1、2015-2016 学年福建省厦门六中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1设集合 A=x|1x4，B= 1，1，2，4 ，则 AB=（ ）A1 ，2 B1，4 C1，2 D2 ，42在复平面内，复数（4+5i）i （i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3若 ， 为平面向量，则“ = ”是“| |=| |”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4曲线 y=ax3+bx1 在点（1，f（1） ）处
2、的切线方程为 y=x，则 ba=（ ）A3 B2 C 3 D45设 a=log3 ，b=（ ） 0.3，c=log 2（log 2 ） ，则（ ）Abca Ba bc Cca b D ac b6已知数列a n满足 a1=1， an1=2an（n2，n N+） ，则数列 an的前 6 项和为（ ）A63 B127 C D7函数 的图象如图所示， =（ ）A8 B8 C D8已知平行四边形 ABCD 的对角线分别为 AC，BD，且 =2 ，点 F 是 BD 上靠近 D 的四等分点，则（ ）A = B = C = D = 9设函数 f（x）= 的最小值为 1，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa2 B
3、a2 C a Da10设命题 p：函数 y=sin（2x+ ）的图象向左平移 个单位长度得到的曲线关于 y 轴对称；命题 q：函数 y=|3x1|在 1，+）上是增函数则下列判断错误的是（ ）Ap 为假 Bq 为真 Cp q 为假 Dp q 为真11已知数列a n的前 n 项和为 ，令 ，记数列b n的前 n 项为 Tn，则T2015=（ ）A2011 B2012 C2013 D201412若偶函数 y=f（x） ，xR，满足 f（x+2）=f（x） ，且 x0，2 时，f （x）=3 x2，则方程 f（x）=sin|x| 在10，10 内的根的个数为（ ）A12 B10 C9 D8二、填空题
4、：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知 ， 均为单位向量， ， =60，那么| +3 |= 14若等比数列a n的各项均为正数，且 a10a11+a9a12=2e5，则 lna1+lna2+lna20= 15北京 2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度 15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和 30，第一排和最后一排的距离为 米（如图所示） ，则旗杆的高度为 米16已知函数 ， 若x 11，2， x21，1使 f（x 1）g（x 2） ，则实数m 的取值范围是 三、解答题（本题共 6 小题，共 74 分 ）17 （选
5、修 44：坐标系与参数方程）已知曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 =2sin（）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（）求 C1 与 C2 交点的极坐标（0，02）18已知 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，且 a2=4，S 4=20（）求数列a n的通项公式；（）设 ，求数列b n的前 n 项和19已知函数 f（x）=cos 2（ x+ ） ，g（x）=1+ sin2x（1）设 x0 是函数 y=f（x）的一个零点，求 g（x 0）的值；（2）求函数 h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间20
6、在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，已知 cos2A3cos（B+C）=1（）求角 A 的大小；（）若ABC 的面积 S=5 ，b=5，求 sinBsinC 的值21已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ，且经过点 M （）求椭圆 C 的方程；（）是否存过点 P（2，1）的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A，B ，满足 ？若存在，求出直线 l1 的方程；若不存在，请说明理由22设函数 f（x）=axlnx，g （x）=e xax，其中 a 为正实数（l）若 x=0 是函数 g（x）的极值点，讨论函数 f（x）的单调性；（2）若 f（x）在（1，
7、+）上无最小值，且 g（x）在（1，+）上是单调增函数，求 a 的取值范围；并由此判断曲线 g（x）与曲线 y= ax2ax 在（1，+ ）交点个数2015-2016 学年福建省厦门六中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1设集合 A=x|1x4，B= 1，1，2，4 ，则 AB=（ ）A1 ，2 B1，4 C1，2 D2 ，4【考点】交集及其运算【分析】由 A 与 B，求出两集合的交集即可【解答】解：A=x| 1x4 ，B= 1，1，2，4 ，AB=1，2，故选：A
8、2在复平面内，复数（4+5i）i （i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出【解答】解：复数（4+5i ）i=5+4i 的共轭复数为 54i 对应的点（ 5，4）位于第三象限，故选：C3若 ， 为平面向量，则“ = ”是“| |=| |”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】结合向量相等和向量长度之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行
9、判断【解答】解：若 = ，则| |=| |成立若| |=| |，则 或 = 所以“ = ”是“| |=| |”充分不必要条件故选 A4曲线 y=ax3+bx1 在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y=x，则 ba=（ ）A3 B2 C 3 D4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】欲求函数 f（x）的解析式中的 a，b 的值，只须求出切线斜率的值， f（1）的值，再列出方程组求解即可【解答】解：由题意得：f（x）=3ax 2+b，由题知：则 ba= =3，故选 C5设 a=log3 ，b=（ ） 0.3，c=log 2（log 2 ） ，则（ ）Abca Ba bc Cca b D
10、ac b【考点】对数值大小的比较【分析】由已知条件利用对数单调性比较大小【解答】解：a=log 3 =1，0b=（ ） 0.3（ ） 0=1，c=log2（log 2 ）= =1，acb故选：D6已知数列a n满足 a1=1， an1=2an（n2，n N+） ，则数列 an的前 6 项和为（ ）A63 B127 C D【考点】等比数列的前 n 项和【分析】利用等比数列的前 n 项和公式即可得出【解答】解：a n1=2an（n 2，nN +） ， = ，数列 an是等比数列，首项 a1=1，公比为 ，S6= = 故选：C7函数 的图象如图所示， =（ ）A8 B8 C D【考点】平面向量数量积
11、的坐标表示、模、夹角；由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】通过函数的图象求出函数的周期，确定 ，利用 2 += 求出 ，然后求出 ， ，求出 即可【解答】解：由图可知 = = T=，=2，又 2 += ，从而 A（ ，0） ，B （ ，2） ，D（ ，2） ，=（ ，2） ， =（ ，4） ， = 8故选 C8已知平行四边形 ABCD 的对角线分别为 AC，BD，且 =2 ，点 F 是 BD 上靠近 D 的四等分点，则（ ）A = B = C = D = 【考点】向量加减混合运算及其几何意义【分析】 =2 ，点 F 是 BD 上靠近 D 的四等分点，可得 = ， = ， =
12、= +，又 ， ，代入化简即可得出【解答】解： =2 ，点 F 是 BD 上靠近 D 的四等分点， = ， = ， = = + ， ， ， = += 故选：C9设函数 f（x）= 的最小值为 1，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa2 Ba2 C a Da【考点】函数的最值及其几何意义【分析】运用指数函数的单调性和二次函数的单调性，分别求出当 x 时，当 x 时，函数的值域，由题意可得 a 的不等式，计算即可得到【解答】解：当 x 时，f（x）=4 x323=1，当 x= 时，取得最小值 1；当 x 时，f（x）=x 22x+a=（x1） 2+a1，即有 f（x）在（， ）递减，则 f（x）f
13、（ ）=a ，由题意可得 a 1，解得 a 故选：C10设命题 p：函数 y=sin（2x+ ）的图象向左平移 个单位长度得到的曲线关于 y 轴对称；命题 q：函数 y=|3x1|在 1，+）上是增函数则下列判断错误的是（ ）Ap 为假 Bq 为真 Cp q 为假 Dp q 为真【考点】命题的真假判断与应用；函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据函数 y=sin（2x+ ）的图象变换规律判断命题 P 是否正确；将含有绝对值符合的函数转化为分段函数求单调区间，来判断命题 q 是否正确；再利用复合命题真值表分析求解【解答】解：函数 的图象向左平移 单位得到的函数是 y=sin（2x+ ）
14、 ，函数不是偶函数，命题 P 错误；函数 y=|3x1|= ，函数在（0，+）上是增函数，在（ ，0）上是减函数，故命题 q 错误根据复合命题真值表，A 正确； B 正确；C 正确；D 错误故选 D11已知数列a n的前 n 项和为 ，令 ，记数列b n的前 n 项为 Tn，则T2015=（ ）A2011 B2012 C2013 D2014【考点】数列的求和【分析】利用“当 n=1 时，a 1=S1当 n2 时，a n=SnSn1”可得 an，于是 =2（n1）cos 由于函数 y=cos 的周期 T= =4利用周期性和等差数列的前 n 项和公式即可得出【解答】解：由数列a n的前 n 项和
15、Sn=n2n，当 n=1 时，a 1=S1=11=0当 n2 时，a n=SnSn1=n2n（n1） 2（n1）=2n2上式对于 n=1 时也成立an=2n2 =2（n1）cos 函数 y=cos 的周期 T= =4T2015=（b 1+b5+b2009）+（b 2+b6+b2010）+（b 3+b7+b2011）+（b 4+b8+b2012）+b 2013+b2014+b2015=02（1+5+2009）+0+2（3+7+2011）+4024cos +4026cos +4028cos=4503+04026=2014故选 D12若偶函数 y=f（x） ，xR，满足 f（x+2）=f（x） ，且
16、 x0，2 时，f （x）=3 x2，则方程 f（x）=sin|x| 在10，10 内的根的个数为（ ）A12 B10 C9 D8【考点】函数奇偶性的性质【分析】确定函数 y=f（x） （x R）是周期为 4 函数，再作出函数的图象，即可得出结论【解答】解：因为 f（x+2 ）= f（x） ，所以 f（x+4）= f（x+2）=f（x）所以函数 y=f（x） （xR）是周期为 4 函数，因为 x0，2时，f（x）=3 x2，所以作出它的图象，则 y=f（x）的图象如图所示：（注意拓展它的区间）再作出函数 f（x）=sin|x|在10，10内的图象，方程 f（x）=sin|x|在 10，10内的
17、根的个数为 10，故选：B二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知 ， 均为单位向量， ， =60，那么| +3 |= 【考点】平面向量数量积的运算【分析】 ， 均为单位向量，则它们的模都是 1，要求向量| +3 |的模，可求其平方，然后利用向量模的平方等于向量的平方，展开后再利用平面向量的数量积运算求解【解答】解： ， 均为单位向量， 又 ， =60 ， = = 故答案为： 14若等比数列a n的各项均为正数，且 a10a11+a9a12=2e5，则 lna1+lna2+lna20= 50 【考点】等比数列的性质【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到 a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案【解答】解：数列a n为等比数列，且 a10a11+a9a12=2e5，a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，a10a11=e5，lna1+lna2+lna20=ln（a 1a2a20）=ln（a 10a11） 10=ln（e 5） 10=lne50=50故答案为：5015北京 2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度 15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和 30，第一排和最后一排的距离为 米（如图所示） ，则旗杆的高度为 30 米
