1、数学（理）试卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ， ， ，则 中元素的个数为（ 1,23A4,5B|,MxabABM）A3 B4 C5 D62.幂函数 经过点 ，则 是（ ）()yfx(3,)()fxA偶函数，且在 上是增函数0,B偶函数，且在 上是减函数()C奇函数，且在 上是减函数,D非奇非偶函数，且在 上是增函数(0)3.已知条件 ，条件 ，则 是 的（ ）:pa2:qapqA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要4.已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则点 的
2、坐标是（ ）1()4xf01PA B C D(1,6,5(,)(5,)5.函数 的定义域为（ ）12)logfxxA B C D(,)(,1(,)26.设命题 函数 在定义域上为减函数，命题 ，当 时， ，以:pyx:,(0)qab1ab3b下说法正确的是（ ）A 为真 B 为真 C 真 假 D 均假qqp,p7.函数 的图象可能是（ ）ln|xy8.已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则 （ R()fx(1)(ffx102()4xf5()f）A B C-1 D229.若 为偶函数，则 的解集为（ ）()xfea1()fxeA B C D2,(,2)0,(,0)(2,)10.函数 的值
3、域为 ，则实数 的取值范围是（ ）ln1yaxRaA B C D0,),)(,)(,1),1)11.设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不(fx,0(fx22()fxfx等式 的解集为（ ） 216)4(2)fA B C D(,0(,18018,)(016,)12.设函数 ， ，若实数 分别是 的零点，则（ )2xfe2()ln5gx,ab(,)fxg）A B C D()0()gafb()0()fa0()gf()0fa二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.命题：“若 ，则 ”的否命题是 .2a14.函数 的单调递增区间是 .12log(43)y
4、x15.函数 的值域是 .16.若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是 .()|xafe0,1a三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. 已知 ， ，若 是 的充分而不必要条件，:2123p22:0()qxmpq求实数 的取值范围.m18. 已知函数 在 上有最小值 1 和最大值 4，设 .2()1(0)gxaxba2,3 ()gxf（1 ）求 的值；,b（2）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围.(2)0xxfk1,k19. 设函数 .2ln4（1 ）求 的极值；()fx（2）若 ，当 时， 在区间 内存在极值，求整数 的
5、值.21()gfx1()gx(,1)nn20.已知函数 .2ae（1 ）若 ，求函数 在 处切线方程；()fx,()f（2）讨论函数 的单调区间.f21. 市场上有一种新型的强力洗衣粉，特点是去污速度快，已知每投放 （ 且 ）个单位a14aR的洗衣粉液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 （克/升）随着时间 （分钟）变化的函数yx关系式近似为 ，其中 ，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓()yafx16,048()5,12xfx度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于 4（克/ 升）时，它才能起有效去污的作用.（1）若只投放一次 4 个单位的洗衣
6、液，则有效去污时间可能达几分钟？（2）若先投放 2 个单位的洗衣液，6 分钟后投放 个单位的洗衣液，要使接下来的 4 分钟中能够持续有a效去污，试求 的最小值（精确到 0.1，参考数据： 取 ）.a21422.已知函数 ， ， （ 为自然对数的底数） ，且曲线()xfeb()ln()gx,bRe与 在坐标原点处的切线相同.yfxg（1）求 的最小值；()（2）若 时， 恒成立，试求实数 的取值范围.0x()fxkk参考答案一、选择题BDAAC DBACA BA二、填空题13. 若 ，则 14. 15. 16. 0a2(2,3)(8,12(8,8)e三、解答题17.（10 分）解不等式 ，得：
7、；13x0x解不等式 ，得： .2210xmm故 ，解得 .(2)134g,0ab（2 ）由（1 ）知， ， ，2()1gx1()2fx 可化为 ，令 ，则 ，()0xfk2()xxkxt21kt ， ，,2t ，所以 的取值范围是 .2max(1)tk(,119.（12 分） （1） ，令 ，解得 （-2 舍去） ，21() ,(0)xf ()0fx1x根据 的变化情况列出表格：,()xf由上表可知函数 的单调增区间为 ，递减区间为 ，在 处取得极大值 ，无极小()fx(0,1)(1,)1x34值.（2 ） ，221()()ln4gfxx，lnlxx令 ， ， ， 恒成立，()2h 1()h
8、x1x()0hx所以 在 为单调递减函数，x1,) ， ， ， .()0(ln0(3)ln(4)ln2所以 在 上有零点 ，且函数 在 和 上单调性相反，hx3,4)xgx0,x因此，当 时， 的区间 内存在极值，所以 .n(g(,1)320.（1） ，故切线斜率 ， ，()xfexR2()1fe()0f所以，切线方程 .221()0ye（2 ）令 ， ，()0fx()xa当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数，,af,(1,)当 时， 在 ， 上为增函数，在 上为减函数1()e()x1)(ln,)a1(,ln)a当 时， 在 上恒为增函数fR当 时， 在 ， 上为增函数，在 上为减函数(,
9、)ae()x,l)(,)(l,1)21.（1）由题意知有效去污满足 ，则 或4y0416()8x10(5)42x得 ，所以有效去污时间可能达 8 分钟.08x（2 ） ， ， ，11(5)2y1(60)x2216()yax2(04)x令 ， ，126,0,4x2122()()8y2() ，若令 ， ，28a28,txt14at又 ，()416.t所以 的最小值为 1.6.22.（12 分） （1）因为 ， ，()xfae 1()()gx依题意， ，且 ，解得 ，(0)fg0,b所以 ，当 时， ；当 时， . 1xe()fx0()0fx故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .()f(,(,当
10、 时， 取得最小值为 0.0x()fx（2）由（1）知， ，即 ，从而 ，即 .01xeln(1)x()0gx设 ，()()ln()Fxfkgxkk则 ， 1()1ex（1 ）当 时，因为 ， （当且仅当 时等号成立）k0x()20F0x此时 在 上单调递增，从而 ，即 .()Fx,)()()fkg（2 ）当 时，由于 ，所以 ，k(gxgxk又由（1）知， ，所以 ，故 ，)0f()()fgx()0F即 .（此步也可以直接证 ）()fxk1k（3 ）当 时，令 ，则 ，1k()(1)xkhe 2()(1)xkhe显然 在 上单调递增，又 ， ，()hx0,0hk 0k所以 在 上存在唯一零点 ， 1)kx当 时， ， 在 上单调递减，0(,)x(x()0,)从而 ，即 ，所以 在 上单调递减，hF(Fx0,)从而当 时， ，即 ，不合题意.0(,)x()x(fkg综上，实数 的取值范围为 . k,1
