1、2015-2016 学年湖南省衡阳四中高三（上）10 月月考数学试卷（理科）一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分）1设集合 A=x|x210，B=x|x+2 0，则 AB=（ ）Ax|1x 1 Bx|x 2 Cx| 2x1 Dx|1x22已知实数 x、y 满足 axa y（a 1） ，则下列关系恒成立的是（ ）Ax 3y 3 Btanx tanyCln（x 2+1） ln（y 2+1） D 3函数 y= 的定义域为（ ）A （0，1） B0，1） C （0，1 D0 ，14设集合 M=x|2x3， P=x|x1，那么“ xM 或 xP”是“ xMP”的（ ）A必要不充
2、分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5设 a=log2，b=log ，c= 2，则（ ）Aabc Bba c Ca cb Dcba6若 S1= x2dx，S 2= dx，S 3= exdx，则 S1，S 2，S 3 的大小关系为（ ）AS 1S 2S 3 BS 2S 1S 3 CS 2S 3S 1 DS 3S 2S 17已知函数 f（x）= ，若 f（a）= ，则 a 的值为（ ）A2 或 B C 2 D8函数 f（x）的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称，则 f（x）=（ ）Ae x+1 Be x1 Ce x+1 De x19已知函数
3、，g（x）=e x，则函数 F（x）=f（x）g（x）的图象大致为（ ）A B C D10已知函数 f（x）= ，且 g（x）=f（x）mx m 在（1，1 内有且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是（ ）A （ ， 2（0， B （ ，2（0， C （ ，2（0， D （ ，2 （0， 11已知函数 f（x）= ，若|f（x）| ax，则 a 的取值范围是（ ）A （，0 B （ ，1 C2，1 D 2，012已知 a 为常数，函数 f（x）=x（lnxax ）有两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） （ ）A BC D二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）
4、13 （ ） +log3 +log3 = 14曲线 y=5ex+3 在点（0， 2）处的切线方程为 15已知 ，则 值为 16设函数 f（x）=lnx ax，g （x）=e xax，其中 a 为实数若 f（x）在（1，+）上是单调减函数，且g（x）在（1，+）上有最小值，则 a 的取值范围是 三、解答题（本题共 6 道小题，第 17 题 10 分，第 18.19.20.21.22 每题 12 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】17在平面直角坐标系中，坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 上两点M，N 的极坐标分别为（2，0） ， （ ， ） 圆 C 的参数方
5、程为 ， （ 为参数） （）设 P 为线段 MN 的中点，求直线 OP 的平面直角坐标方程；（）判断直线 l 与圆 C 的位置关系18已知函数 f（x）=2cosx（ sinx+cosx） （）求 f（ ）的值；（）求函数 f（x）的最小正周期及单调递增区间19已知函数 f（x）=x 32tx2x+1（t R）且 f（1）=0（）求函数 f（x）的解析式；（）求函数 f（x）的极值20已知函数 f（x）= + lnx ，其中 aR，且曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线垂直于直线y= x（）求 a 的值；（）求函数 f（x）的单调区间与极值21已知函数 f（x）=2x 33x（）求
6、 f（x）在区间2，1 上的最大值；（）若过点 P（1，t ）存在 3 条直线与曲线 y=f（x）相切，求 t 的取值范围22已知函数 f（x）=ax 2+1（a 0） ，g（x）=x 3+bx（1）若曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求 a、b 的值；（2）当 a2=4b 时，求函数 f（ x）+g （x）的单调区间，并求其在区间（，1）上的最大值2015-2016 学年湖南省衡阳四中高三（上）10 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分）1设集合 A=x|x210，B=x|x+2 0，
7、则 AB=（ ）Ax|1x 1 Bx|x 2 Cx| 2x1 Dx|1x2【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：由 A 中不等式变形得：（ x+1） （x 1）0，解得：1x 1，即 A=x|1x1，由 B 中不等式解得：x 2，即 B=x|x2，则 AB=x|1x1 ，故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知实数 x、y 满足 axa y（a 1） ，则下列关系恒成立的是（ ）Ax 3y 3 Btanx tanyCln（x 2+1） ln（y 2+1） D
8、【考点】不等关系与不等式；指数函数的图像与性质【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】实数 x、y 满足 axa y（a 1） ，可得 xyA利用 y=x3 在 R 上单调递增，即可判断出；B取 x= ，y= ，即可判断出；C取 x=2，y= 1，即可判断出；D取 x=0，y=1，即可判断出【解答】解：实数 x、y 满足 axa y（a 1） ，xy对于 A利用 y=x3 在 R 上单调递增，可得 x3y 3，正确；对于 B取 x= ，y= ，但是 tanx=1， ，tanxtany 不成立；对于 C取 x=2，y= 1，ln（x 2+1）ln（y 2+1）不成立；对于 D取 x=
9、0，y=1， ，不成立故选：A【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题3函数 y= 的定义域为（ ）A （0，1） B0，1） C （0，1 D0 ，1【考点】函数的定义域及其求法【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由函数的解析式可直接得到不等式组 ，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项【解答】解：由题意，自变量满足 ，解得 0x1，即函数 y= 的定义域为0，1）故选 B【点评】本题考查函数定义域的求法，理解相关函数的定义是解题的关键，本题是概念考查题，基础题4设集合 M=x|2x3， P=x|x1，那么“ xM 或 xP”是“ xMP”的（ ）A
10、必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合集合的基本运算进行判断即可【解答】解：M=x|2x3 ，P=x|x 1，MP=x|x3，M P=x|2x 1，则 MPMP，即“x M 或 xP”是“ xMP”的必要不充分条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件判断，根据集合的交集和并集进行运算是解决本题的关键5设 a=log2，b=log ，c= 2，则（ ）Aabc Bba c Ca cb Dcba【考点】对数值大小的比较【专题】函数的性质及应用【分析】根据对数函数
11、和幂函数的性质求出，a，b，c 的取值范围，即可得到结论【解答】解：log 21，log 0，0 21，即 a1，b0，0c 1，acb，故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础6若 S1= x2dx，S 2= dx，S 3= exdx，则 S1，S 2，S 3 的大小关系为（ ）AS 1S 2S 3 BS 2S 1S 3 CS 2S 3S 1 DS 3S 2S 1【考点】微积分基本定理【专题】导数的概念及应用【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可【解答】解：由于 S1= x2dx= | = ，S2= dx=ln
12、x| =ln2，S3= exdx=ex| =e2e且 ln2 e 2e，则 S2S 1S 3故选：B【点评】本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力属于基础题7已知函数 f（x）= ，若 f（a）= ，则 a 的值为（ ）A2 或 B C 2 D【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】由 f（a）= 得到关于 a 的两个等式，在自变量范围内求值【解答】解：因为 f（a）= ，所以 ，或者 ，解得 a= 或者 a=2；故选 B【点评】本题考查了分段函数的函数值；只要由 f（a）= 得到两个方程，分别解之即可；注意解得的自变量要在对应的自变量范围内8函数 f
13、（x）的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称，则 f（x）=（ ）Ae x+1 Be x1 Ce x+1 De x1【考点】函数的图象与图象变化；函数解析式的求解及常用方法【专题】函数的性质及应用【分析】根据题意得出 y=ex，关于 y 轴对称，再向左平移 1 个单位即可，运用规律求解得出解析式【解答】解：y=e x 关于 y 轴对称得出 y=ex，把 y=ex 的图象向左平移 1 个单位长度得出 y=e（x+1 ） =ex1，f（x）=e x1，故选：D【点评】本题考查了函数图象的对称，平移，运用规律的所求函数即可，难度不大，属于容易题9已知函数 ，g（x）=
14、e x，则函数 F（x）=f（x）g（x）的图象大致为（ ）A B C D【考点】函数的图象【专题】数形结合【分析】利用函数 f（x） ，g（ x）的图象性质去判断【解答】解：方法 1：因为 为奇函数，g（x）=e x，为非奇非偶函数，所以 F（x）为非奇非偶函数，所以图象不关于原点对称，所以排除 A，B当 x0 时，f（x）=1，所以此时 F（x）=e x，为递增的指数函数，所以排除 D，选 C方法 2：因为 F（x）= ，所以对应的图象为 C故选 C【点评】本题主要考查函数图象的识别，函数的图象识别一般是通过函数的性质来确定的，要充分利用好函数自身的性质，如定义域，单调性和奇偶性以及特殊点
15、的特殊值来进行判断10已知函数 f（x）= ，且 g（x）=f（x）mx m 在（1，1 内有且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是（ ）A （ ， 2（0， B （ ，2（0， C （ ，2（0， D （ ，2 （0， 【考点】分段函数的应用【专题】函数的性质及应用【分析】由 g（x）=f（x）mxm=0，即 f（x）=m（x+1） ，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由 g（x）=f（x）mx m=0，即 f（x）=m（x+1） ，分别作出函数 f（x）和 y=h（x）=m （x+1）的图象如图：由图象可知 f（1）=1，h（x）表示过定点 A（1，0）的直线
16、，当 h（x）过（1，1）时，m= 此时两个函数有两个交点，此时满足条件的 m 的取值范围是 0m ，当 h（x）过（0，2）时，h（ 0）=2，解得 m=2，此时两个函数有两个交点，当 h（x）与 f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时 ，即 m（x+1） 2+3（x+1） 1=0，当 m=0 时，x= ，只有 1 解，当 m0，由=9+4m=0 得 m= ，此时直线和 f（x）相切，要使函数有两个零点，则 m 2 或 0m ，故选：A【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法11已知函数 f（x）= ，若|f（x）| ax，则 a 的取值范围是（ ）A （
17、，0 B （ ，1 C2，1 D 2，0【考点】其他不等式的解法【专题】压轴题；不等式的解法及应用【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数 y=|f（x）| 的图象，和函数 y=ax 的图象，由导数求切线斜率可得 l 的斜率，进而数形结合可得 a 的范围【解答】解：由题意可作出函数 y=|f（x）| 的图象，和函数 y=ax 的图象，由图象可知：函数 y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于 l 和 x 轴之间符合题意，直线 l 为曲线的切线，且此时函数 y=|f（x）| 在第二象限的部分解析式为 y=x22x，求其导数可得 y=2x2，因为 x0，故 y2，故直线 l 的
18、斜率为 2，故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于 2 与 0 之间即可，即 a2，0故选：D【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题12已知 a 为常数，函数 f（x）=x（lnxax ）有两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） （ ）A BC D【考点】利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件【专题】压轴题；导数的综合应用【分析】先求出 f（x） ，令 f（x）=0，由题意可得 lnx=2ax1 有两个解 x1，x 2函数 g（x）=lnx+12ax 有且只有两个零点g （x）在（0，+）上的唯一的极值不等于 0利用导数与函数极值的关系即可得出【解答】
19、解：f（x）=lnx+1 2ax， （x0）令 f（x）=0，由题意可得 lnx=2ax1 有两个解 x1，x 2函数 g（x）=lnx+12ax 有且只有两个零点g （x）在（0，+）上的唯一的极值不等于 0当 a0 时，g（x）0，f（x）单调递增，因此 g（x）=f （x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去当 a0 时，令 g（x）=0，解得 x= ，x ，g（x）0，函数 g（x）单调递增； 时，g （x）0，函数g（x）单调递减x= 是函数 g（x）的极大值点，则 0，即 0，ln（2a）0 ，02a1，即 故当 0a 时，g（x）=0 有两个根 x1，x 2，且 x1 x 2，又
20、g（1）=12a0，x 11 x 2，从而可知函数 f（x）在区间（0，x 1）上递减，在区间（x 1，x 2）上递增，在区间（x 2，+）上递减 f（x 1）f （1）=a 0，f（x 2）f（1）=a 故选：D【点评】本题考查了利用导数研究函数极值的方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （ ） +log3 +log3 = 【考点】对数的运算性质【专题】计算题；规律型；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可【解答】解：（ ） +log3 +log3 = +log35log34+log34log35= 故答案为： 【点评】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，考查计算能力14曲线 y=5ex+3 在点（0， 2）处的切线方程为 5x+y+2=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可【解答】解：y= 5ex，y| x=0=5因此所求的切线方程为：y+2=5x，即 5x+y+2=0故答案为：5x+y+2=0【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题
