1、2016 届辽宁省大连市瓦房店市高级中学高三上学期期中考试数学试题（理）一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的.）1.设 为虚数单位，则复数 的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ）i i2z第一象限 第二象限 第三象限 第四象限.A.B.C.D2.函数 的定义域为（ ） 1)(log)2xxf.1(02， .()， .1(02)， ， .D)， ，3.下列结论错误的是（ ）命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则.A0432x4x4x”0432x命题“若 ，则方程 有实根”的逆命题为真命题.Bm02mx“ ”是“ ”的充分
2、条件Cx432x命题“若 ，则 且 ”的否命题是“若 ，则.D0nn02nm或 ”04.若实数 ， 满足 ，则目标函数 的最大值为（ xy420xy23zxy）.A1.B4.C36.D495.在等差数列 中，若 ，则 的值为（ ）na1201086aa7513a.8.12.6.已知 ， 是夹角为 的两个单位向量，若 ， ，则 与1e0 21e214eba的夹角为（ ）b.A30.B6.C12.D507.对于直线 ， 和平面 ， ， 的一个充分条件是（ ）mn， ， ， ，.Amnn.Bmn/， ， ， ，C/ D/8.若函数 满足 ，)2si(3)si() xxxf (0)R， 2)(f，且
3、的最小值为 ，则函数 的单调递增区间为（ ）0)(ff.A52()6kkZ， .B52()1kkZ，C3， D，9.设 是 内一点，且 ， .定义MB23AC30A，其中 分别是 的面积.若()fmnp， ， np、 、 MBB、 、，则 的最小值是12fPxy， ， 14.A8.B9.C16.D1810.已知函数 的大致图象如图所示，则函数 的解析式为（ ）()f ()yfx.2lnxf.2ln()fx .C2l()()fx.Dl()()f11.已知四棱锥 的五个顶点都在球 的球面上，底面 是矩形，平面PABCOABCD垂直于平面 ，在 中， ， ， ，则PAD2PA120Po球 的外接球的
4、表面积等于O.16.20.4.3612.已知函数 的定义域为 ，当 时， ，且对任意的实数)(xfyR0x)(xf，等式 成立，若数列 满足 ，xyR， )(yff na)1()nnaff，且 ，则下列结论成立的是（ ）*()nN)0(1fa.A203216(f.B20142015()()fafC1605)()fD6yxO第 10 题二、填空题（本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分.）13.若 , ， 成等差数列，则 的值等于_.lg2(1)xlg(23)xx14. 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 ，所以 的所有正约数36 23636之和为，参222222(1)(3)()(1
5、)()91照上述方法，可求得 的所有正约数之和为 .015.某 几 何 体 的 三 视 图 如 右 图 ,则 此 几 何 体 的 体 积 为 .16.已知 ， （其中 为自然对数的底数） ，方程()exf有四个实数根，则实数 的取210xt()tRt值范围为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、 证 明过程或演算步骤.） 17 （本小题满分 10 分）已知向量 ， ，函数 (sin1)ax， 1(3cos)2bx， 2)()abxf（）求函数 的最小正周期 ；fT（）已知 、 、 分别为 内角 、 、 的对边, 其中 为锐角，abcABCA， ,且 ，求 ，
6、和 的面积 3241)(fbS18 （本小题满分 12 分）已知如图几何体，正方形 ABCD和矩形 EF所在平面互相垂直， M为 的中点， CBN，垂22AFB足为 .N（）求证: 平面 ；/（）求二面角 N的大小.2222221NMF ED CBA19 （本小题满分 12 分）已知首项都是 的数列 ， 满足 .1nab*(0)nN， 13nab（）令 ，求数列 的通项公式；ncbc（）若数列 为各项均为正数的等比数列，且 ，求数列 的前n 2364bna项和 .nnS20.（本小题满分 12 分）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛 与小岛 、BA小岛 相距都为 ，与小岛 相距
7、为 .小岛 对小岛C5n mileD35n mile与 的视角为钝角，且 .BDs5A（）求小岛 与小岛 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（）记小岛 对小岛 与 的视角为 ，小岛 对小岛 与 的视角为 ，求BCBCD的值.sin(2)21.（本小题满分 12 分）数列 ， 的每一项都是正数， ， ，且 ， ， 成等差数列，nab81a61bnab1n， ， 成等比数列， .nb1 32，n（）求 ， 的值；2（）求数列 ， 的通项公式；nab（）证明：对一切正整数 ，有 .721121 naa22. （本小题满分 12 分）已知函数 （其中 是实数）.2()lnfxaxa（）求 的单
8、调区间；（）若设 ，且 有两个极值点 ， （ ） ，求1e)5()f1x212x的取值范围.（其中 为自然对数的底数， ）.12()fxfe*nNDCBA20152016 学年度上学期期中考试高三理科数学参考答案一、选择题1 6：CDBACC 712：CADABD二、填空题13 14. 15. 16.5log246522e()，三、解答题17.解 :（） ()fxabab，2 分21sin13sinco2.4 分co3sincos2in()6xxx 因为 ，所以 .5 分22T（） ，()sin)16fA因为 ， ，所以 ， . 7 分0， 5()， 26A3则 ，所以 ，即 ，则22cosa
9、b14bb240b9 分从而 .101in4in6023SA分18 （ ）证明：连结 交 于 ，连结 .CBDOM因为 为 中点， 为 中点，所以 ，MF/FCO又因为 平面 ， 平面 ，O所以 平面 .4 分/（）因为正方形 和矩形 所在平面互相垂直，所以 平面 .AEAFBCD以 为原点，以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系.xyz， ， ， ， ，(10)C， ， (1)， ， (0)B， ， (10)D， ， 42(1)5N， ，设平面 的法向量为 ，DMp， ， .6 分0pB()， ，设平面 的法向量为 ，N)qxyz， ， .8qB(12)， ，分设 与 的夹角为 ，p
10、z yx NMF ED CBA10 分cos0pq所以二面角 的大小为 .MBDN9012 分19. 解：（）由题意可得， ，1113nnnabb两边同除以 ，得 ，1nb又 ，nac，3 分13又 ， 数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.bnc13， .(1)2nc*N5 分（）设数列 的公比为 ， ， ，n(0)q2364bQ242611bq整理得： ， ，又 ，24q21， ，7 分1()nb*1(3)(nnnac8 分 1231nnSaa021()4()7()(3)(2n 1n9 分得： 1211 13()()3()2)(2nnnS21n10 分1()13(3)(22nn1()(nn
11、146343)2n8()(2nnS12 分20.解： （） ，且角 为钝角， .3sin5A234cos1()5A在 中，由余弦定理得， ，BD2DBBD， ，解得 或245()A 280A（舍） ，10小岛 与小岛 之间的距离为 .n mile2 分， ， ， 四点共圆， 角 与角 互补.BCAC， .3sin54cos(180)cos5在 中，由余弦定理得， ，D2 2cosDBBD， ，24(35) 280解得 （舍）或 .C10C4 分，1sinsin1822ABDDSSACB四 边 形四个小岛所形成的四边形的面积为 平方 .8 mle6 分（）在 中，由正弦定理， ，即 ，解得BCs
12、iniCD53sin.5sin， 为锐角，22D.8分cos5又 ，3in()si(180)sin5C.4coscco10 分.25in(2)sin()sin()cosin()12 分21.解：( ) 由题意得 ，可得 .21ab2412ab由 ，可得 .21ba3622 分()因为 ， ， 成等差数列，所以 ，n1na1nnab因为 ， ， 成等比数列，所以 ，1 21因为 ， 的每一项都是正数，所以 ，nab11nnba于是，当 时， ，21nnb将代入式，可得 ，1n因此数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，n42所以 ，于是 ，)(1db2)(4n6 分由式，可得当 时，2)1(an当
13、 时， ，满足上式，所以对一切正整数 ，都有 .n81 )1(4na8 分()由( )可知，所证明的不等式为.721447232n【方法 1】首先证明 )1(n即证 ，即证 ，即证 ，n22 020)2(1n所以当 时，.7)()3(71447132 n当 时， .n综上所述：对一切正整数 ，有 .n72112naa12 分【方法 2】 .)321(4)3(34142 n当 时，3n )1()2171)95(74712 nn )(423当 时， ；当 时， .1n72n717综上所述：对一切正整数 ，有 .221 naa12 分【方法 3】 )12(1)(44122 nn当 时，n)12()1
14、23()19(7214371423172 nnn.24当 时， ；当 时， ；当 时，73.72147231综上所述：对一切正整数 ，有 .n721121 naa12 分22.解：（） 的定义域为 ， ，()fx(0)， 2(xafx令 ， ，对称 轴 ， ，2()gxa2164a(0)g（1 ）当 ，即 时， ，04()f于是，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间.()f 0，（2 ）当 ，即 或 时，当 时， 恒成立，于是， 的单调递增区间为 ，无减区ax ()fx(0)，间.当 时，令 ，得 ， ，4()0f2164ax22164a当 时， ，当 时， .12(0)xx， ， ()f1()x， ()0fx于是， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .f 1， 2， 12)，综上所述：当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间.af 0，当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .4()()， ()， (x，4 分（）由（）知，若 有两个极值点，则 ，fx4a且 ，120ax， 6 分212又 ， ， ，21()x12(e)5a，又 ，解得 ，1e2x01ex8 分于是， 211 12()()ln()lnffxaa2 1x1122)()(l
