1、炎德 英才大联考长沙市一中 2016 届高三月考试卷（五）数学（文科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 是集合 A 到对应的集合 B 的映射，若 ，则 等于（）xf2log:4,21ABA. B. C. D.12,12.已知复数 z=(2-i)(1+3i)，其中 i 是虚数单位，则复数 z 在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.某学生在一门功课的 22 次考试中，所得分数如下茎叶图所示，此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）A.11
2、7 B.118 C.118.5 D.119.54.下列选项叙述错误的是（）A.命题“若 x1，则 ”的逆否命题是“若 ，则 x=1”0232x 0232xB.若 为真命题，则 p，q 均为真命题qpC.若命题 ，则1,:2R1,:2RxpD.“x2”是“ ”的充分不必要条件03x5.若如下框图所给的程序运行结果为 S=35，那么判断框中应填入的关于 k 的条件是（）A.k=7 B. C.k66k6.等边三角形 ABC 的边长为 1， ，那么 等于（）cABbCaB, acbaA.3 B.-3 C. D.23237.已知等差数列 的公差为 2，若前 17 项和为 ，则 的值为（）na417S12
3、A.-10 B.8 C.4 D.128.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.27327342735273459.已知曲线 在点 P(1,4)处的切线与直线 l 平行且距离为 ，则直线 l 的方程为（）xy4 1A.4x-y+9=0 或 4x-y+25=0 B.4x-y+9=0C.4x+y+9=0 或 4x+y-25=0 D.以上都不对10.如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角为 ， ，此时气球的高度是 60m，则河7530流的宽度 BC 等于（） A. B. C. D.m)13(20m)12(80m)13(240m)13(0
4、11.若圆 C： 关于直线 对称，则由点(a,b) 向圆所作的切线长的最342yx6byax小值是（）A.2 B.3 C.4 D.612.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，以其名命名的函数 被称为狄利为 无 理 数， 为 有 理 数， xf01)(克雷函数，则关于函数 f(x)有如下四个命题： ；1)(xf函数 f(x)是偶函数；任何一个不为零的有理数 T，f(x+T)=f(x)对任意的 恒成立；Rx存在三个点 ，使得ABC 为等边三角形.)(,)(,)(, 321 fCxfBxfA，其中证明题的个数是A.1 B.2 C.3 D.4第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 2
5、0 分，将答案填在答题纸上）13.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次，至少击中 3 次的概率：先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 0,1 表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9 表示击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为_. 14.设 x，y 满
6、足约束条件 ，则 的最大值为_.203xy2yx15.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 的焦点为 F，定点 .若射线 FA 与抛物线C4:2)0,2(AC 相交于点 M，与抛物线 C 的准线相交于点 N，则 FM：MN 的值是_.16.设函数 ，则函数 f(x)的各极大值之和为_.)015)(cos(in) xxef三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分）近两年来，各大电视台都推出了由明星参与的游戏竞技类节目。高一某研究性学习小组在长沙某社区对 50人进行第一时间收看该类节目与性别是否有关的收视调查，其中
7、 20 名女性中有 15 名第一时间收看该类节目，30 名男性中 10 名第一时间收看该类节目.（1）根据以上数据建立一个 列联表，并判断第一时间收看该类节目是否与性别有关？2（2）该研究性学习小组共有 A、B、C、D 和 E 五名同学，五人分成两组模拟“撕名牌”的游戏，其中一组三人，一组两人，求 A、B 两同学分在同一组的概率.参考数据： .)()(22 dbcabn临界值表： )(2kP0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82818.（本小题满分 12 分）某同学用“五点法” 画函数 在
8、某一个周期的图象时，列表并2,0,)sin()( ABxAxf填入了部分数据，如下表：（1）请求出上表中的 ， ， ，并直接写出函数 f(x)的解析式；1x23（2）将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移 个单位得到函数 g(x)，若函数 g(x)在 （其中 ）上,0mx)4,2(的值域为 ，且此时其图象的最高点和最低点分别为 P，Q，求 与 夹角 的大小.3, OP19.（本小题满分 12 分）如图所示，AD平面 ABC，CE平面 ABC，AC=AD=AB=1， ，凸多面体 ABCED 的体积为 ，2BC21F 为 BC 的中点.（1）求证：AF平面 BDE；（2）求证：平面 BDE平面 BC
9、E.20.（本小题满分 12 分）已知 A、B 分别是椭圆 的左右顶点，右焦点与抛物线 的焦点 F 重合.)0(1:2bayxC xy42（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知点 P 是椭圆 C 上异于 A、B 的动点，直线 l 过点 A 且垂直于 x 轴，若过 F 作直线 FQ 垂直于AP，并交直线 l 于点 Q，证明：Q、P、B 三点共线.21.（本小题满分 12 分）已知函数 .Raxxf ,1)(ln)(请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，正方形 ABCD 边长为 2，以 D 为圆心
10、，DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F，连接CF 并延长交 AB 于点 E.（1）求证：AE=EB；（2）求 的值.FCE23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，直线 l 与曲线tyx32交于 A， B 两点.1)2(:xyC（1）求 的长；B（2）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标为 ，求点 P 到线段)43,2(AB 中点 M 的距离.24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 ，不等式 f(x)4 的解集为 M.1)(xxf（
11、1）求 M；（2）当 时，证明： .ba, ab42炎德 英才大联考长沙市一中 2016 届高三月考试卷（五）数学（文科）答案1、选择题CABBD DBDCA CD2、填空题13.0.75 【解析】由题意知模拟射击 4 次的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数，在 20 组随机数中表示射击4 次击中 3 次的有：7527 0293 9857 0347 4373 8636 6947 46986233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共 15 组随机数，所以所求概率为 0.75.14.29【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影所示， 表示的几何意义是点(x,y)到
12、(0,0) 距离的平方，由2yx图可知，点 A 到原点的距离最远， ，得 ， .03yx5295)(2max2y15. 31【解析】设准线与 y 轴的交点为 P，则 ，又 F(0,1)，所以直线 ，当 y=-1 时，NFM12:yxFA，即 ，所以 ，即 FM：MN 的值是 .24x)1,(N3124316. 2016)(e【解析】函数 ， ，)cos(in)xxf xexexefx sin2)co(sin)co(sin)( 时原函数递增， 时，函数递减，故当 时，f(x)2,(kx 2,2k k解答题17.解：（1）建立 列联表2第一时间收看 不在第一时间收看 合计女性 15 5 20男性
13、10 20 30合计 25 25 50.3 分，3.8)()(22 dbcabn故有 99.5%的把握认为“是否喜欢第一时间收看该类节目与性别有关”. . .6 分（2）所有的三人一组的分组有（ABC）、（ABD）、（ABE）、（ACD）、（ACE）、（ADE ）、（BCD）、（BCE）、（BDE）、（CDE）共 10 个基本事件， .9 分其中 AB 同组的有（ABC ）、（ABD）、（ABE）、（CDE）四个基本事件，故所求概率为 . 52.12 分18.解：（1）由 ，得 . .2 分23713 ， ， ， . .4 分2301x1x42103x又 . .6 分)32sin()(,03x
14、xfBA（2）将 f(x)的图象向右平移 个单位得到函数 ，xg2sin3(由于 g(x)在 （其中 ）上的值域为 ，则 ，,mx)4,( ,3m故最高点为 ，最低点为 . .9 分)31(P3Q则 ， ，则 ，故 . .12 分,OQ)2,(2cosQPO6519.证明：（1）AD平面 ABC，CE平面 ABC，四边形 ACED 为梯形，且平面 ABC平面ACED， ， ， .1 分22ABCC平面 ABC 平面 ACED=AC，AB平面 ACED，即 AB 为四棱锥 B-ACED 的高， .2 分 ，2112331 ）（ EABSVCEDAEBCE=2， .3 分作 BE 的中点 G，连接
15、 GF，GD，GF 为三角形 BCE 的中位线，GFECDA ， ， .5 分F21四边形 GFAD 为平行四边形，AFGD，又 GD 平面 BDE， 平面 BDE，AFAF平面 BDE. .7 分（2）AB=AC，F 为 BC 的中点， AF BC ，又 GFAF，AF平面 BCE， .10 分AFGD，GD平面 BCE，又 GD 平面 BDE，平面 BDE平面 BCE. .12 分20.解：（1）抛物线的焦点 F(1,0)， ，a=2， ，椭圆方程为 . .4 分2e322cab 1342yx（2）由（1）知直线 l 的方程为 x=-2，点 P 异于 A，B，直线 AP 的斜率存在且不为
16、0，设 AP 的方程为 ，)0(2kxy联立 得 ，)(1342xky 01261)4(22 kx， ， .26AP24386kP243kyP又QFAP， ，直线 QF 的方程为 ，kQF1)1(x联立 ，解得交点 ， ， ，2)(xy)3,2(kkkPQ43286kBQ4320即 ，有公共点 Q，所以 Q，P，B 三点共线. .12 分PQBk21.解：（1） ，2222 )1()1()1()( xaxaxaxf由题意知 ，代入得 ，经检验，符合题意.02f49从而切线斜率 ，切点为(1,0)，切线方程为 x+8y-1=0. .3 分8)1(fk（2） ，因为 f(x)在 上为单调增函数，22)()(xaf ),0(所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立.0xf,12xax),0(当 时，由 ，得 .),(01)2(ax设 ， .,01xg 2xxg所以当且仅当 ，即 x=1 时，g(x)有最小值 2.x
