1、2017 届山西省怀仁县第一中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题1已知集合 ，则满足 的集合 的个数是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 8【答案】C【解析】由题意得 ,因此集合 的个数是 个,选 C.2如果复数 ，则（ ）A. 的共轭复数为 B. 的实部为 1 C. D. 的虚部为【答案】D【解析】,因此 的共轭复数为 ,实部为 ,虚部为 ,模为 ,选 D.点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为3已知向量 的夹角为 ， ，若 ，则 为（ ）A. 等腰三角形 B. 等边三
2、角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】,所以三角形为直角三角形,选 C.4已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，以 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 ，则此双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由条件得： ，即 ，而 ，渐近线为， 在 上，所以 ，得 ，所以双曲线方程为 .【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.5某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 2 的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为 ，倒四棱锥顶
3、点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是 ，选 A.6已知函数 在 处取得最大值，则函数 是（ ）A. 偶函数且它的图象关于点 对称 B. 偶函数且它的图象关于点 对称C. 奇函数且它的图象关于点 对称 D. 奇函数且它的图象关于点 对称【答案】B【解析】由题意得 周期为 ,对称轴为 ,对称中心为 ;则周期为 ,对称轴为 ,对称中心为,因此 为 一条对称轴,即 为偶函数; 其一个对称中心为 选 B.点睛：三角函数对称性与函数对称性有机的结合是本题最大亮点，考生必须明确：相似知识点是命题的切入点，也就是易考点7已知点 是圆 内的一点，则该圆上的点到直线 的最大距离和最小距离之和为（ ）A.
4、 B. C. D. 不确定【答案】B【解析】由题意得 ,所以圆心到直线 距离为 ,因此该圆上的点到直线 的最大距离和最小距离之和为,选 B.点睛：与圆有关的距离的最值问题，一般根据距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解8已知数列 的前 项和 ，正项等比数列 中， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：法一：因为 ，所以 ， ，验证可知 均不符合，故答案为 .法二：因为 ，所以 ，又 ，即 ， 所以数列 的通项公式是 ，所以故选 【考点】1.等比数列的通项公式；2.对数的计算.9下列五个命题中正确命题的个数是（ ）（1）对于命题 ，使得 ，则 ，均有 ；（2） 是
5、直线 与直线 互相垂直的充要条件；（3）已知回归直线的斜率的估计值为 ，样本点的中心为 ，则回归直线方程为 ；（4）已知正态总体落在区间 的概率是 ，则相应的正态曲线 在时，达到最高点；（5）曲线 与 所围成的图形的面积是 .A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】（1）命题 ，使得 所以， ，均有 ；（2）直线 与直线 互相垂直的充要条件为; （3）由题意得满足回归直线的斜率的估计值为 ，样本点的中心为 的回归直线方程为 ; （4）由于正态总体落在区间 的概率是 ,所以相应的正态曲线 在 时，达到最高点; （5）解出两曲线 交点 ,因此所围成的图形的面积是 命题正确的有（3）
6、 （4） （5）这三个,选 B.10某企业拟生产甲、乙两产品，已知每件甲产品的利润为 3 万元，每件乙产品的利润为 2 万元，且甲、乙两种产品都需要在 、 两种设备上加工，在每台设备 、每台设备 上加工 1 件甲产品所需工时分别为 1h 和 2h，加工 1 件乙产品所需工时分别为 2h和 1h， 设备每天使用时间不超过 4h， 设备每天使用时间不超过 5h，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是（ ）A. 18 万元 B. 12 万元 C. 10 万元 D. 8 万元【答案】D【解析】设一天内生产甲、乙两产品各 件,则由题意得可行域为 ,一天内利润为,因为 ,当且仅当 时取等号,所
7、以选 D.11数列 满足 ， ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，所以数列 成等差数列，公差为，因此 ，选 B.点睛：证明 为等差数列的方法：(1)用定义证明： 为常数） ；(2)用等差中项证明： ；(3)通项法： 为 的一次函数；(4)前 项和法： 12已知 ，设 ，若 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 ,所以 ,选 C.二、填空题13 为抛物线 上任意一点， 在 轴上的射影为 ，点 ，则 与 长度之和的最小值为_【答案】【解析】设 为抛物线焦点,则 ,所以 点睛：抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化，是抛
8、物线中化曲为直求最值的一个常见有用的方法.14如图是某算法的程序框图，若任意输入 中的实数 ，则输出的 大于 49 的概率为_【答案】【解析】由循环结构流程图知输出 ,又 ,因此所求概率为. 15已知 的展开式中的常数项为 ， 是以 为周期的偶函数，且当时， ，若在区间 内，函数 有 4 个零点，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】由题意得 ，所以 ,由题意得直线 与曲线 有四个交点，因为直线 过定点 ，且过点 时 ，由图:知实数 的取值范围是为 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，一般转化为两熟悉的函数图象，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围16二次函数 与 在它们的一个交点
9、处切线互相垂直，则 的最小值为_【答案】【解析】设该交点为 ，则 ，化简得，即 ，因此，当且仅当 时取等号，即所求最小值为 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题17 的三个内角 依次成等差数列.（1）若 ，试判断 的形状；（2）若 为钝角三角形，且 ，试求 的取值范围.【答案】 （1）正三角形；（2） .【解析】试题分析：（1）由正弦定理将角的关系转化为边的关系： ，再根据三角形内角和为 及三个内角 依次成等差
10、数列得 ，再利用余弦定理转化边的关系： ， 得三角形形状（2）先利用二倍角公式及配角公式化简式子为 ，再根据大边对大角得 为钝角，因此可确定自变量范围： ，最后结合正弦函数性质求取值范围.试题解析：（1） ， ， 依次成等差数列， ， ，由余弦定理得 ， ， ， 为正三角形.（2） ， ， ， .代数式 的取值范围是 .点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施
11、边角之间的互化.第三步：求结果.18一个口袋中装有大小形状完全相同的 个乒乓球，其中 1 个乒乓球上标有数字1，2 个乒乓球上标有数字 2，其余 个乒乓球上均标有数字 3 ，若从这个口袋中随机地摸出 2 个乒乓球，恰有一个乒乓球上标有数字 2 的概率是 .（1）求 的值；（2）从口袋中随机地摸出 2 个乒乓球，设 表示所摸到的 2 个乒乓球上所标数字之和，求 的分布列和数学期望 .【答案】 （1） ；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）由排列组合知从这个口袋中随机地摸出 2 个乒乓球共有种基本事件，其中恰有一个乒乓球上标有数字 2 的基本事件有 种，因此，根据组合数公式解得 .（2）先确定
12、随机变量取法： 取值为2， 3，4，6，9. 再分别求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1）由题设 ，即 ，解得 .（2 ） 取值为 2，3，4，6，9.则 ， ， ， ，.的分布列为：2 3 4 6 9.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写
13、出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式( )求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19三棱柱 中，侧棱与底面垂直， ， ， 分别是 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求证： 平面 ；（3）求二面角 的余弦值.【答案】 （1）详见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证往往需要利用平几知识，如本题就利用三角形中位线定理得 （2）利用空间向量证明线面垂直，实际就是以算代证，即先求平面的一个法向量，再利用 与法向量关系关系求证（3）求二面角的大小，一般利用空间向量的数量积求解，先建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面的法向量，利用向量数量积求法向量的夹角余弦值，最后根据二面角与法向量夹角之间关系求值.试题解析：（1）连接 ， ，在 中， 是 中点， ，又 平面 ，
