1、2017 届广西省陆川中学高三下学期期中考试数学（理）试题一、选择题1设集合 ，集合 ，则 （ ）|231Axsin|5xByABA. B. C. D. 2,5,52,【答案】D【解析】由题意,得 ， ，|231,Axsin|,55xBy则 ；故选 D.2,5B2复数 在眏射 下的象为 ，则 的原象为（ ）zf2iz12iA. B. C. D. ii43i【答案】A【解析】令 ，则 ；故选 A.2i1izi(i)i22z3已知向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）ab/abA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 “若向量 同向，则 ”为
2、真命题， “若向量 反向，则ababab”为假命题，则“ ”是“ ”的必要不充分条件；ab/ab故选 B.4甲、乙、丙.丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点.丁车最后到达终点.若甲、乙两车的 图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象st所在区域，判断正确的是（ ）A. 丙在 区域，丁在区域 B. 丙在区城，丁在区域C. 丙在区域，丁在区域 D. 丙在区域，丁在区域【答案】A【解析】由图象，可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在区域，丁在区域；故选 A.5若 ，且 为第二象限角，则 的值等于（ ）5sin13tanA. B. C. D. 2251【答案】D
3、【解析】因为 ，且 为第二象限角，所以 ，则5sin13 21cossin3；故选 D.taco26已知定义在 上的函数 ，记R2xf，则 的大小关系为（ ）0.5lg,log0.5,.fbcf,abcA. B. C. D. aca【答案】D【解析】由题意，得 为偶函数，且在 上单调递增，而2,0xfx0,， ， ，0.52loglog.aff2log.51bfff0.5cf因为 ，所以 ；故选 D.21.ac7执行如图的程序框图，那么输出 的值是（ ）SA. B. C. D. 121【答案】C【解析】由程序框图，可得；故选 C.1,0;,20;2,01311SkSkSk8在 中，内角 的对边
4、分别为 ，若 ，则ABC, ,abc2,6,bA（ ）A. 或 B. C. D. 461246【答案】C【解析】由正弦定理，得 ，解得 ，又因为 ，所以3siniB2si23A；故选 C.4B9某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）A. B. C. D. 24242020【答案】A【解析】由三视图，可得该几何体是由一个正方体（棱长为 2）和一个半球（半径为1）组合而成，其表面积为 ；故选 A.(6)4S10如图，在三棱锥 中， DABC，若该三棱锥的四个顶点均在同一球,2,3ACB面上，则该球的体积为（ ）A. B. C. D. 324243【答案】D【解析】在三棱锥 中，因
5、为 ，ABC1,2,3BCDABD所以 ，则该几何体的外接球即为以 为棱,ACD,C长的长方体的外接球，则 ，其体积为 ；故选 D.21+=2R43V点睛：在处理几何体的外接球问题，往往将所给几何体与正方体或长方体进行联系，常用补体法补成正方体或长方体进行处理，也是处理本题的技巧所在.11已知点 是以 为焦点的椭圆 上一点，若P12,F21(0,)xyab，则椭圆的离心率是（ ）12120,tan3PFPFA. B. C. D. 64042【答案】C【解析】因为 ，所以 为直角三角形，且1212,tan3PFPF 12PF， ，则 ， 12|,|x124aPFx，则该椭圆的离心率为 ；故选 C
6、.21|10cx04ce点睛：在处理椭圆或双曲线中过两焦点的三角形问题，一般思路是将椭圆或双曲线的定义和解三角形（勾股定理、正弦定理、余弦定理、面积公式）结合在一起进行求解.12若自然数 使得作竖式加法 均不产生进位现象，则称 为n12nn“开心数”.例如： 是“开心数”.因 不产生进位现象； 不是“开323423心数”.因 产生进位现象，那么，小于 的“开心数”的个数为（ 450）A. B. C. D. 9101【答案】D【解析】由题意，得小于 的“开心数”的个位数字为 0,1,2,十位数字为00,1,2,3，所以小于 100 的“开心数”的个数为 ；故选 D.3412点睛：解决本题的关键在
7、于正确理解“开心数”的意义，确定“开心数”的个位数字和十位数字的限制条件.二、填空题13已知变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值是,xy130xy2zxy_【答案】 1【解析】将 化为 ，作出可行域和目标函数基准直线 ，2zxy2xz2yx当直线 向右上方平移时，直线 在 轴上的截距 增大，由图y2yxzyz象，得当直线 过点 时， 取得最小值 .xz0,1C3614已知 ，在函数 与 的图象的交点中，相邻两个交点的0sinyxcosyx横坐标之差的绝对值为 ，则 _2【答案】 【解析】令 ，则 ，由题意，得 的两个相邻解相差sincosxtan1xtan1x2，则 ，解得 .215已知
8、函数 ，如果 成立，3si,2,f20ff则实数 的取值范围为_a【答案】 0,2【解析】因为 在 上恒成32sin,32cos0fxxfxx 2,立，所以函数 为奇函数，且在 上单调递增，则,可化为 ，则10fafa11fafaf，解得 .223216设圆 满足：(1)截 轴所得弦长为 ；（2）被 轴分成两段圆弧，其弧长的比Cyx为 ，在满足条件（1） 、 （2）的所有圆中，圆心到直线 的距离最小的3: :20ly圆的方程为_【答案】 或221xy221xy【解析】设圆的方程为 ，由题意，得 ，即22abr21arb，圆心 到直线 的距离21ba,b:0lxy2224455abd（当且仅当
9、时取等号） ，此时所求圆的方程为215ba1ab或22xy22xy点睛：在研究直线和圆的位置关系（弦长、圆心角等）问题时，往往结合初中的平面几何知识可起到事半功倍的效果，如本题中将题意等价转化为 .21arb三、解答题17已知 中， 分别是角 的对边，有 .ABC,abc,ABC22ca（1）求角 的大小；（2）若等差数列 中， ，设数列 的前 项和为 ，n152os,9a1nnS求证： .32nS【答案】 （1） （2）见解析A【解析】试题分析：（1）利用余弦定理进行求解；（2）设等差数列 的公差为 ，nad利用 求出公差，进而求出数列的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和，再利用数5a列的单
10、调性求其最值.试题解析：(1) ，又2222 1,cosbcabcaA.0,3A(2)由（1）知 ，设等差数列 的公差为 ， 12cos1aAnad，59,d， 11112,22n naann.显然 为递.35nS 2减数列，故 为递增数列，故 的最小值为 ，故1212nS13S.13nS点睛：裂项抵消法是一种常见的数列求和方法，其主要适用题型为求下列 的前na项和： ， ， n11nan1nkank， .212na nk18某特色餐馆开通了美团外卖服务，在一周内的某特色外卖份数 （份）与收入x（元）之间有如下的对应数据：y外卖份数 （份）x4 568收入 （元） 30070（1）画出散点图；
11、（2）求回归直线方程；（3）据此估计外卖份数为 份时，收入为多少元.12注：参考公式： , ； 1221()nni iiii iixyxybaybx参考数据： .55521114,30,380iii【答案】 （1）见解析（2） （3）外卖份数为 份时，收入大约为6.7.x12元.9【解析】试题分析：（1）根据题中所给数据作出散点图即可；（2）利用最小二乘法进行求解；（3）利用（2）的回归方程进行预测.试题解析：(1)作出散点图如图所示：(2) ，已知1124568,30465075xy，由公式 , 552114,30ii y11222 ()nni iiii iixyxyba，可求得 ， ，因此
12、回归直线方程为 .ybx6.a7.56.57（3） 时， ，即外卖份数为 份时，收入大约为12xy126.57.9.5x12元.9519如图，三棱柱 中， 平面 分别为 和1ABCBC1,ADM1C的中点， 是边长为 的正三角形， .1AB2（1）证明： 平面 ；/MDABC（2）求二面角 的余弦值.1【答案】 （1）见解析（2） 4【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，利用平行四边形得到线线平行，进而利H用线面平行的判定定理进行证明；（2）利用图中的垂直关系建立合适的空间直角坐标系，利用平面的法向量和夹角公式进行求解.试题解析：(1)取 的中点 ，连接 分别为 和 的中点， AB,.,MCD
13、1CAB，则四边形 是平11/,/2HMDMH行四边形，则 平面 平面 平面 ./,CDH,AB,/(2)取 中点 为等边三角形， ，又 平面1B1,EAB1AEBC平面 ，建立以 为坐标原点， 分,/A1 ,ED别为 轴的空间直角坐标系如图：xyz则 ，则设平面 的法10,1,0,12,30,3,0EBCAABC向量为 ， ，则 ，即,nxyz ,BC0n，令 ，则 ，即 ，平面 的法向量30xyz13,0xz3,10n1AC为 ， ，则 ，得,m1,2,ACA10m，即 ，令 ，则 ，即 ，302xyz03xzy3,0zx,3则，即二面角2211cos, 4mn的余弦值是 .1ACB420
14、设点 ，动圆 经过点 且和直线 相切，记动圆的圆心 的轨迹0,FAF14yA为曲线 . （1）求曲线 的方程；C（2）设曲线 上一点 的横坐标为 ，过 的直线交 于一点 ，交 轴于点P(0)tPCQx，过点 作 的垂线交 于另一点 ，若 是 的切线，求 的最小值.MQNMt【答案】 （1） （2）xymin3t【解析】试题分析：（1）先利用抛物线的定义判定动点轨迹是一个抛物线，再利用待定系数法求出抛物线的方程；（2）设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系和导数的几何意义进行求解.试题解析：(1)过点 作直线 垂直于直线 于点 ，由题意得 ，AN14y
15、NAFN所以动点 的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线.所以抛物线 得方F C程为 .2xy(2)由题意知，过点 的直线 斜率存在且不为 ，设其为 ，则2,PtQ0k，当 ，则 .联立方程2:PQlytkxt20,tkyx2,tM，整理得： .即 ，解2ttxy20t0ktxt得 或 ， ，而 ，所以直线 斜率为 ，tkt2,QktQNPNQ1k，联立方程 ，21:PQlyktxkt21yktxkty整理得： ，即2210xttk，解得2 10,kxtktkt，或 .xt.222 21111,MNktktktktNkt 而抛物线在点 的切线斜率， ， |ky12ktktx是抛物线的切线，
16、，整理得MN221ttkk，解得 （舍去） ，或222210,410kttt3t.min,321已知函数 .2lfxxa（1）若函数 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；（2）设 是函数 的两个极值点，若 ，求 的极12,()xfx72a12fxf大值.【答案】 （1） （2）3a15ln8【解析】试题分析：（1）求导，将问题转化为 在 上有解，再分离0fx,参数，利用基本不等式求其最值，进而确定参数的取值范围；（2）先作差合理构造函数，再利用导数研究函数的单调性和最值.试题解析：(1) ,由22 111ln, 0xafxxafxax题意知 在 上有解，即 有解， 0f,0，当且仅当 时等号成立，要使 有解，只需要1,2x1x1xa
