1、试卷第 1 页，总 12 页2016 届福建省师大附中高三上学期期中考试数学（理）试题及解析一、选择题1 已知集合 32,6,8102,4AxnNB，则集合 AB中的元素个数为（ ）A2 B3 C4 D5【答案】A【解析】试题分析：由条件知，当 时， ，当 时， ，2n384n3214故 ，故选 A8,1【考点】集合的交集运算2已知 （ 为虚数单位） ，则复数 =（ ）2iizzA B C D1i11i1i【答案】D【解析】试题分析：由题意，得 ，故选 D2()()iiiz i【考点】复数的运算3已知命题 , ；命题 , ,则下列命题中为真命:pxR23x:qxR321x题的是：（ ）A B
2、C Dqqppq【答案】B【解析】试题分析：当 时， ，故命题 为假命题，所以 为真命0x231xp题作出函数 与 的图像如图所示，由图知命题 为真命题，所以3y1q为假命题，所以 为真命题，故选 Bqpq【考点】复合命题真假的判断4已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 ，则点A43,1A3的纵坐标为（ ）A B C D3253213212【答案】C【解析】试题分析：因为 ，33(cosin)(4)()3OAiii A即点 的纵坐标为 ，故选 CB132【考点】复数的几何意义5若 ，则 （ ）10()()fxfxd10()fxdA1 B C D133【答案】B【解析】试题分析：设
3、 ，则 ，所以10()fxd=c2()fxc ，解得 ， 所以11231000()(2|fxd=c 13，故选 B3【考点】定积分的运算6已知 na为等比数列, , 568a,则 10a（ ）472A B C D75【答案】D【解析】试题分析：由题意，得 ，解得 或 ，所以3614528aqA132aq138 ，故选 D931011()aaq7【考点】等比数列的通项公式7若 , 是第三象限的角,则 （ ）4cos51tan2A B C2 D-2122【答案】A【解析】试题分析：因为 ， 是第三象限的角，所以 ，所以4cos53sin5 1tan2csin2o2cosinisi1icos245
4、，故选 A2试卷第 3 页，总 12 页【考点】1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角8若 ,则 的值为（ ）cos2in4cosinA B C D72121272【答案】C【解析】试题分析：因为，所以22coscosin(sinco) 2in()4，故选 C1csi2【技巧点睛】已知三角函数等式求三角函数的值，解答时通常是首先利用三角恒等变换公式对已知三角函数进行处理，得到相关的结论后，再对所求式进行处理处理已知三角函数等式时要注意观察结构特征，主要观察：（1）角间关系，适时选用两角和差公式与二倍角公式等；（2）函数的名称，主要是选用同角三角函数基本关系进行名称变换；（3）结构特征，主要是
5、选用二角公式，或进行公式的逆用【考点】1、两角和与差的正弦；2、二倍角9存在函数 满足：对任意 都有（ ）()fxxRA B sinif2(sin)fxC D2(1)x21x【答案】D【解析】试题分析：A 中取 ，得 ，即 ，又取 ，00sin)(if 0)(f2x得 ，即 ，矛盾，故 A错；同理可知 B错；C 中取 ，得2sin)(if 1)(f 1，又取 ，得 ，矛盾，故 C错；D 中令 ，则2x )(|txt，符合题意，故选 D)(0()1( xfttf【考点】10设函数 ,则使得 成立的 的取值范围21()ln|)fx()21)fxx是（ ）A B C D1,3,3,3,【答案】A【解
6、析】试题分析：当 时， ，0x21()ln)fxx又 ，所以 为偶函数且在 上21()()fxff()f0,)为增函数，不等式等价于 ，选 A21|1|3403xxx【考点】1、不等式恒成立；2、利用导数研究函数的单调性；3、函数的奇偶性11设 为两个非零向量 、 的夹角，已知对任意实数 ， 的最小值为 1,（ abt|tab）A若 确定，则 唯一确定 B若 确定，则 唯一确定 | |C若 确定，则 唯一确定 D若 确定，则 唯一确定|a|b【答案】B【解析】试题分析：依题意，对任意实数 ， 恒成立，所以t|1at恒成立令 ，所以()2|cos1tabta2A|x，若 为定值，则当 为定值时二
7、次函数才有最2|xb|b小值，故选 B【考点】1、平面向量的模；2、平面向量的夹角12设函数 = ,其中 a 1，若存在唯一的整数 ，使得()fx21)ex0x0()fx0，则 的取值范围是（ ）aA- ，1） B- ， ） C ， ） D ，1）32e32e432e432e【答案】D【解析】试题分析：设 = ， ，由题知存在唯一的整数 ，()gx1)yax0x使得 在直线 的下方因为 ，所以当 时，0()gxya(21)ge120，当 时， 0，所以当 时， = ，当12()gxxmax(ge时， ， ，直线 恒过点 且斜率为 ，故x()g3eya1,0)，且 ，解得 ，故选 D01a1()
8、32e试卷第 5 页，总 12 页【方法点睛】存在性问题的解题思路有：参变分离，转化为参数小于（或于小）某个函数，则参数小于（大于）该函数的最大（或小）值；数列结合，利用导数先研究函数的图象与性质，再画出该函数的草图，结合图象确定参数范围，若原函数图象不易作图，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，利用图象解答；分类讨论【考点】1、函数的图象；2、利用导数研究函数的单调性二、填空题13 ，则 1cosfx2ff【答案】 3【解析】试题分析：因为 ，所以2cosinxf132ff【考点】1、导数的运算；2、特殊角的三角函数值14若非零向量 满足 ,则 夹角的余弦值为_,ab32ab【答案】 3
9、1【解析】试题分析：由 ，得 ，即2224abA，所以 2abAcos,abA213【考点】1、平面向量的数量积运算；2、平面向量的夹角【技巧点睛】平面向量中对模的处理主要是利用公式 进行转化，即实2|aA现平面向量的运算与代数运算的转化，而求向量 的夹角时，如果已知条件中没有,b明确关于 的数量积与模的大小，通常要利用已知条件找到 三者之间的,ab ,|b关系15函数 的图象向右平移 个单位后,与函数cos(2)yx2的图象重合,则 sin(2)3yx【答案】 56【解析】试题分析：因为 cos(2)cos(2)yxxsin2x，图象向右平移 个单位后得到 的图象sin2xiy，所以 ，解得
10、 i()3y2356【考点】1、三角函数图象的平移变换；2、三角函数的图象与性质【方法点睛】利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 而言，即图象变换要看“变量”x起多大变化，而不是“角变化”多少先周期变换（伸缩变换）再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的 倍（ ） ，再沿 轴向左（ ）sinyx， 10x0或向右平移 个单位可得到 的图象|sin()yAx16如图在平行四边形 中，已知 ， ，BCD8,5D3,2CPAB则 的值是 AB【答案】22【解析】试题分析：根据题意有 13()()44APBDAB ，所以 22
11、136ADB522DA【考点】1、平面向量的数量积；2、平面向量的加减法运算17如图,测量河对岸的塔高 时,可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与C现测得 ,并在点 测得塔顶 的仰角为 ,则CDCs， 塔高 为_AB试卷第 7 页，总 12 页【答案】 tansi()【解析】试题分析：在 中， ，由正弦定理得BCD ，所以 在 中，sinsiBCDsinsin()BDCARtABCtansita()A【考点】1、正弦定理；2、三角形中的边角关系18函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标1xy2si(4)yx2之和等于 【答案】4【解析】试题分析：函数 ， 的图象有公共的对称中心 ，1y
12、x2sinyx(1,0)作出两个函数的图象如图，由函数的对称性知 ，故所求的横坐2ACBD标之和为4【考点】函数的图象与性质三、解答题19 （本小题满分 11分）已知数列 的前 项和 na23nSN，（1）求数列 的通项公式；na（2）证明：对任意 ，都有 ，使得 成等比数列1mN1nma， ，【答案】 （1） （2）见解析3,n【解析】试题分析：（）根据 进行求解；（）要使得1,2nnSa成等比数列，只需要 ，由（）即可得证1nma， ， 21nm试题解析：（1）因为 所以当 时3nS， 2132,nnaS又 时， 所以n12,na3,n（2）要使得 成等比数列，只需要 ，即m， ， 21m
13、a22(3)(3),4而此时 ，且 所以对任意 ，都有 ，使得 成等比数NnnN1nma， ，列【考点】1 数列前 项和与 的关系；2、等比数列的性质na【易错点睛】 （1）根据数列的前 项和 求数列的通项公式时，易忽视一个关键步骤nS当 时， ，造成解答错误或解题过程不完整；（2）证明数列为等比数n1S列时，注意题目中的参数的取值情况，即是否都是正整数，以及字母间的相互关系，以免造成解题过程不完善20 （本小题 12分）已知向量 ， ，函数(sin,)ax(sin,23cos)bx()fxab（）求函数 的单调递增区间；()fx（）在 中，内角 的对边分别为 ，且ABC,abc，若对任意满足
14、条件的 ，不等式 恒成立，求2coscosabA()fm实数 的取值范围m【答案】 （） ， ；（） ,63kkz0m【解析】试题分析：（）先利用平面向量的数量积结合二倍角与两角和与差的正弦试卷第 9 页，总 12 页公式求得 ，再利用函数单调性求得单调递增区间；（）先用正弦定理把()fx进行转换，求得角 ，再利用函数单调性求解2coscosaBbCBB试题解析：（），2()in3is3in2cos12sin()16fxxxxx 令 ，得 ， ，26kk6kkz 的单调递增区间为 ， ()fx,3z（） ，coscosaBbCB由正弦定理，得 ，即2inisincoACB，2in() ， ，
15、0si01cos2又 ， ， ， ，B3A7263A ， ，1sin(2)16Asin()1 0m【考点】1、平面向量的数量积；2、二倍角；3、两角和与差的正弦；4、正弦定理；5、正弦函数的单调性21 （本题满分 12分） 中， 是 上的点， 平分 ， 面积BCDADBCAD是 面积的 2倍ADC（） 求 ；sin（）若 ， ，求 和 的长12BA【答案】 （） ；（） ， D1C【解析】试题分析：（）先由三角形的面积公式求得 ，再用正弦BDCA定理即可求解；（）由 ，可求得 的长，再由余弦定理:ABCS可求得 的长AC试题解析：（） ， ，1sin2ABD 1sin2ADCS因为 ， ，所以
16、 由正弦定理可得2ABDCSBsin（）因为 ，所以 :ABDCS2在 和 中，由余弦定理得 ，22cosADB22cosACDACD2236BB由（）知 ，所以 1【考点】1、三角形面积公式；2、正余弦定理【方法点睛】利用正弦定理与余弦定理来研究三角形问题时，正弦定理可以用来将边的比和对应角的正弦值的比互化，而余弦定理则多用来将余弦值转化为边的关系，而涉及解三角形问题，往往把三角三角恒等变换公式加以交汇与综合，利用公式的变换达到解决问题的目的22 （本小题满分 12分）已知函数 2(1)()lnxf（）求函数 的单调递增区间；fx（）证明：当 时， 11fx【答案】 （） 的单调递增区间是
17、；（）见解析f 50,2【解析】试题分析：（）先求 ，再 得增区间；（）令fxf，求 ，再由 与 得函数的单调区间，F1xfxF0Fx从而可得函数的最值，只需其最大值小于 0即可试题解析：（） ， 21xfx,由 得 解得 0fx21052故 的单调递增区间是 f ,（）令 ， 则有 F1xfx0,21Fx当 时， ，所以 在 上单调递减，1,Fx1,故当 时， ，即当 时， x10x1fx【考点】1、导数的运算；2、利用导数研究函数的单调性【规律点睛】利用导数证明不等式通常有以下途径：（1）单调性法：直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小） ，来证明不等式成立；（2）最值法：有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值，由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题
