1、2017 届江西省“北阳四校”高三开学摸底考试数学（文科）试题一、选择题1设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,所以 ,选 D.2设向量 ， 满足 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,所以3已知 是虚数单位，若复数 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 的值可以是（ ）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】试题分析： ，对应点在第四象限，故，A 选项正确.【考点】复数运算4将 4 个不相同的小球放入编号 1、2、3 的 3 个盒子中，当某个盒子中球的个数等于该盒子的编号时称为一个“和谐盒” ，则恰有有两个“和谐盒”的概率为
2、（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】恰有有两个“和谐盒”的事件数为 所以概率为 ,选 D.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5已知 ， 为抛物线 上异于原点的两个点， 为坐标原点，直线 斜率为 2，则 重心的纵坐标为（ ）A. 2 B. C. D. 1【答案】C【解析】试题分析：设 ，则 ，因此 重心的纵
3、坐标为 ，选 C.【考点】直线与抛物线位置关系6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的组合体，其体积，故选 A.【考点】1.三视图；2.多面体的体积.7 “ ， ， ， 成等差数列” 是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 ， ， ， 成等差数列 ,而 ,但 1,3,3,5 不成等差数列,所以“ ， ， ， 成等差数列”是“ ”的充分不必要条件,选 A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若
4、则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条件2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件8已知函数 （ ）的图象与 的图象的两相邻交点间的距离为 ，要得到 的图象，只需把 的图象（ ）A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度【答案】A【解析】由题意得 ,所以 向左平移个单位长度得 ,选 A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先
5、伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言. 函数 是奇函数 ；函数 是偶函数 ；函数 是奇函数 ；函数是偶函数 .9执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. 5 B. 7 C. 9 D. 11【答案】C【解析】循环依次为 结束循环,输出 选 C.10函数 的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,当 时 ;当时 ;因此选 D.11已知底面边长为 ，各侧面均为直角三角形的正三棱锥 的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为 1,补成一个正方体
6、(棱长为 1),正方体外接球为正三棱锥 外接球,所以球的直径为 , 表面积为 ,选 A.12已知函数 ，直线 与函数 的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为 ， ， ， ，下列说法错误的是（ ）A. B. C. D. 若关于 的方程 恰有三个不同实根，则 取值唯一【答案】D【解析】作图,由图知 , 且，因为 ，所以 ，若关于 的方程 恰有三个不同实根，则 或，所以选 D.点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.二
7、、填空题13已知数列 满足 （ ）且 ，则 _【答案】2012 【解析】试题分析：由题意可知 是以 为首项，2 为公比的等比数列， 【考点】等差数列、等比数列通项公式的求法14函数 （ ）在 处有极值，则曲线 在原点处的切线方程是_【答案】【解析】 15若 ， 满足约束条件 则当 取最小值时， 的值为_【答案】1【解析】可行域如图，所以当 时， 取最小值时，即 的值为 1点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围
8、.16如图，已知点 在以 ， 为焦点的双曲线 （ ， ）上，过 作 轴的垂线，垂足为 ，若四边形 为菱形，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】由题意得 ，所以三、解答题17在 中， ， ， .（1）求 的长；（2）求 的值.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）已知两角及一对边求另一对边，应用正弦定理求解：先利用同角三角函数关系求 ，再根据正弦定理求 的长；（2）先根据三角形内角关系及两角和余弦公式求 ，再利用同角三角函数关系求 A，最后根据两角差余弦公式求的值.试题解析：解：（1）因为 ， ，所以 .由正弦定理知 ，所以 .（2）在 中， ，所以 ，于是 ，又 ， ，故 .因为
9、，所以 .因此，.18如图，将菱形 沿对角线 折叠，分别过 ， 作 所在平面的垂线 ， ，垂足分别为 ， ，四边形 为菱形，且 .（1）求证： 平面 ；（2）若 ，求该几何体的体积.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先根据线线平行得线面平行 平面 ， 平面 .,再根据线面平行得面面平行:平面 平面 ，最后根据面面平行得线面平行: 平面 .（2）先找垂面 平面 ，再分割: ，最后根据锥体体积公式求体积试题解析：解：（1）由题意知 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 . ， ， 平面 ，平面 平面 ，又 平面 ， 平面 .（2）连接 ， ，且 ，四边
10、形 为菱形， ，又 平面 ， ，又 ， 平面 ，又 ， ， ， ， ， ，该几何体的体积为 .19随着国民生活水平的提高，利用长假旅游的人越来越多.某公司统计了 2012 到2016 年五年间本公司职员每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如下表所示：（）从这 5 年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭数至少有 1 年多于 20 个的概率；（）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程，判断它们之间是正相关还是负相关；并根据所求出的直线方程估计该公司2019 年春节期间外出旅游的家庭数.参考公式： ，【答案】 （1） （2）正相关，回归直线的方程为 ,估计值为 42【解
11、析】试题分析：（1）利用枚举法确定从这 5 年中任意抽取两年，所有的事件个数:10;再从中确定至少有 1 年多于 20 个的事件数:7,最后根据古典概型概率公式求概率,（2）先计算平均数 ， ，再代入公式求 ,根据 值的正负确定正相关还是负相关；利用 求 ,最后求自变量为 2019 时对应函数值试题解析：解：（）从这 5 年中任意抽取两年，所有的事件有：， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 种，至少有 1 年多于 20 人的事件有：， ， ， ， ， ，共 7 种，则至少有 1 年多于 20 人的概率为 .（）由已知数据得 ， ，；所以 ，所以是正相关，回归直线的方程为则第 2019 年的
12、估计值为20如图，在 中， 是其垂心， 的延长线与边 和 的外接圆 分别交于点 、，且 .（1）求 的大小；（2）证明： .【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）根据垂心的定义可得 ,再根据 可得,因此 .（2）先根据三角形相似得 ,再根据等角对等边得 ,即得结论试题解析：解：（1）在 中， 是其垂心，CE 交 AB 于 H,有 ，又 ，所以 ，故 .（2）由（1）知 ，则 ，即 ，连接 ，则，所以 ，可知 ，从而有 .21已知函数 （ ）在 处取得极值 .（1）求 、 满足的关系式；（2）解关于 的不等式 .【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得 ,求导代入即得 、 满足的关系式；（2）化简不等式得 ，即解 ，根据 a 与零的大小分类讨论.试题解析：解：（1） ，又由题意得 ，即 、 满足的关系式是 .（2）由 得 ，即 ， ，当 时，不等式的解集为 ，当 时，不等式的解集为 .22如图，已知 是圆 的切线， 为切点， 是圆 的割线，与圆 交于 ， 两点，圆心 在 的内部，点 是 的中点.
