1、高 2014 级第五期 10 月阶段性考试数学试题（理）一. 选择题：本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1. 已知全集 UZ，集合 ,6A， 2,016B，那么 BACU)( )A B 34 C D 1,62. 复数 i21( 为虚数单位) 所对应复平面内的点在( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知 ba,是平面 内的两条不同直线，直线 l在平面 外，则 bla,是 l的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条
2、件 D. 既不充分也不必要条件4.若 x表示不超过 x的最大整数，如 2.6,.3，执行如图所示的程序框图，记输出的值为 0S，则 103log( )A. -1 B. 0 C. 1 D. 25. 函数 )(2sin3)(xxf 的图像向左平移 6个单位后关于原点对称, 则 等于（ ）A. 6 B. 6 C. 3 D. 3 6. 若等差数列 na的公差 0d, 前 n项和为 nS, 若 *N, 都有 10nS, 则( ) A. *N, 1 B. 910a C. 217 D. 97.某公司庆祝活动需从甲、乙、丙等 5 名志愿者中选 2 名担任翻译，2 名担任向导，还有 1 名机动人员，为来参加活动
3、的外事人员提供服务，并且翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，则不同的选法有 （ ）A 20 B 2 C 24 D 368. 已知点 P在直线 30xy上, 点 Q在直线 0xy上, 线段 PQ的中点为 0(,)Mxy, 且0yx, 则 0的取值范围是( )A. 1,)3 B. 1,)3 C. 1(,3 D. 1(,)(0,)3 9.已知某几何体的三视图如图所示, 三视图是边长为 1 的等腰直角三角形和边长为 1 的正方形, 则该几何体的体积为( )A. 6 B. 13 C. 2 D. 2 10. 已知函数 |12()log()xf x, 则使得 ()21)fxf成立的 x的取值范围是( )A
4、. 1(,)3 B. ,(,3 C. ,(0,)1,) D. 1,)11. 设 12,e分别为具有公共焦点 12,F的椭圆和双曲线的离心率, P是椭圆和双曲线的一个公共点, 且满足1|PF, 则 21e( )A. 2 B. C. D. 112.在锐角 ABC中, ,所对边分别为 ,abc, 且 2ac, 则 1tantAB的取值范围为( )A. (1,) B. 2(13) C. (13) D. (6)3二. 填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.二项式 (1)ax(0的展开式的第四项的系数为 40, 则 a的值为 .14. 已知正数 y,满足 xy，则 yx23的最小值为 .15.过直线
5、 x上的一点作圆 2(5)(1)的两条切线 12l， ， 当直线 12l， 关于 yx对称时，它们之间的夹角为_.16. 已知函数 2()4ftx, 2()()gxt, 两个函数图象的公切线恰为 3 条, 则实数 t的取值范围为 . 正视 侧视俯视三. 解答题（共 70 分）17. （12 分）已知数列 na的前 项和 nS满足 ,132na其中 N(1)求数列 n的通项公式；（2）设 ,32ban求数列 nb的前 项的和 nT。18. （12 分）为了解人们对于国家颁布的“房产新政策”的热度，现在某市进行调查，随机抽调了 50 人，他们年龄的频数分布及支持“房产新政策”人数如下表：年龄 5,
6、1),25),3)5,4),5),65)频数 5 10 15 10 5 5支持“房产新政策”4 5 12 8 2 1 (1) 由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表, 并问是否有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对“房产新政策”的支持度有差异；年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计支持 ac不支持 bd合计(2) 若对年龄在 5,1)， 3,4)的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的 4 人中不支持“房产新政策”人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望.附表： 2()PKk0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828 22()(nadb
7、cK19. （12 分）在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD为正方形 , PA平面 ABCD, /,4,2PEABE.(1) 求 PD与平面 CE所成角的正弦值 ;(2) 在棱 AB上是否存在一点 F, 使得平面 DEF平面 PC? 如果存在, 求 的值; 如果不存在, 说明理由.20. （12 分）已知椭圆 C的中心在原点 O, 焦点在 x轴上, 离心率为 12, 椭圆 C上的点到右焦点的最大距离为 3.(1) 求椭圆 的标准方程；(2) 斜率存在的直线 l与椭圆 交于 ,AB两点, 并且满足 |2|AOB, 求直线在 y轴上截距的取值范围.21. （12 分）设函数 ()1)ln(fx
8、axb, 其中, a和 b是实数, 曲线 ()yfx恒与 轴相切于坐标原点.(1) 求常数 b的值；(2)当 1a时，讨论函数 )(xf的单调性；（3）当 0x时关于 的不等式 ()0f恒成立, 求实数 a的取值范围.选做题：请在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，OAB 是等腰三角形，AOB=120.以 O 为圆心，OA 为半径作圆.(1)证明：直线 AB 与 O 相切；(2)点 C,D 在 O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：ABCD . 23.（本小题满分 10 分）选
9、修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xy中，以 为原点， Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线 l的的极坐标方程为： 2sin()4，曲线 C 的参数方程为： 2(sintco)(t)41xy为 参 数 .（1）写出直线 l和曲线 C的普通方程；（2）若直线 和曲线 相交于 ,AB两点，定点 P(1,2)，求线段 |AB和 |P|的值.24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知不等式 23x的解集与关于 x的不等式 20axb的解集相同.（1）求实数 ,ab的值；（2）求函数 4fb的最大值.高 2014 级第五期 10 月阶段性考试数学试题参考答案(理)1.C
10、 2.C. 3. B. 4.A. 5. D. 6.D 7. C. 8.D. 9.A. 10. D 11.A. 12.B13. 3 14. 625 15. 60 16. 3(2,)17.解: (1) 1(*)nSaN, 当 1时, 132, 1,当 时, nn, , 得 1a, 即 13(2)na. 又 12,3a, 13n对 *N都成立 , 所以 n是等比数列, (*)nN.(2) 1()na2313()()nb,13)2nT, 31nTn, 即 1nT.18. 解: (1) 2 乘 2 列联表年龄不低于 45 岁的人数年龄低于 45 岁的人数合计支持 3a29c32不支持 7b1d18合计
11、10 40 502250(319)6.35(7)(71K.所以没有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对“房产新政策 ”支持度有差异。(2) 所有可能取值有 0,23,284510684()5CP,2188244510506104() 52,28442510510 3() 4CP1245012(3)45CP,所以 的期望是 7064()5E.19. 解(1)如图, 建立空间直角坐标系, 则 (,)B, (,0)C, (4,2)E, (04)P, (0,)D. 所以 4P, P, . 设平面 E的法向量为 (,)mxyz. 则200mCxyzE, 令 1x, 则 2z, 所以 (1,2). 设
12、 PD与平面 所成的角为 , 则 43sin|co,|6| 2PDm. 所以与平面 CE所成角的正弦值是 36.(2) 假设点 F存在, 连接 ,FDE, 可设 (,0)a, 则 (4,02)FEa, (4,2)E. 设平面DE的法向量为 (,)nxyz, 则 2()nxyz, 令 x, 则4ayz, 所以 (2,4)an. 因为平面 DEF平面 PC, 所以 0mn, 即 280a, 所以15, 点 1(,05F. 所以 35AB.20. 解: (1) 设椭圆 C的方程为21(0)xyab, 半焦距为 c.依题意 12cea, 由椭圆 上的点到右焦点的最大距离 3, 得 3a, 解得 1,2
13、ca, 所以 23b, 所以椭圆 的标准方程是214xy.(2) 设直线 l的方程为 mkxy, 由 23yk, 得 22()8410kxm,22(8)4(3)1)0,km化简得 24.设 1(,)Axy, 2()B, 则2121284,33kmxxk.若 |OA成立, 等价于 0OAB,所以 120xy, 即 1212()xkx, 则 ()()0km, 2 2481334k, 化简得 2271mk.将 2271k代入 2中, 2234(),解得 4m. 又由 1k, 从而 2,27或 27m.所以实数 的取值范围是 (,1,).21. (1) 对 ()fx求导得: )ln()axfxab,
14、根据条件知 (0)f, 所以 10,b. (2) 1lnf2()()1ln()1xxx设 2ln 则 23(), , ()0x.()x单减, (0) (1,)fx单增, 0,f单减.(3) 由(1)得 lnfax, 1(ln()axa,22()()1()xfx . 当 2a时, 由于 0x, 所以 21)()0(axf, 于是 ()fx在 0,1上单调递增, 从而 ()fxf, 因此 )f在 0,1上单调递增, 即 )(f, 而且仅有 ()f; 当0a时, 由 1, 有 21( 0()ax, 于是 )fx在 01上单调递减, 即()fx, 而且仅有 0)f; 当 时, 令 2min,a, 当
15、xm时, 21()()0axf, 于是 ()fx在 0,m上单调递减, 从而 ()0fxf, 因此 ()fx在0,m上单调递减, 即 ()fx， 而且仅有 ()0f，综上可知, 所求实数 a的取值范围是1(2.22：（）设 是 的中点，连结 ，因为 ，所以 ，在 中， ，即 到直线 的距离等于O 半径，所以直线 与 相切（）因为 ，所以 不是 四点所在圆的圆心，设 是 四点所在圆的圆心，作直线 由已知得 在线段 的垂直平分线上，又 在线段 的垂直平分线上，所以 同理可证， ，所以 23.(1) :10lxy2:,2,Cxy (2) 10AB, 2P24. 解: （1） 4,5.ab（2）由柯西不等式得：.当且仅当 时等号成立，即 时， .所以函数 的最大值为 .
