1、2015 届福建省福州市第八中学高三第九次月考数学（理）试题考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分2015.5.4参考公式：样本数据 x1，x 2， ，x n的标准差s= 22()()()nxn 其中 x为样本平均数锥体体积公式 V= 3Sh 其中 S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积，h 为高 球的表面积、体积公式 24R， 3V 其 中 R 为球的半径 第卷（选择题 共 50 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上 ）1.设全集 1234
2、5672346=15,UMN， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则 等于A. MNB. NC. UCD. UMCN2.设 i是虚数单位，复数 1iZ 为A. 1 B. i C. i D. 1 i 3下列四个结论：若 0x，则 sinx恒成立；命题“若 ，则 0”的逆命题为“若 0x，则 sin0x”；“命题 pq为真”是“命题 pq为真”的充分不必要条件；命题“ ,lnxRx”的否定是“ 00,lR”其中正确结论的个数是A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4.设等差数列 na的前 n项和为 2591,2nSaa， 若 ，则当 nS取最小值时， n等于A.9 B.8 C.7
3、 D.65已知抛物线 28yx的焦点与双曲线 2xy的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为A B 415 C 3 D 36已知函数 lnfxyfx， 则 的图象大致为7. 三棱锥 SABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱 SB的长为A.21B. 4C. 38 D. 168.在区间 0,上随机取一个数 x，则事件“ 6sinco2x”发生的概率为A 23B 14C 13D 1 9. 已知点 (,)， O为坐标原点，点 (,)Pxy的坐标 x， y满足302xy，则向量 OA在向量 OP方向上的投影的取值范围是A.3, B. 3,C. 3, D. 3,10.己知定义在 R上的可
4、导函数 ()fx的导函数为 ()fx，满足 ()fxf，且 (2)fx为偶函数， (4)1f，则不等式 ()fe的解集为A 2,B 0, C (1,) D (4,)第卷（非选择题 共 100 分）二、填空题:本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分把答案填在答题卡相应位置11 831(2)x展开式中的常数项为 12执行如图所示的程序框图，则输出的结 果为 _. 13有 4 本不同的书，其中语文书 1 本，数 学书 2 本，物理书 1 本，若将其随机地并排摆成一排，则同 一科目的书不相邻的摆法有_种.（用数字作答）14.在 RtABC中， ,126BCA，则 2AB_.15.已知有限集
5、13,naN.如果 A中元素 ),32,1(nia 满足1212nna，就称 A为“复活集” ，给出下列结论：集合 5,是“复活集” ； 1212,aRa若 且 是“复活集” ，则 124a； *,N若 则 不可能是“复活集” ；若 i，则“复活集”A 有且只有一个，且 3n.其中正确的结论是_.（填上你认为所有正确的结论序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分 13 分）已知函数 xbxf cosinsi2)(满足 2)6(f.（）求实数 b的值以及函数 )(f的最小正周期；（）记 )()tfxg，若函数 g是偶函数，求实数
6、 t的值.17.（本小题满分 13分）在一次对某班 42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下 22列联表：（单位：人）篮球 排球 总计男同学 16 6 22女同学 8 12 20总计 24 18 42（）据此判断是否有 95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？（）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取 7名同学进行座谈已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组” 求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；设乙、丙两人中被抽中的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 E(X)下面临界值表供参考：
7、20()PKk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：22()()(nadbcd18.（本小题满分 13 分）如图，将长为 4，宽为 1 的长方形折叠成长方体 1ABCD的四个侧面，记底面上一边(02)ABt，连接 AB， C， 1.() 当长方体 1D的体积最大时，求二面角 的值；( )线段 1C上是否存在一点 P，使得 1平面 P，若有，求出 P点的位置，没有请说明理由.19. （本小题满分 13 分）已知圆 2219:()4Exy经过椭圆2:(0)Cab
8、的 左右焦点 1F，2F，且与椭圆 在第一象限的交点为 A，且 ，E， A三点共线，直线 l交椭圆 C于 M， N两点，且 (0)MNO.（）求椭圆 的方程；（）当三角形 N的面积取到 最大值时，求直线 l的方程.20.（本小题满分 14分）设函数 2()ln|fxxa。（）求函数 f（ x） 的导函数 ()f；（）若 12,为函数 f（ x） 的两个极值点，且 12x，试求函数 f（x）的单调递增区间；（）设函数 f（ x） 的点 C（ 0,()f） （ 0为非零常数）处的切线为 l，若函数 f（ x） 图象上的点都不在直线 l的上方，求 的取值范围。21本题有（1） 、 （2） 、 （2）
9、三个选答题，每小题 7分，请考生任选 2题作答，满分 14分，如果多 2做，则按所做的前两题计分，作答时，先用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并AEF2OF1 xy.t t2t2tC1AB C DA1B1 D11将所选题号填入括号中。（1） （本小题满分 7分）选修 4-2：矩阵与变换已知 ,abR，若矩阵 13aAb所对应的变换 AT把直线 :23lxy变换为它自身.（）求矩阵 ；（）求矩阵 的逆矩阵. （2） （本小题满分 7分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，以 为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C的极坐标方程为sin()4a，曲线 2C
10、的参数方程为 1cos,(0)iny为 参 数 ， .（）求 1的直角坐标方程；（）当 与 2有两个公共点时，求实数 a的取值范围 .（3） （本小题满分 7分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 2()log(15)fxx.（）当 5a时，求函数 f的定义域；（）当函数 ()fx的定义域为 R时，求实数 a的取值范围.福州八中 20142015 学年高三毕业班第九次质量检查数学(理)试卷参考答案及评分标准一、选择题CABCC ABCDB二、填空题 11 112 12 15 1312 14.2 15.三、解答题16.解：（）由 26f，得 2314b2分，解得 32b3分将 32b代入 xxco
11、sinsi)(得 xf consi)(2所以 2i3c14分)6i(5分所以函数 )xf的最小正周期 T6分（）由（）得， 16)(2sin)(txtf ，所以 si2)(xg8分函数 是偶函数，则对于任意的实数 x，均有 )(xg成立。所以 tt 26sin6sin9分整理得， 02cox（*）10 分（*）式对于任意的实数 均成立，只有 062cost，解得 262kt，所以 32kt， Z13分17.解：（）由表中数据得 K2的观测值k 4.5823.841. 2 分42(1612 86)224182022 25255所以，据此统计有 95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别
12、有关4 分（）由题可知在“排球小组”的 18位同学中，要选取 3位同学方法一：令事件 A为“甲被抽到” ；事件 B为“乙丙被抽到” ，则P(AB) 318C， P(A)21738.所以 P(B|A) 217 . 7分P(A B)P(A) 21716 1136方法二：令事件 C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到” ，则 P(C)217C.21716 1136由题知 X的可能值为 0，1，2.依题意 P(X 0)3618； P(X 1)21638C； P(X 2)12638C. 3551 517 151从而 X的分布列为X 0 1 2P 3551 517 15111分于是 E(X)0 1 2 .
13、 13分3551 517 151 1751 1318.解： 根据题意可知，AA 1, AB,AD 两两垂直，以 AB 为 x轴，AD 为 y轴，AA 1为 z轴建立如图所示的空间直角坐标系：（）长方体体积为2(2)()1tVtt2 分当且仅当 2t，即 时体积 有最大值为 1 3 分所以当长方体 1ABCD的体积最大时，底面四边形 ABCD 为正方形 4 分则 1 10,0,00,ABC，设平面 A1BC 的法向量 mxyz，则 xz取 xz，得： (,) 6 分同理可得平面 A1CD 的法向量 (0,1)n 7 分所以， cos,2 8 分又二面角 1BCD为钝角，故值是 .9 分（也可以通
14、过证明 B1A平面 A1BC 写出平面 A1BC 的法向量）（） 根据题意有 ,0,0,2,0tCtDt，若线段 1AC上存在一点 P满足要求，不妨11AP，可得 2P,Bttt10CD即：22100t11 分解得： ,3t 12 分即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点 P，位置是线段 1AC上 :2:1P处. 13 分19. （）解：如图圆 E经过椭圆 C的左右焦点 12,F,1,FEA三点共线, 1A为圆 E的直径, 21AF229(0)4x, x, c 2分 8| 21212 F,O(A)B CDA1B1 C1D1xyz4|221AFa2bc，解得 ,2ab， 4 分椭圆 C的方
15、程 1xy， 5 分 （）点 A的坐标 (,) (0)MNOA， 所以直线 l的斜率为 2， 6 分故设直线 l的方程为 2yxm214yxm220，设 12(,)(,)xyN2221,480xxm， m 8分 2211|()3MNkxx9分 点 A到直线 l的距离 6|3d 10分 2221 4|1|(4)2MNSmm 12分当且仅当 24，即 ，直线 l的方程为 yx13分20 .21 （1）本题考查矩阵与变换、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想解： （） 法一：设 ),(yxP为直线 32yx上任意一点其在 A的作用下变为 ),(yx则 33axabybab-3 分代入 2得： )()(x其与 32yx完全一样得 1432aba则矩阵 143A -5分法二：在直线 2yx上任取两点（2、1）和（3、3） ， -1 分则 aabb,即得点 )32,(b,139,即得点 9, -3 分将 )2,(a和 )3(a分别代入 yx得134bb则矩阵 143A -5 分（）因为 14，所以矩阵 M的逆矩阵为 1 -7 分（2）本题考查直线与圆的极坐标与参数方程，极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想及数形结合思想
