1、徐老师初中数学工作室 教你巧用模型解题法快速提分 第 1 页（共 9 页）地址：定淮门大街 18 号 1 栋 3 单元 401 室 电话：13770713276（徐老师）九年级上一元二次方程培优练习一选择题（共 2 小题）1关于 x 的方程 a（x+m ） 2+n=0（a，m，n 均为常数，m0）的解是 x1=2，x 2=3，则方程 a（x+m5） 2+n=0 的解是（ ）A x1=2， x2=3B x1=7， x2=2C x1=3，x 2=2Dx1=3，x 2=82已知 是一元二次方程 x2x1=0 较大的根，则下面对 的估计正确的是（ ）A 01 B 11.5 C 1.52 D23二填空题
2、（共 3 小题）3已知 a，b 是方程 x2x3=0 的两个根，则代数式 2a3+b2+3a211ab+5 的值为 4如果关于 x 的一元二次方程 kx2 x+1=0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是 5设 a，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且（a 2+b2） （a 2+b21）=12，则这个直角三角形的斜边长为 三解答题（共 25 小题）6已知ABC 三条边分别为 a，b，c ，且满足 a2+b2+c2=ab+bc+ac，请判断ABC 的形状并证明你的结论7若多项式 x22xy+y2x+y1=0，求 xy 的值8配方法是一种常用的数学方法，用配方法将 62 写成平方形式的方
3、法是：62 =5+12 =（ ） 2+（ ） 22 =（ 1） 2利用这个方法解决：（1）5+2 =（ ） 2，52 =（ ） 2；徐老师初中数学工作室 教你巧用模型解题法快速提分 第 2 页（共 9 页）地址：定淮门大街 18 号 1 栋 3 单元 401 室 电话：13770713276（徐老师）（2）化简 ；（3）当 1x2 时，化简 9关于 x 的方程（m 28m+19）x 22mx13=0 是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：甲同学认为：原方程中二次项系数与 m 有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；乙认为：原方程序中二次项系数 m28m+19 肯定不会等
4、于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程你认为甲、乙两同学的意见，谁正确？证明你的结论10 “a20”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2 ） 2+1，（x+2） 20，（x+2） 2+11， x2+4x+51试利用“配方法” 解决下列问题：（1）填空：x 24x+5=（x ） 2+ ；（2）已知 x24x+y2+2y+5=0，求 x+y 的值；（3）比较代数式：x 21 与 2x3 的大小11阅读材料：把形如 ax2+bx+c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的
5、逆写，即 a22ab+b2=（ab） 2例如：（x1） 2+3、 （x2） 2+2x、 + 是 x22x+4 的三种不同形式的配方（即“ 余项 ”分别是常数项、一次项、二次项 见横线上的部分） 徐老师初中数学工作室 教你巧用模型解题法快速提分 第 3 页（共 9 页）地址：定淮门大街 18 号 1 栋 3 单元 401 室 电话：13770713276（徐老师）请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出 x24x+9 三种不同形式的配方；（2）将 a2+ab+b2 配方（至少两种不同形式） ；（3）已知 a2+b2+c2ab3b2c+4=0，求 a+b+c 的值12阅读材料：分解因
6、式：x 2+2x3解：x 2+2x3=x2+2x+113=（x 2+2x+1）4=（x+1） 24=（x+1+2） （x+1 2）=（x+3） （x 1）此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法（1）用上述方法分解因式：m 24mn+3n2；（2）无论 m 取何值，代数式 m24m+2015 总有一个最小值，请尝试用配方法求出当 m 取何值时代数式的值最小，并求出这个最小值徐老师初中数学工作室 教你巧用模型解题法快速提分 第 4 页（共 9 页）地址：定淮门大街 18 号 1 栋 3 单元 401 室 电话：13770713276（
7、徐老师）13阅读材料：用配方法求最值已知 x，y 为非负实数，x+y2 0x+y2 ，当且仅当“ x=y”时，等号成立示例：当 x0 时，求 y=x+ +4 的最小值解： +4=6，当 x= ，即 x=1 时，y 的最小值为 6（1）尝试：当 x0 时，求 y= 的最小值（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为 10 万元，每年应缴保险费等各类费用共计 0.4 万元，n 年的保养、维护费用总和为 万元问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用= ）？最少年平均费用为多少万元？14阅读题：一元二次
8、方程 ax2+bx+c=0（其中 a0，c0）的二根为 x1 和 x2，请构造一个新的一元二次方程，使方程的二根适是原方程二根的 3 倍数学老师张老师给出了一种方法是：设新方程的根是 y，则 y=3x，得 x= 代入原方程得 变形得ay2+3by+9c=0 此方程即为所求，这种利用方程根的代换求方程的方法叫换根法解答：（1）已知方程 x2+x2=0，求一个新方程使它的根分别是已知方程的相反数，所求方程为 （2）已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0） ，求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程根的倒数15仿照例子的方法，完成以下表格徐老师初中数学工作室 教你巧用模型解题法快
9、速提分 第 5 页（共 9 页）地址：定淮门大街 18 号 1 栋 3 单元 401 室 电话：13770713276（徐老师）方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解2 3=0 令 =t则 2t3=0t= t= 0 =所以 x=x2 3=0 x2 4=0 16阅读材料：材料 1、若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的两根为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 材料 2、已知实数 m、n 满足 m2m1=0，n 2n1=0，且 mn，求 的值解：由题知 m、n 是方程 x2x1=0 的两个不相等的实数根，根据材料 1 得m+n=1， mn=1 =根据上述材料解决
10、下面问题；（1）一元二次方程 2x2+3x1=0 的两根为 x1、x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= （2）已知实数 m、n 满足 2m22m1=0，2n 22n1=0，且 mn，求 m2n+mn2 的值（3）已知实数 p、q 满足 p2=3p+2，2q 2=3q+1，且 p2q，求 p2+4q2 的值17已知：平行四边形 ABCD 的两边 AB、BC 的长是关于 x 的方程 x2mx+ =0 的两个实数根（1）试说明：无论 m 取何值方程总有两个实数根（2）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；（3）若 AB 的长为 2，那么平行四边形 ABCD 的周长是多少
11、？18关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+1）x+k 2+1=0 有两个不等实根 x1，x 2（1）求实数 k 的取值范围（2）若方程两实根 x1，x 2 满足|x 1|+|x2|=x1x2，求 k 的值徐老师初中数学工作室 教你巧用模型解题法快速提分 第 6 页（共 9 页）地址：定淮门大街 18 号 1 栋 3 单元 401 室 电话：13770713276（徐老师）19 （2015乐山模拟）已知关于 x 的一元二次方程（x k） 22x+2k=0 有两个实数根x1、x 2（1）求实数 k 的取值范围；（2）当实数 k 为何值时，代数式 x12+x22x1x2+1 取得最小值，并求出该
12、最小值20根据题意，列出方程：（1）已知某两位数，个位数字与十位数字之和为 12，个位数字与十位数字之积为 32，求这个两位数；（2）一桌面的长为 6 米，宽为 3 米，铺在桌子上的台布的面积是桌面面积的三倍，并且各边垂下的长度相同，求台布垂下的长度；（3）某校办工厂今年元月份生产桌椅 1000 套，2 月份因春节放假，减产 10%，3 月份，4月份产量逐月上升，4 月份产量达到 1296 套，求 3，4 月份的平均增长率21如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1 米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为 15m3 的无盖长方体箱子，且此长方体箱子
13、的底面长比宽多 2 米，求该长方体的底面宽，若该长方体的底面宽为 x 米：（1）用含 x 的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积（2）请列出关于 x 的方程徐老师初中数学工作室 教你巧用模型解题法快速提分 第 7 页（共 9 页）地址：定淮门大街 18 号 1 栋 3 单元 401 室 电话：13770713276（徐老师）22如图，某旅游景点要在长、宽分别为 20 米、12 米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的 若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的 ，求道路的宽23毕业在即，某商
14、店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花 440 元可以购进 50 本学生纪念品和 10 本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多 8 元（1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？（2）如果商店购进 1200 个学生纪念品，第一周以每个 10 元的价格售出 400 个，第二周若按每个 10 元的价格仍可售出 400 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 100 个，但售价不得低于进价） ，单价降低 x 元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利 2500 元，问第二周每个纪念品的
15、销售价格为多少元？24楚天汽车销售公司 5 月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为 30 万元/辆，若当月销售量超过 5 辆时，每多售出 1 辆，所有售出的汽车进价均降低 0.1 万元/辆根据市场调查，月销售量不会突破 30 台（1）设当月该型号汽车的销售量为 x 辆（x30，且 x 为正整数） ，实际进价为 y 万元/辆，求 y 与 x 的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为 32 万元/辆，公司计划当月销售利润 25 万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价进价）徐老师初中数学工作室 教你巧用模型解题法快速提分 第 8 页（共 9 页）地址：定淮门大街 18 号
16、1 栋 3 单元 401 室 电话：13770713276（徐老师）25如图，长方形 ABCD（长方形的对边相等，每个角都是 90） ，AB=6cm，AD=2cm，动点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，点 P 以 2 厘米/秒的速度向终点 B 移动，点 Q 以 1 厘米/秒的速度向 D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动设运动的时间为 t，问：（1）当 t=1 秒时，四边形 BCQP 面积是多少？（2）当 t 为何值时，点 P 和点 Q 距离是 3cm？（3）当 t= 以点 P、Q、D 为顶点的三角形是等腰三角形 （直接写出答案）26已知：如图，ABC 是边长为 3cm 的等边三角
17、形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都是 1cm/s，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点停止运动，设点 P 的运动时间 t（s） ，解答下列各问题：（1）经过 秒时，求PBQ 的面积；（2）当 t 为何值时，PBQ 是直角三角形？（3）是否存在某一时刻 t，使四边形 APQC 的面积是ABC 面积的三分之二？如果存在，求出 t 的值；不存在请说明理由27如图，在平面直角坐标系中，已知 RtAOB 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上（OAOB） ，且 OA、OB 的长分别是一元二次方程 x214x+48=0 的两个根线
18、段AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于点 C，交 x 轴于点 D，点 P 是直线 CD 上一个动点，点 Q 是直线 AB 上一个动点（1）求 A、B 两点的坐标；（2）求直线 CD 的解析式；（3）在坐标平面内是否存在点 M，使以点 C、P、Q、M 为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为 AB 长？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由徐老师初中数学工作室 教你巧用模型解题法快速提分 第 9 页（共 9 页）地址：定淮门大街 18 号 1 栋 3 单元 401 室 电话：13770713276（徐老师）28. 已知：如图,在 RtABC 中,C=90,AC=6cm,BC=
19、8cm,D、E 分别是 AC、AB的中点,连接 DE,点 P 从点 D 出发,沿 DE 方向匀速运动,速度为 1cm/s；同时,点 Q 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动 ,速度为 2cm/s,当点 P 停止运动时,点 Q 也停止运动连接 PQ,设运动时间为 t（s） （0t 4） 解答下列问题：（1）当 t 为何值时,PQ AB?（2）当点 Q 在 BE 之间运动时,设五边形 PQBCD 的面积为 y（cm2 ）,求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）在（2）的情况下,是否存在某一时刻 t,使 PQ 分四边形 BCDE 两部分的面积之比为 SPQE：S 四边形 PQBCD=1：29?若存在,求出此时 t 的值以及点 E 到 PQ 的距离 h；若不存在,请说明理由
