的最大值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 411.如图 , 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是(
4、)A 5 B 5 C 29 D 42912已知数列 na的通项公式为: 14cosnam, ,nNZ且 0m若数列 为递增数列,则 ( )A -2 B -1 C1 D2二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 23cos,2，则 tan .14.无穷数列 an由 k 个不同的数组成，S n 为a n的前 n 项和. 若对任意的 *nN， 23nS， 则 k 的最大值为 .15.设直线 y=x+2a 与圆 C：x 2+y2-2ay-2=0 相交于 A，B 两点，若 ，则圆 C 的面积为 .|=2316.已知函数 ()cosi,(0)f x， ，若 ()0fx恒成立
5、，则实数 a的取值范围是_.三、解答题 （本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. （本题满分 12 分）在 C中，角 ， ， 的对边分别是 ， b， c，且向量(54,)macb与向量 (cos,)nB共线. （）求 cosB； （）若 10， ，且 2ADC，求 的长度.18.（本题满分 12 分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对 100 名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生 10女生 20合计已知在这 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 35
6、 （1）请将上述列联表补充完整；BADFECP（2）并判断是否有 99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3 ）已知在被调查的学生中有 5 名来自甲班，其中 3 名喜欢游泳，现从这 5 名学生中随机抽取 2 人，求恰好有 1 人喜欢游泳的概率下面的临界值表仅供参考： 2PKk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式： 22nadbcd，其中 nabcd）19(本小题满分 12 分)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，
7、将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马PABCD中，侧棱 P底面 ABCD，且 P，过棱 PC的中点 E，作EF交 于点 F，连接 ,.EF （）证明：平试判断四面体 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论） ；若不是，说明理由；（） （文科）若底面 ABD为正方形且 2P，求三棱锥 B的体积。20 （本小题满分 12 分）已知函数 2()1)32lnfxaxax（ ，aR （1）讨论函数 f(x)的单调性；（2）若 ， (0f，求 的值。21 （本小题满分 12 分）如图，已知点 D（0 ，2） ，过点 D 作抛物线 1C： 2(1,4)xpy的切线 l切点 A 在
8、第二象限。 （1）求切点 A 的纵坐标；（2）若离心率为 32的椭圆21()xyab恰好经过 A 点，设切线 l交椭圆的另一点为 B，若设切线l,直线 OA，OB 的斜率分别为 K, 12k,试用斜率K表示 12k， 当 12取得最大值时求此时椭圆的方程。请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 .22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为 2cos,inxy（ 为参数） 以 O为极点， x轴正半轴为极轴，并
9、取相同的单位长度建立极坐标系 （）写出 1C的极坐标方程；（）设曲线xyODA2yB2:14xCy经伸缩变换1,2xy后得到曲线 3C，射线 3（ 0）分别与 1C和 3交于 A, B两点，求 |AB23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知不等式 |3|21x的解集为 |xm （）求 的值；（）设关于 x的方程1|xtmt（ 0t）有解，求实数 t的值高三数学（文）答卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数 z的对应点为 1,，则 2z( B )A. 2 B i C. 2 D.
10、 i2.已知全集 U=R，集合 lg()Axy，集合 25yx，则 AB（ ）A B 1, C , D (1,)【答案】C【解析】由 0x得 1，所以 xA，又因为2254yx，所以 2,y，所以 2,A，故选 C.3. 设 ,mn是空间中两条不同的直线， 是平面， m,则“ n ”是“ /n ”的( B )A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.给出下列三个命题：“若 230x，则 1x”为假命题；若 p q为假命题,则 p,q均为假命题；命题 p： ,R，则 0:,2pR.其中正确的个数是（ 【B】 ）A.0 B.1 C.2 D.3【解析】 （
11、1）命题“若 1x，则 32x”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此（1）不正确；（2）错误;（3）根据含量词的命题否定方式，可知命题(3)正确.5.将函数 sin2fx的图象向左平移 8个单位，所得的函数关于 y轴对称，则 的一个可能取值为（ ）A 34 B 4 C.0 D 4【答案】B6. 在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有 7 层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ）A5 B6 C4 D3 【答案】D【解析】试题分析：由题
12、意可知，每层悬挂的灯数从上到下依次构成比差数列，公比为 2，设顶层的灯数为 1a，则7711()(238aa ） ，解之得 13a，故选 D. 考点：1.数学文化；2.等比数列的性质与求和.7.已知双曲线 )0,(2byax的焦距为 52，且双曲线的一条渐近线与直线 02yx垂直，则双曲线的方程为A 142yxB 142yx C 15302yx D 12035yx【答案】A8. BC外接圆圆心 O，半径为 1， 2AB且 OAB，则向量 A在向量 BC方向的投影为（ ）A 21B 23CD 23【答案】A【解析】因为 OACBAOBA所以 CB，所以CO,三点共线即 ；又因为 1，所以 ，所以
13、1BA故向量 在向量 上的投影为 2选 A9.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( B )(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 1110.已知实数 ,xy满足40,1,，则 zxy的最大值为 ( D )A. 1 B. 2 C. 3 D. 411.如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是( D) )(A) 5 (B) 25 (C) 29 (D) 42912已知数列 na的通项公式为: 142cosnam, ,nNZ且 0m若数列 b为递增数列,则 m( )A -2 B -1 C1 D2答案: B解析:要使数
14、列 na为递增数列，则 1()na恒成立 1214()()0nnnaAA恒成立，2 1cos4cos342cos0nmmn恒成立（）当 为奇数时，即 1nm恒成立，当且仅当 时， 有最小值为 1， （）当 为偶数时，即 恒成立，当且仅当 时， 有最大值 ， 2即 1，又 为非零整数，则 1故选 B二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 23cos,2，则 tan .答案: 14.无穷数列a n由 k 个不同的数组成，S n 为a n的前 n 项和.若对任意的 *nN， 23nS， 则 k 的最大值为 .【答案】415.设直线 y=x+2a 与圆 C：x 2+y
15、2-2ay-2=0 相交于 A，B 两点，若 ，则圆 C 的面积为 .|=23【答案】 16.已知函数 ()cosin,(0)fax， a，若 ()0fx恒成立，则实数 a的取值范围是_.解：（1）命题 in1sx在 (,)上恒成立 sin1coa在 (0,)x上恒成立 ，令si,(0)co()xa则 1cosxa， (0,)s2x，当 2a时 1x故 在 (,)上单调递增， ；当 0时 1s,()co)xa，记 0cs1，则 ()x在 0,)上单调递减，当0(,)x时， 0x不符合题意，综上 a的取值范围是 2, 三、解答题 （本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或
16、演算步骤.）17. （本题满分 12 分）在 ABC中，角 ， ， C的对边分别是 a， b， c，且向量(54,)macb与向量 (cos,)n共线.（）求 cosB； （）若 10， 5c， a，且 2ADC，求 的长度.【解析】 （） 5i4ins， i4siniosCAB， 4sin()4inicosBAB， 0A， co5；（） 10b， 5c， a，且 5， 22saBb，即 45210a，解得 3a或 5（舍） ， 2ADC， 123BAC，22214193BDABC 24ccos9aB，将 3a和 5c代入并化简得 0=3.18.（本题满分 12 分）某中学拟在高一下学期开设游
17、泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对 100 名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生 10女生 20合计已知在这 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 35 （1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有 99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3）已知在被调查的学生中有 5名来自甲班，其中 3 名喜欢游泳，现从这 5 名学生中随机抽取 2 人，求恰好有 1 人喜欢游泳的概率下面的临界值表仅供参考： 2PKk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706
18、 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式： 22nadbcd，其中 nabcd）18.解：（1）因为在 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 35，所以喜欢游泳的学生人数为3065人 1 分其中女生有 20 人，则男生有 40 人，列联表补充如下：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生 40 10 50女生 20 30 50合计 60 40 100 4 分因为 22103016.710.82645K 7 分所以有 99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关 8 分（2）5 名学生中喜欢游泳的 3 名学生记为 ,abc，另外 2 名学生记为 1，2，任取 2 名
19、学生，则所有可能情况为 ,12,1,abcac、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 10 种 10 分其中恰有 1 人喜欢游泳的可能情况为 ,、 、 、 、 ，共 6 种 11 分所以，恰好有 1 人喜欢游泳的概率为 63105 12 分19 (本小题满分 12 分)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马 PABCD中，侧棱 P底面 ABCD，且PDC，过棱 P的中点 E，作 FPB交 于点 F，连接 ,.EF （）证明：BEF平试判断四面体 D是否为鳖臑，若是，写 出其每个面的直角（只需写出结论） ；若不是
20、，说明理由；（） （文科）若底面 A为正方形且 2，求三棱锥 ED的体积。19解：（）因为 底面 AC，所以 ， 由 底面为长方形，有 B，而 P，所以 BCPD平 面 . 而 DEPC平 面 ，所以 E. 而 ，所以 D平面 . 而 BPC平 面 ， 所以B.又 F， ，所以 平面 EF. 由平面 ， 平面 ，可知四面体 D的四 个面都是直角三角形，即四面体 B是一个鳖臑，其四个面的直 角分别为 ， ， ， . （） 231124,33DBFPCEFPBPSPA， 1429FBEDFCBDFVV20 （本小题满分 12 分）已知函数 2()1)32lnfxaxax（ ， R （1 ）讨论函数
21、 f(x)的单调性；（2）若 1x， ()0f，求 a的值。解：(1)由已知得， x0 且2()()21) 2xxafx（当 a时，, f(x)在 ,1是减函数,在 ,是增函数当 0时，,f (x)在 a是减函数,在 0a和 (1,)是增函数当 1时， ,f(x)在 0是增函数当 a时， ,f(x)在 ,是减函数,在 ,和 (,)是增函数（2 ）由（1 ）知，当 时, f(x)在 1,是增函数则 ()12,0,1fxaa, 故 当 a时，f (x)在 a是减函数,在 ,a是增函数则 0x时， ()20fxfa，矛盾。综上， 1BADFEP21 （本小题满分 12 分）如图，已知点 D（0，2）
22、 ，过点 D 作抛物线 1C： 2(1,4)xpy的切线 l切点 A 在第二象限。 （1）求切点 A 的纵坐标；（2）若离心率为 32的椭圆 20ab恰好经过A 点，设切线 l交椭圆的另一点为 B，若设切线 l,直线 OA，OB 的斜率分别为 K, 12k,试用斜率 K表示12k， 当 12k取得最大值时求此时椭圆的方程。21、解：（1）设切点 A 0(,)xy，依题意则有0|xpy解得 0，即 A 点的纵坐标为2， （2）依题意可设椭圆的方程为 1()yab， )(21yxB直线 AB方程为： 2kxp；由 3e得214xyb由（1）可得 A(,)，将 A 代入可得 4bp，故椭圆的方程可简
23、化为221464xyp；5 分联立直线 AB 与椭圆的方程：221464ykxpk消去 Y 得：，则1212123yxkxk10 分又2(1,4)kp,k 2，1 ；即 312,2,1k12 分(3)由 32,k可知 ()f上为单调递增函数，故当 k=-1 时，1取到最大值，此时 P 4，故椭圆的方程为238xy14 分请 考 生 在 第 22， 23 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程xyODA2pyB在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为 2cos,inxy（
24、为参数） 以 O为极点， x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系 （）写出 1C的极坐标方程；（ ）设曲线2:14Cy经伸缩变换1,2xy后得到曲线 3，射线 （ 0）分别与 1和 3交于 A,B两点，求 |A【解析】 （）将 2cos,inxy消去参数 ，化为普通方程为 2()4xy，即 21:40Cx，2 分，将 cos,inxy代入 21:40Cy，得 2cos，4 分。所以的极坐标方程为 cos5 分（）将 ,y代入 2C得 21x，所以 3的方程为 21xy7 分3C的极坐标方程为 1， |OB又 |4cosA，所以 |1ABO10分23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知不等式 |3|2x的解集为 |xm （）求 的值；（）设关于 x的方程1|xtmt（ 0t）有解，求实数 t的值【分析】本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等【解析】 （）由 |3|21x得， 3,()21,x或 3,21x2 分解得 2x依题意 m 5 分（）因为 ttxttt，当且仅当 0xt时取等号，7 分。因为关于 x的方程 1|2t（ 0）有实数根，所以 12t 8 分另一方面， 12t，所以 ，9 分，所以 t或 10 分
