1、2017 届山东寿光现代中学高三 12 月月考数学（理）试题一、选择题1 为虚数单位，复平面内表示复数 的点在（ ）i 2izA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】C【解析】试题分析：因 ,故应选 Ciiz51)(【考点】复数的运算及几何意义2已知集合 ， ，则 （ ）21Mx3xNMNA B 0C D1xx【答案】B【解析】试题分析：因 ,0|,1|xNM故 故应选 B|0Nx【考点】不等式的解法与集合的交集运算3若 （ ，且 ） ，则函数 的图象大致是（ ）log2a1alog1afx【答案】B【解析】试题分析：由 可得 ,故 是 上的单log20a1alog1afx),(
2、调递减函数故应选 B【考点】对数不等式的解法与对数函数的单调性及图象4已知等比数列 的公比为正数，且 ， ，则 （ ）na2574a1a1A B2 2C D1【答案】D【解析】试题分析：由等比数列的通项的性质可得 ,则 ,故 ,即246aq2,故 故应选 D2q1a【考点】等比数列的通项及性质的灵活运用5已知变量 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） xy， 1yx32zxyA4 B 5C D523【答案】A【解析】试题分析：画出不等式组表示的区域如图,因 ,故 ,32zxy23zx结合图形可知当动直线 经过点 时,在 轴上的截距最大,其最大23zxy)1(A值为 ,故应选 A4123maxz
3、A(2,-1)y=xy=-1x+y-1=0Oyy=-32x+z2【考点】线性规划的知识及运用【易错点晴】本题考查的是线性约束条件的与数形结合的数学思想的综合运用问题,解答时先准确的画出直不等式组 表示的区域,再搞清 的几何意义,1yx 23zxy将问题转化为求动直线 在 轴上的截距 的最大值的问题 结合图象23zxyy2z可以看出当动直线 经过点 时, 目标函数 取得最大值)1(A32zxy为 ,使得问题获解4123maxz6过点 且与曲线 在点 处的切线垂直的直线的方程为（ ）0 1， 1xy32，A B 2xy20C D0xy【答案】B【解析】试题分析：因 ,故切线的斜率 ,故所22/ )
4、1()1(xx 21k求直线的斜率 ,方程为 ,即 故应选 B2k0y0y【考点】导数的几何意义及直线与直线的位置关系的综合运用7下图给出的是计算 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入11462的条件是（ ）A B 10i10iC D【答案】B【解析】试题分析：因 ,故从24620 102312算法流程图所提供的运算程序可得 ,应选 B1i【考点】算法流程图的识读及理解8关于直线 与平面 ，有以下四个命题：若 ，则 mn， ， mn ， 且 ；n若 ，则 ；若 ，则 ； ， 且 mn n， 且 若 ，则 ， 且其中真命题有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】B【解析】试题分析
5、：容易判定答案是错误的,答案是正确的,故应选 B【考点】空间直线与平面的位置关系及运用9抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点的连线交 于21:0yxp2:13xCy1C第一象限的点 ，若 在点 处的切线平行于 的一条渐近线，则 （ ）M1C2CpA B 3836C D42【答案】C【解析】试题分析：设抛物线的焦点 与双曲线的右焦点 及点 的坐标分别为F2FM,故由题设可得在切点 处的斜率为 ,则)(),02,(0yxMFp 01xp,即 ,故 ,依据 共310xpp0 )613(p),(),2,0(0yF线可得 ,所以 ,故应选 C144【考点】抛物线及双曲线的几何性质等知识的综合运用【易错点晴】
6、本题是一道考查双曲线与抛物线的位置关系的综合问题解答本题时,直接依据题设条件运用双曲线和抛物线的几何性质,求得抛物线与双曲线的焦点坐标分别为的 ,进而借助 在点 处的切线平行于 的一条渐近)(),02,(0yxMFp1CM2C线建立方程求得 ,从而确定 ;再依据三点p30)6,3(p共线,求出 ,使得问题获解)(),2,0(0yxFp410已知函数 ，则关于 的方程 有 5个不1 0fx， x20fxbfc同实数解的充要条件是（ ）A 且 B 且 2bc2b0cC 且 D 且【答案】C【解析】试题分析：因当 时, ,故当 时,0x2|1|)(xxf 0c或 ,由题设可知当 ,即 时,关于 的方
7、程0)(xfbf)( 2b有 个不同实数解故应选 C2bc5【考点】函数的图象、方程的根的个数、基本不等式等知识的综合运用【易错点晴】函数方程思想是高中数学中重要的数学思想和常用的数学思想之一,本题以分段函数 为背景,设置了含 的方程1 0xf， )(xf有 个不同实数解的充要条件的综合问题考查是借助基本初等20fxbfc5函数的图象和所学知识去分析问题和解决问题的能力求解时要充分借助题设条件与题设信息,运用函数方程思想与化归转化的数学思想,先运用基本不等式求得,继而分析探求,使得问题获解2|1|)(xxf二、填空题11若不等式 的解集为 ，则实数 42kx13xk【答案】【解析】试题分析：由
8、题设可得 或 ,解之得 故应填答案2|4|k2|4| 22【考点】绝对值不等式的解法及二次不等式的解法及运用12三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为 【答案】 14【解析】试题分析：由题设运用插空法可得 故应填答案 143A14【考点】排列组合数公式及运用13过点 作圆 的弦，其中最短的弦长为 3 1， 224xy【答案】 2【解析】试题分析：由题设可知点 在圆 内,故当 时,弦长最短,由于)1,3(PCPl,弦长 故应填答案 1PC242L2【考点】直线与圆的位置关系及综合运用14如图，在平行四边形 中， 和 分别在边 和 上，且ABCDEFDB，若 ，其
9、中 ，则 3 3DEF， mnA mnR， n【答案】 32【解析】试题分析：由题设可得 ,ABDCADEA313113AFB,又 ,故13DCmEnF1()3ABDmnAB,而 ,故 故应填答案1()3mn)(21C2313n2【考点】向量的几何运算及待定系数法的综合运用【易错点晴】本题以平行四边形中的线段满足的向量等量关系为背景,考查的是向量的几何运算及平行四边形的有关知识的灵活运用的综合问题求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用先将题设条件 ,求出 ,3 3DCEBF， ABDE31,再借助 建立方程组 ,ABF31mAn 213nm进而使得问题获解15如图，矩形 内的阴影部分是由曲线
10、 及直线OABCsin0 fx，与 轴围成，向矩形 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概0 xa， xOABC率为 ，则 的值是 316【答案】 23【解析】试题分析：由题设可得阴影部分的面积为 ,矩daxdSa1cossin0形的面积为 ,故由几何概型的计算公式可得 ,即8aD6381,则 故应填答案 21cosa323【考点】定积分的计算公式及几何概型计算公式的综合运用【易错点晴】本题以几何概型的概率已知为背景,考查的是已知函数的解析式已知的前提下,求参数 的值问题解答时借助题设条件,合理运用化归转化的数学思想,先运用a定积分的计算公式求得阴影部分的面积 ,再运用几何概型的计算公式建1cos
11、ad立方程 ,通过解三角方程 ,得到 ,使得问题获解1638cos23三、解答题16在 中，内角 的对边分别为 ，已知ABC BC， ， abc， ，cos2cab（）求 的值；ins（）若 ， ，求 的面积 1co4B2ABC S【答案】(I) ；(II) 5【解析】试题分析：(I)借助题设条件运用正弦定理及三角变换公式求解；(II)依据题设运用余弦定理及三角形的面积公式探求试题解析：（I）由正弦定理得 ，2 分2sincaCAbB所以 ，2sinosCAB即 ，coi2incosA化简得 ，4 分sinsiAC 即 6 分i2iC2i（II）由 得 ，由余弦定理得 及 ，sinAca22c
12、osbaB14得 ，从而 8 分b1a又 ， 得 ，所以 12 分cos4B015sin4B15sin2ABCS【考点】正弦定理余弦定理三角变换公式等有关知识的综合运用17已知向量 ， 3si ax， cos bx，（1）当 时，求 的值；b 2coin（2）设函数 ，已知在 中，内角 的对边分别为fxabABC BC， ，若 ， ， ，求 的 abc， ， 326sin34cos20 63fxAx，取值范围 【答案】(1) ；(2) 5821,3【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用向量的平行条件建立方程求解；(2)依据题设运用正弦定理三角变换公式及正弦函数的图象和性质探求试题解析：（1）
13、 ， ， ，2 分ab 3cosin04x3tan4x6 分22 2218cosinit5x（2） ， 3sin4fabx由正弦定理得 可得 ，所以 9 分siniABi2A4， 14co2s64fxx ， 0 3， 2x，所以 12 分114cos26fA【考点】向量的平行条件及正弦定理三角变换公式等有关知识的综合运用18已知矩形 与正三角形 所在的平面互相垂直， 分别为棱BCDE MN，的中点， BEA， 1 2，（1）证明：直线 平面 ；AM NEC（2）求二面角 的余弦值D【答案】(1)证明见解析；(2) 64【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；(2)依据题
14、设建立空间直角坐标系运用向量的数量积公式探求试题解析：（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，ECFMFN则 ，2 分11 22FMBABC ， ， ，所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，4 分AN因为 ， EC平 面 FNE平 面所以直线 平面 ；6 分（2）如图以 为坐标原点建立空间右手直角坐标系，所以 ，0 1 A， ， ， ， ， ，0 1 B， ， 0 1D， ， 0 N， ， 3 0E， ， 1C， ，1 分3 2M， ，（1）取 的中点 ，所以 ，ECF31 2， ，设平面 的一个法向量为 ，因为 ，N nxy， ， 0 1NC， ，3 0E， ，所以 ， ；所以 ，3
15、分1nCy30nNEx0 1 n， ，因为 , ，所以 5 分3 2AM， ， AM A因为 平面 ，所以直线 平面 7 分E NEC（2）设平面 的一个法向量为 ，因为 ，DC1 myz， ， 0 1D， ，3 1 0E， ，所以 ， ；所以 9mz 30Ey1 3 0， ，分，11 分6cos 42n，因为二面角 的大小为锐角，NCED所以二面角 的余弦值为 12 分64【考点】线面平行的判定定理及空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用19在数列 中， ，并且对于任意 ，都有 na1*nN12nna（1）证明数列 为等差数列，并求 的通项公式；1nana（2）设数列 的前 项和为 ，求使
16、得 的最小正整数 1 ， nT102nn【答案】(1)证明见解析， ；(2) 21na9【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用等差数列的定义求解；(2)依据题设运用裂项相消求和法建立不等式分析探求试题解析：（1） ，因为 ，所以 ，1a12nna12na数列 是首项为 1，公差为 2的等差数列，4 分n ，从而 6 分12nana（2）因为 8分11122n n所以 1231nnTaa10 分5221n 由 ，得 ，最小正整数 为 9112 分102nT10n【考点】等差数列的定义及裂项相消求和法等有关知识的综合运用20已知椭圆 的中心在坐标原点，长轴在 轴上， 分别在其左、右焦点，Cx12 F，在椭圆上任意一点，且 的最大值为 1，最小值为 P12FP （1）求椭圆 的方程；（2）设 为椭圆 的右顶点，直线 是与椭圆交于 两点的任意一条直线，若Al MN，证明直线 过定点MNl【答案】(1) ；(2)证明见解析214xy【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用向量的数量积公式建立方程组求解；(2)依据题设运用直线与椭圆的位置关系探求试题解析：（1）设椭圆方程为 ， 为椭圆上任意一点，210xyab0 Pxy，所以 ， ，所以100 FPc， 20 FPxcy，2 分2xy又因为 ，所以21ab
