1、2015-2016 学年湖南省衡阳四中高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分）1设 i 为虚数单位，复数 z1=3ai，z 2=1+2i，若 是纯虚数，则实数 a 的值为( )A B C 6 D62钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“ 好货” 是“不便宜”的( )A充分条件 B必要条件C充分必要条件 D既非充分又非必要条件3已知数列a n满足 3an+1+an=0，a 2= ，则a n的前 10 项和等于( )A6（ 1310） B C3（1 310） D3（1+3 10）4在ABC，内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c
2、asinBcosC+csinBcosA= b，且 ab，则 B=( )A B C D5已知向量 =（+1 ，1） ， =（ +2，2） ，若（ + ）（ ） ，则 =( )A4 B3 C 2 D16等差数列a n中，a 1+a4+a7=39，a 3+a6+a9=27，则数列a n前 9 项的和 S9 等于( )A99 B66 C144 D2977已知曲线 y=x4+ax2+1 在点（1，a+2）处切线的斜率为 8，a=( )A9 B6 C 9 D68若存在正数 x 使 2x（xa ）1 成立，则 a 的取值范围是( )A （，+） B （ 2，+ ） C （0，+） D （1，+）9已知函数
3、f（x）= sinx+cosx（ 0） ，y=f（x）的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于，则 f（x）的一条对称轴是( )Ax= Bx= Cx= Dx=10已知实数 a，b，c ，d 成等差数列，且曲线 y=3xx3 的极大值点坐标为（b，c） ，则 a+d 等于( )A2 B2 C 3 D311x 为实数，x 表示不超过 x 的最大整数，则函数 f（ x）=xx在 R 上为( )A奇函数 B偶函数 C增函数 D周期函数12已知函数 f（x）=x（lnxax）有两个极值点，则实数 a 的取值范围是( )A （，0） B （0， ） C （0，1） D （0，+ ）二.填空题（本题共
4、 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分13若向量 ， 满足| |=| |=| + |=1，则 的值为_14在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+b 是曲线 y=alnx 的切线，则当 a0 时，实数 b 的最小值是_15等比数列a n的各项均为正数，且 a1a5=4，则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=_16在 R 上定义运算：xy=x（1y） 若不等式（x a） （x+a）1，对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_三解答题（本题共 6 道小题，第 17 题 10 分，第 18，19，20，21，22 题 12 分17在ABC 中，a
5、 ，b，c 分别为内角 A，B ，C 的对边，面积 S= abcosC（1）求角 C 的大小；（2）设函数 f（x）= sin cos +cos2 ，求 f（B）的最大值，及取得最大值时角 B 的值18设ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c ， =（cosA ，cosC） ， =（ c2b， a） ，且 （1）求角 A 的大小；（2）若 a=b，且 BC 边上的中线 AM 的长为 ，求边 a 的值19已知数列a n是首项为 1，公差不为 0 的等差数列，且 a1，a 2，a 5 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn= ，S n 是数列b n的前 n 项和，
6、求证：S n 20某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示） ，该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成按设计要求扇环面的周长为 30 米，其中大圆弧所在圆的半径为 10 米设小圆弧所在圆的半径为 x 米，圆心角为 （弧度） （1）求 关于 x 的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分的装饰费用为 9 元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并求出 x 为何值时，y 取得最大值？21已知函数 （I）判断函数 f（x）的单调性；（）若 y=xf（x）+ 的图象总在
7、直线 y=a 的上方，求实数 a 的取值范围；（）若函数 f（x）与 的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数 m 的值22已知函数 f（x）= x2+x+alnx（a R） （1）对 a 讨论 f（x）的单调性；（2）若 x=x0 是 f（x）的极值点，求证：f（x 0） 2015-2016 学年湖南省衡阳四中高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分）1设 i 为虚数单位，复数 z1=3ai，z 2=1+2i，若 是纯虚数，则实数 a 的值为( )A B C 6 D6【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【专题】数系的扩充和
8、复数【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于 0 且虚部不等于 0 求得 a 的值【解答】解：z 1=3ai，z 2=1+2i，由 = 是纯虚数，得，解得：a= 故选：B【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“ 好货” 是“不便宜”的( )A充分条件 B必要条件C充分必要条件 D既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】压轴题；规律型【分析】 “好货不便宜” ，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若 pq 为真命题，则命
9、题 p 是命题 q 的充分条件；“好货不便宜” ，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件结论故“好货” 是“不便宜”的充分条件故选 A【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题3已知数列a n满足 3an+1+an=0，a 2= ，则a n的前 10 项和等于( )A6（ 1310） B C3（1 310） D3（1+3 10）【考点】等比数列的前 n 项和 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由已知可知，数列a n是以 为公比的等比数列，结合已知 可求 a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：3a n+1+an=0数列 an是以 为公比的等比数列a
10、1=4由等比数列的求和公式可得，S 10= =3（1 310）故选 C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题4在ABC，内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，casinBcosC+csinBcosA= b，且 ab，则 B=( )A B C D【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数 【专题】解三角形【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据 sinB 不为 0，两边除以 sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出 sinB 的值，即可确定出 B 的度数【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= si
11、nB，sinB0， sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB= ，ab，A B，即 B 为锐角，则B= 故选 A【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键5已知向量 =（+1 ，1） ， =（ +2，2） ，若（ + ）（ ） ，则 =( )A4 B3 C 2 D1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【专题】平面向量及应用【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解： ， =（2 +3，3） ， ， =0，（2+3）3=0，解得 =3故选 B【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量
12、积的关系是解题的关键6等差数列a n中，a 1+a4+a7=39，a 3+a6+a9=27，则数列a n前 9 项的和 S9 等于( )A99 B66 C144 D297【考点】等差数列的前 n 项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质可得 a4=13，a 6=9，可得 a4+a6=22，再由等差数列的求和公式和性质可得 S9=，代值计算可得【解答】解：由等差数列的性质可得 a1+a7=2a4，a 3+a9=2a6，又 a1+a4+a7=39，a 3+a6+a9=27，a1+a4+a7=3a4=39，a 3+a6+a9=3a6=27，a4=13， a6=9， a4+a6=22，
13、数列 an前 9 项的和 S9= = = =99故选：A【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题7已知曲线 y=x4+ax2+1 在点（1，a+2）处切线的斜率为 8，a=( )A9 B6 C 9 D6【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】导数的综合应用【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得 a 的值【解答】解：y=x 4+ax2+1，y=4x3+2ax，曲线 y=x4+ax2+1 在点（1，a+2）处切线的斜率为 8，42a=8a=6故选：D【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题8若存在正数 x 使 2x（xa ）1 成立，则
14、 a 的取值范围是( )A （，+） B （ 2，+ ） C （0，+） D （1，+）【考点】其他不等式的解法；函数单调性的性质 【专题】不等式的解法及应用【分析】转化不等式为 ，利用 x 是正数，通过函数的单调性，求出 a 的范围即可【解答】解：因为 2x（xa ）1，所以 ，函数 y= 是增函数，x0，所以 y1，即 a1，所以 a 的取值范围是（1，+） 故选：D【点评】本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力9已知函数 f（x）= sinx+cosx（ 0） ，y=f（x）的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于，则 f（x）的一条对称轴是( )Ax=
15、 Bx= Cx= Dx=【考点】由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数 【专题】三角函数的图像与性质【分析】化简函数 f（x）= sinx+cosx 为 f（x）=2sin（x+ ） ，y=f（x）的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 ，求出函数的周期，推出 ，得到函数解析式，从而可求 f（x）的一条对称轴【解答】解：函数 f（x）= sinx+cosx=2sin（x+ ） ，因为 y=f（x）的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 ，函数的周期 T=，所以 =2，所以 f（x）=2sin（2x+ ） ，因为 2x+ = +k kZ，解得 x=
16、 ，kZ，当 k=0 时，有 x= 故选：D【点评】本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，考察了由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，属于基础题10已知实数 a，b，c ，d 成等差数列，且曲线 y=3xx3 的极大值点坐标为（b，c） ，则 a+d 等于( )A2 B2 C 3 D3【考点】利用导数研究函数的极值；数列与函数的综合 【专题】计算题；函数思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列【分析】先求导数，得到极大值点，从而求得 b，c，再利用等差数列的性质求解【解答】解：曲线 y=3xx3，y=33x 2，令 33x2=0，则 x=1，经检验，x=1 是极大值
17、点极大值为 2b=1，c=2 ，b+c=3又 实数 a，b，c ，d 成等差数列，由等比数列的性质可得：a+d=b+c=3故选：D【点评】本题主要考查求函数极值点及数列的性质的应用，考查计算能力11x 为实数，x 表示不超过 x 的最大整数，则函数 f（ x）=xx在 R 上为( )A奇函数 B偶函数 C增函数 D周期函数【考点】函数的周期性；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【专题】计算题；新定义【分析】依题意，可求得 f（ x+1）=f（x） ，由函数的周期性可得答案【解答】解：f（x）=x x，f（ x+1）=（x+1） x+1=x+1x1=xx=f（x） ，f（ x）=xx 在
18、 R 上为周期是 1 的函数故选：D【点评】本题考查函数的周期性，理解题意，得到 f（x+1）=f（x）是关键，属于基础题12已知函数 f（x）=x（lnxax）有两个极值点，则实数 a 的取值范围是( )A （，0） B （0， ） C （0，1） D （0，+ ）【考点】根据实际问题选择函数类型 【专题】压轴题；导数的综合应用【分析】先求导函数，函数 f（x）=x （lnxax）有两个极值点，等价于 f（x）=lnx 2ax+1 有两个零点，等价于函数 y=lnx 与 y=2ax1 的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象由图可求得实数 a 的取值范围【解答】解：函数 f（x）=x
19、（lnxax） ，则 f（x）=lnx ax+x（ a）=lnx 2ax+1，令 f（x）=lnx2ax+1=0 得 lnx=2ax1，函数 f（x）=x（lnx ax）有两个极值点，等价于 f（x）=lnx2ax+1 有两个零点，等价于函数 y=lnx 与 y=2ax1 的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当 a= 时，直线 y=2ax1 与 y=lnx 的图象相切，由图可知，当 0a 时，y=lnx 与 y=2ax1 的图象有两个交点则实数 a 的取值范围是（0， ） 故选 B【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象
20、思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷二.填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分13若向量 ， 满足| |=| |=| + |=1，则 的值为 【考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】利用向量的数量积运算即可得出【解答】解：向量 ， 满足| |=| |=| + |=1， ，化为 ，即 1 ，解得 故答案为 【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键14在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+b 是曲线 y=alnx 的切线，则当 a0 时，实数 b 的最小值是 1【考点】利用导数研究曲
21、线上某点切线方程 【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】设出曲线上的一个切点为（x，y） ，利用导数的几何意义求切线的坐标，可得 b=alnaa，再求导，求最值即可【解答】解：设出曲线上的一个切点为（x，y） ，由 y=alnx，得 y= ，直线 y=x+b 是曲线 y=alnx 的切线，y= =1，x=a，切点为（a，alna） ，代入 y=x+b，可得 b=alnaa，b=lna+11=0，可得 a=1，函数 b=alnaa 在（0，1）上单调递减，在（ 1，+ ）上单调递增，a=1 时， b 取得最小值 1故答案为：1【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数的运算求出切线斜率
22、，根据切线斜率和导数之间的关系建立方程进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力15等比数列a n的各项均为正数，且 a1a5=4，则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5【考点】等比数列的性质；对数的运算性质；等比数列的前 n 项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】可先由等比数列的性质求出 a3=2，再根据性质化简 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3，代入即可求出答案【解答】解：log 2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log
23、2a3又等比数列a n中，a 1a5=4，即 a3=2故 5log2a3=5log22=5故选为：5【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易16在 R 上定义运算：xy=x（1y） 若不等式（x a） （x+a）1，对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 【考点】函数恒成立问题 【专题】计算题；新定义【分析】利用新定义的运算：x y=x（1y） ，将不等式转化为二次不等式，解决恒成立问题转化成图象恒在 x 轴上方，从而有0，解 0 即可【解答】解：根据运算法则得（xa ）（x+a）=（xa） （1xa）1化简得 x2xa2+a+10 在 R 上恒成立，即 0，解得 a故答案为【点评】本题的考点是函数恒成立问题，主要考查了函数恒成立问题，题目比较新颖，关键是理解定义了新的运算，掌握恒成立问题的处理策略，属于中档题
