1、2017 届山东省菏泽市高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题1若集合 ，集合 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ，所以 ，选 C.2若 ，则复数 在复平面上对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】因为 ，所以复数 在复平面上对应的点在第四象限，选 D.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为3已知 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案
2、】A【解析】由 平方得 ，选 A.4 的值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】 ，选 D.5已知 是两个不同平面，直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 , ; , 时， 位置关系不确定，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，选 A.6设 都是正数，则 三个数（ ）A. 都大于 4 B. 都小于 4 C. 至少有一个大于 4 D. 至少有一个不小于 4【答案】D【解析】因为 ，所以若三个数都小于 4 ，则三个数和小于 12，因此三个数至少有一个不小于 4，选 D.7已知圆 方程 ，圆
3、与直线 相交于 两点，且（ 为坐标原点） ，则实数 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ，所以 ，因此弦 AB 中垂线方程为 ，与 联立，解得弦 AB 中点 .因为 ，所以,从而由垂径定理得 ，选 C.8某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥，高为 4，底面为一个四边形（形如俯视图） ，底面积为，面积最小的面的面积为 ，因此面积最小的面与底面的面积之比为 ，选 C.9设实数 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）A. B. C. 0 D. 1【答案】A【解析】可行域为
4、一个三角形 ABC 及其内部，其中 ，所以.因此 （当且仅当 时取等号） ，选 A.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.10若函数 的图象上存在两个点 关于原点对称，则称点对 为 的“友情点对” ，点对 与 可看作同一个“友情点对” ，若函数恰好由两个“友情点对” ，则实数 的值为（ ）A. B. 2 C. 1 D. 0【答案】B【解析】由题意得 在 有且仅有两个解，令 ，则 或 ，由于 ,所以 ，选 B
5、.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等二、填空题11已知向量 ， ，若 ，则实数 _【答案】2【解析】由题意得12等差数列 的前 项和为 ，且 ，则公差 _【答案】2【解析】由题意得13执行如图的程序框图，则输出的 _【答案】4【解析】第一次循环， ；第二次循环， ；第三次循环，；结束循环，输出 .点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环
6、结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.14若函数 能够在某个长度为 1 的闭区间上至少两次获得最大值 1，且在区间上为增函数，则正整数 的值为_ 【答案】7【解析】由题意得： ，又由在区间 上为增函数得，所以正整数 的值为15已知 为原点，双曲线 上有一点 ，过 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为 ，平行四边形 的面积为 1，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】设 ，则 ，渐近线方程为 ，点 P 到直线 距离为，由 及 得 ，所以平行四边形 OBPA面积为 离心率为三、解答题16已知定义在 上的偶函
7、数 ，当 时， .（1）求 的解析式；（2）若 ，求实数 的值.【答案】 （1） ;（2） .【解析】试题分析: （1）根据偶函数性质，将所求区间上的点转化到已知区间：设，则 ， ；（2）根据 的正负，分别代入对应解析式进行求解.试题解析:（1）设 ，则 ， ，又 为偶函数， ， ，故 .（2）当 时， ；当 时， .故 .点睛：(1) 已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于 的方程，从而可得 的值或解析式；(2) 已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)
8、，进而得出参数的值.17在锐角 中， 是角 的对边， .（1）求角 的度数；（2）若 ，且 的面积是 ，求 .【答案】 （1） ;（2） .【解析】试题分析: （1）根据三角形内角关系及诱导公式将 B 转化 ，再根据两角和与差余弦公式展开化简,合并，约分得 ，最后根据三角形内角范围及特殊角对应函数值得角 的度数；（2）先选用面积公式： ，得，再根据余弦定理得 ，最后根据 求 的值.试题解析:（1）在 中， ，那么由 ，可得，得 ，则在锐角中， （2）由（1）知 ，且 ，得 ，由余弦定理得，那么 ，则，可得 .点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化
9、边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18如图，在三棱柱 中， 底面 ， ， 是棱 上一点.（1）求证： ；（2）若 ，求二面角 的大小.【答案】 （1）见解析;（2） .【解析】试题分析: （1）先根据计算，利用勾股定理得 ，再利用线面垂直性质定理得线线垂直： ，最后根据线面垂直判定定理得 平面 ，再一次利用线面垂直性质定理得线线垂直，即 .（2）利用空间向量数量积求二面角大小是一个有效简洁的方法，先确定空间
10、直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角大小.试题解析:（1）三棱柱 中， 平面 ， . ， ，即 .又 ， 平面， 平面 ， .（2）以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系 .因为 ，所以 ， .设平面 的一个法向量 ，则 ，即 ，令 ，则 ，即 ，又平面 的一个法向量 ，由图可知二面角 为锐角，二面角 的大小为 .19对于数列 ， ， 为数列 是前 项和，且 ， . （1）求数列 ， 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ， ;（2） 【解析】试题分析: （1）先根据和项与通项关系，
11、将条件转化为项之间递推关系：，再根据叠加法求数列 的通项公式；而求 通项公式，需变形构造一个等比数列 ，这是由于 可变形得 ，然后通过求等比数列通项公式，转化求 通项公式， （2）由于 ，所以利用错位相减法求和，求和时注意错位相减，减式中项的符号变化，合并时项数的确定，最后结果要除以 试题解析:（1） ）因为 ，所以 ，所以，所以数列 的通项公式为 ，由 ，可得 ，所以数列 是首项为 ，公比为 3 的等比数列，所以 ，所以数列 的通项公式为 （2 ）由（1 ）可得 ，所以 ， 得 ，所以 20已知椭圆 : 的离心率为 ，且与 轴的正半轴的交点为，抛物线 的顶点在原点且焦点为椭圆 的左焦点.（1
12、）求椭圆 与抛物线 的标准方程；（2）过 的两条相互垂直直线与抛物线 有四个交点，求这四个点围成四边形的面积的最小值.【答案】 （1） , ;（2）当两直线的斜率分别为 和 时，四边形的面积最小，最小值为 96.【解析】试题分析: （1）由椭圆几何意义得 ，再根据离心率可得 由椭圆的左焦点坐标可得 的值，进而可得抛物线方程， （2）因为四边形的面积，所以实质为求弦长，利用直线方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理及弦长公式可得.求面积最值时，注意整体考虑，利用换元转化为一元二次函数 ，最后根据对称轴与定义区间位置关系求最小值.试题解析:（1）设半焦距为 ，由题意得 ， ，椭圆 的标准方程为 .设抛物线 的标准方程为 ，则 ， ，抛物线 的标准方程为 .（2）由题意易得两条直线的斜率存在且不为 0，设其中一条直线 的斜率为 ，直线方程为 ，则另一条直线 的方程为 ，联立 得， ，设直线 与抛物线 的交点为 ，则，同理设直线 与抛物线 的交点为 ，则，四边形的面积，令 ，则（当且仅当 时等号成立） ， .当两直线的斜率分别为 和 时，四边形的面积最小，最小值为 96.21已知函数 ，其中 为常数.（1）讨论函数 的单调性； （2）若 存在两个极值点 ，求证：无论实数 取什么值都有.【答案】 （1）当 时， 在区间 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在
