1、福州八中 20152016 学年高三毕业班第四次质量检查数学(理)试题考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分命题、校对： 2015. 12.14第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的1设全集 ，集合 ，则 =1,2345U2,341,2AB()UAB（A） （B） （C ） （D）， 2345， ， ，2下列函数中，既是偶函数，又在区间 内是减函数的是,0（A） （B） （C ） （D）xy)(xycosxyln21xy3等差数列 中， ，则na2152a08642aa（A） （B） （C ） （D）074 “
2、 ”是“ ”的92x3（A）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件5已知 ， 且 ，设 x= , ， ，则0aba2baay4abzx，y，z 的大小关系是（A） （B） （C ） （D）zxzyxzxy6已知数列 满足 ，且 ，则该数列的前 项的和n 21nna 0110等于（A） （B） （C ） （D）242574757已知几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图均为正方形，俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（A） （B）3838（C） （D）4248存在函数 满足：对任意 ，都有)(xf Rx（A） （B ） 2si
3、ni xf2sin)(co（C） （D）|1|)2(xf 1|)(|2xf9已知 为 外接圆的圆心， ， ，则 =OABC3|AB5|CBCAO（A） （B） （C ） （D）48610若 在平面区域 上取得最小值时的最优解不唯一，则ymxz03,2yx的最大值是z（A） （B） （C ） （D）30212311关于函数 的性质的描述，不正确的是xxfcosin)(（A）任意 ， （B ）任意 ，R)(fRx)()(xff（C）不存在 ，使 （D）不存在 ，使)2,0(02,021012比较下列各组中两数的大小： ； ；01520165 01520165 ； ，其中正确结论的序号是（A） （B
4、） （C） （D）第卷二、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡相应位置13.若 ，则 =_31)tan(tan14.已知向量 ， 若 ，则 =_,)1,(xbba/|15.正三棱锥 内接于球 ，球心 在底面 上，且 ，则球的ABCPOABC3表面积为_16.曲线 上的点到原点 的距离最小值等于_142yx三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和 ，满足 ， nanSnan22nab（）求 的通项公式；C1B1A1CBA（）记 ，数列 的前 项和为 ，证明 nnbc2log1ncnT21n18.（本小题
5、满分 12 分）中， 分别是三个内角 的对边，且 ABCca, CBA, AbBaccos)(（）求 ；（）若 ， 边上的中线 的长为 ，求 的面积6D7A19.（本小题满分 12 分）已知三棱柱 ，侧面 侧面 ， ，1CBA11B2121BA（）求证： ；1（）求二面角 的正弦值1ABC20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 的焦点分别为 ， ，且经过点 ，直线G)0,2(1F),(2 )2,(M与椭圆 交于 ， 两点2:tyxl AB）求椭圆 的方程；（）求 的面积的最大值BF121.（本小题满分 12 分）已知函数 ， 3)(e2)(2axf R（）若函数 的图象在 处的切线与 轴平行，
6、求 的值；fy0xa（）若 时， 恒成立，求 的取值范围0x)(x注： 是自然对数的底数e请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题做答如果多做，则按所做的第一个题目计分22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，梯形 内接于圆 ， ，过点 作圆 的切线，交 的延ABCDOBCA/OBDO FEDCBA长线于点 ，交 的延长线于点 FADE（）求证： ；BC2（）若 ， ，求切线 的长9B6F23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）2cosinxy，以直角坐标系原点 O
7、 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos24（）求直线 l 的直角坐标方程；（）点 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 （ ） mxxf4)( 0（）证明： ；f（）若 ，求 的取值范围5)2(EDCBA福州八中 20152016 学年高三毕业班第四次质量检查数学(理)试卷参考答案及评分标准一、选择题 CDBBAC ACCDBD二、填空题13、 14、 15、 16、 21043三、解答题17、解：（）因为 ，naSn2所以 ，从而 ，)(1n 21na即 所以 21a4
8、1nb又 ，所以 ， ，1S2a0所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，nb4所以 ，从而 6 分n1n（）由（）得 ，c所以 ，2)2(11n从而 12 分21)1(.43)( nnT18、解：（）根据正弦定理，由 ，)cosaBbA可得 ，BACsicosi2整理得 ，n所以 ，因为 ，所以 ，ii 0inC21s又因为 ，所以 6 分),0(B3（）如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ， DEBDAEC因为 为 的中点，所以四边形 为平行四边形， ACA所以 ， 214在 中，根据余弦定理，得BE，32cos22 EB即 ，解得 ，所以 016C10C10CEAB所以 的面积 12 分A
9、35sin6inAS解法二：（）同解法一（）因为 是 边上的中线，所以 ， BD)(2D所以 ， 即 22)(41C BCAB42所以 ，即 ，3cos6|7AA 016OzyxC1B1A1CBA解得 ，即 10|BA所以 的面积 C 315sin0621sin2BCAS解法三：（）同解法一（）设 ， xDy在 中，根据余弦定理，可得 ，AB 3cos22 BCA即 在 中，根据余弦定理可得，3642yByyC14726cos 22在 中，同理可得，DxAB922因为 ，所以 ，所以 ，Dcoscos )4(1322y即 由可得 ，所以 ，即 62xy 06x1x0AB所以 的面积 AC 35
10、sinsin21BCS19、解：（）取 中点 O，连接 CO， ， ，又 ， ，3 分11A1A1O， 平面 ，BO平面 ， 5 分（）由（） ，1C又侧面 侧面 ，侧面 侧面 =A1BC11B平面 ，而 ， ， ， 两两垂直如图，以 O 为坐AO标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 O-xyzxyz则有 ， 7 分)0,2(),30(),0(),(,0( 11 O设 是平面 ABC 的一个法向量，11zyxn是平面 的一个法向量，,22BC，)3,()3(CA由 即 解得,01n,01zyx,1zyx令 ， 又 ，z)(1 )3,0()(1CAB由 即 解得,12CAB,
11、32zx,322zyx令 ， 10 分z)1,(2n设二面角 为 ，则 ，171|cos|21n高三数学（理）第四次质检试卷答案 第 1 页 共 4 页 高三数学（理）第四次质检试卷答案 第 2 页 共 4 页所以二面角 的正弦值是 12 分1ABC73420、解：（）设椭圆方程为 ，)0(12bayx则 ，所以 ，43|221MFa 2又因为 ，所以 ，所以椭圆 的方程为 5 分c2cabG148yx（）由 得 ， 恒成立,482tyx04)(2tyt 032t设 ， ，则 ， ),(1A2B21t421t 的面积等于F当且仅当 ，即 时，等号成立，24184)(2|22111ttycSB
12、122tt 0t所以当 时， 的面积的最大值等于 12 分0tABF2421、解：（） )e()axf因为函数 的图象在 处的切线与 轴平行，(xy0所以 ， 解得 ，经检验 符合题意5 分12)af 11（）当 时， 恒成立，等价于 0)f 0)(minf首先，必须 ，即 ，解得 (f32a以下只研究 的情况 ，设 ，5,exf )e(2)axg则当 时， ，所以 在 内单调递增，且x0)1e()xg(2)g,0当 ，即 时， ，1(2)0aa1f所以 在 内单调递增， ，所以当 时，在 内单调f,(f 5a),递增当 ，即 时，由 在 内单调递增，知存在唯)e)x),一 使得 ，即 ，,0
13、x0(xgax0e且当 时， ， 在 上单调递减，(0)f(f,0当 时， ， 在 上单调递增，),)所以 的最小值为 ，f 32(2000fx又 ，所以 ，ax0ee()x )3e(100xx因此，要使当 时， 恒成立，只需 ，即 即可f )f解得 ，此时由 ，可得 3lnax0e0x以下求出 的取值范围 ， ， 得 ，xh)(3ln,()(xh所以 在 上单调递减，从而)(xh3ln,013lna综上所述， 的取值范围 12 分a5,l22、解：（）因为 与圆 相切，所以 ，又 ，所以CFODBCEE/，所以 ，可得 ，所以 ，DBE BCD2又 ，所以 5 分A2（） ， 是公共角，所以
14、 ，F所以 ，所以 ，69CFF326又 ，所以 10 分B2 )( 54C23、解：（）直线的极坐标方程可化为 ，2sin2cos所以直线的直角坐标方程为 5 分04yx（）设点 ，则点 到直线的距离为)sin,co2(PP（其中 ） ，2)i(5sd tan所以当 时，点 P 到直线 l 的距离的最大值为 10 分1)in(241024、解：（）因为 m0，所以，又因为 ， 当mxxxf |)()4(|4)( 4m且仅当 时等号成立，所以 5 分2f（） ，当 ，即 时， ，由 ，|2|)(f2)2(f 5)2(f解得 当 ，即 时， ，由 ，解217m40f4)(得 综上， 的取值范围是 10 分0,217),(
