1、2016 届河南省豫北重点中学高三下学期第二次联考数学（理）试题 数学（理科）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 为虚数单位， ，若 为纯虚数，则复数 的模等于（ ）iaR1i(21)zaiA B C D2362.已知集合 ，集合 ，则 （ ） 210x2ln(3)1xByABA B C D(0,1)(,(,),)3.已知双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上，若双曲线 的一条渐近线与直线 平行，则xC340xy双曲线 的离心率为（ ）CA B C D223234.执行如图所示的
2、程序框图，则输出的结果为（ ）A8 B9 C10 D115.某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从 800 人中抽取 40 人参加某种测试，为此将他们随机编号为 1，2，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 18，抽到的40 人中，编号落在区间 的人做试卷 ，编号落在 的人做试卷 ，其余的人做试卷 ，,0A201,56BC则做试卷 的人数为（ ）CA10 B12 C18 D286.下列命题正确的是（ ）A命题“ ，均有 ”的否定是：“ ，使得 ”；xR230xxR230xB “命题 为真命题”是“命题 为真命题”的充分不必要条件；pqpqC ，使 是幂函数
3、，且函数 在 上单调递增；m2()mf()f0,)D若数据 的方差为 1，则 的方差为 2.123,nxx 123,nxx7.九章算术 “竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第五节的容积为（ ）A 升 B 升 C 升 D1 升677378.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D1613569.已知函数 的图象的相邻两对称轴间的距离为 ，则当 时，()sin3cos(0)fxx2,02x的最大值和单调区间分别为（ ）()fA1， B1 ， C ， D ，,26,23,063,110
4、.设实数 满足约束条件 ，已知 的最大值是 ，则实数 的取值范围是,xy039xyzaxy2aa（ ）A B C D3,11,3(,1(3,)11.已知直线 和圆 相交于 两点，当弦 最短时， 的280mxy22)65xy,ABm值为（ ）A B-6 C 6 D16112.已知函数 ， （ ， 为自然对数的底数）与 的图象上存在关于 轴对2()gxa1xe()2lnhxx称的点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D21,e2,e2,e2,)e第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13.二项式 展开式中含 项的系数是_.61(2)x2x
5、14.已知平面向量 ，满足 ，则 的最大值为 _.,abc 1babcM15.已知 是周期为 2 的奇函数，当 时， ，则 的值为_.(1)fx10x()2()fx3()2f16.等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，且满足 ， ，nnSn 13,ab10S，数列 的前 项和 ，若 对一切正整数 都成立，则 的最小值为_.523abnabnTMn三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17.（本小题满分 12 分）在 中，角 的对边分别是 ，且 .ABC, ,abc3os(23)cosaCbA（1）求角 的大小；（2）求 的取值范围.
6、25cos()sinC18.（本小题满分 12 分）某市于今年 1 月 1 日起实施小汽车限购政策，根据规定，每年发放 10 万个小汽车购买名额，其中电动小汽车占 20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半，政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示.摇号申请意向年龄电动小汽车（人数） 非电动小汽车（人数）竞价（人数）合计30 岁以下（含 30 岁） 50 100 50 20030 至 50 岁（含 50 岁） 50 150 300 50050 岁以上 100 150 50 300合计 200 400 400 1000（1）采取分层抽样的方式从
7、 30 至 50 岁的人中抽取 10 人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的 10 个人中随机抽取 4 人，求其中恰有 2 人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取 4 人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为 ，求X的分布列和数学期望.X19.（本小题满分 12 分）如图所示，在四棱柱 中，底面 是梯形， ，侧面 为菱形，1ABCDABCD/BC1A.1D（1）求证： ；（2）若 ， ，点 在平面 上的射影恰为线段 的中点，求平面2ABC016ABD1AB1AB与平面 所成锐二面角的余弦值.1DC120.（本小题满分 12 分）椭圆 的经过中心的弦称为椭圆的
8、一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为21(0)xyab一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为 .214xy（1）若一条直径的斜率为 ，求该直径的共轭直径所在的直线方程；13（2）若椭圆的两条共轭直径为 和 ，它们的斜率分别为 ，证明：四边形 的面积为定值.ABCD12,kACBD21.（本小题满分 12 分）设函数 ， .2()lnfxaxR（1）求函数 的单调区间；（2）设 ，若对于任意给定的 ，方程 在 内有两个不同的实数1()xge0(,xe0()1()fxg,e根，求 的取值范围.（其中 是自然对数的底数）a请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则
9、按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图所示，在 中， 是 的角平分线， 的外接圆交线段 于点 ， .ABCDABADCBCE3AD（1）求证： ; 3（2）当 时，求 的长.4,23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，当 时，曲线 上对应的点为 ，以原点 为极点，1C431xty0t1CPO以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .x 2C23sin（1）求证：曲线 的极坐标方程为 ；1C3cos4in0（2）设曲线 与曲线 的公共点为 ，求 的值.2,AB
10、P24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .()1fxx（1）解关于 的不等式 ；()4f（2）设 ，试比较 与 的大小.,abyx2()ab4河南省豫北重点中学 2016 届高三下学期第二次联考数学（理科）参考答案一、选择题 1-5.DADCB 6-10.CAADB 11-12.AB二、填空题13. -192 14. 15. 16. 10312三、解答题17.解：（1）由正弦定理可得， ,3sinco2sinco3sincoACBAC从而可得 ， ，3sin()23又 为三角形的内角，所以 ，于是 ，又 为三角形内角，因此， .Bsin0cos26A（2） ，25
11、5cos()ii1incs()16CBB 53sincosisincos13sin()1626BB 由 可知， ，所以 ，从而 ,6A5(0,)6B2(,)31si()(618.解：（1）采取分层抽样的方法从 30 到 50 岁的人中抽到 10 人，从 30 至 50 岁的有 500 人，每个人被抽到的概率为 .105p根据题意得出：电动小汽车，摇号的有 ，1非电动小汽车，摇号的有 ，竞价的有 .03065（2）设电动小汽车摇号的为 ，非电动小汽车，摇号的为 ，竞价的为 ，1a123,b123456,cc选出的 10 个人中随机抽取 4 人总共有 ，其中恰有 2 人有竞价申请意向的有 ，410
12、2C 290C其中恰有 2 人有竞价申请意向的概率为 .97p（3）根据题意得出：样本总人数 1000 人，电动小汽车摇号的有 200 人，非电动小汽车摇号的有 400 人，竞价的有 400 人，总共有 1000 人.用样本估计总体，在全体市民中任意选取 4 人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为 ，服2015p从二项分布 ，摇号申请电动小汽车意向的人数记为 .1(4,)5B(0,1234)X ；04256()PXC；134256()()PXC；29；341()()5625，0PXC 的分布列为0 1 2 3 425659615162或4() 322EX()5EXnp19.解：（1）因为侧面
13、为菱形，所以 ，1AB1AB又 ，所以D1 1()DADBA1cos()cos，1 10AB从而 .1ABD（2）设线段 的中点为 ，连接 ，O1,D由题意知 平面 ，因为侧面 为菱形，所以 ，1BABA1BA故可分别以射线 ，射线 ，射线 为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，xyz Oxyz如图所示，设 ，由 可知 ， ，2DCa016Oa13a所以 ，从而 ， ， ， ，OA(,3)A(,)B1(0,)(0,)D所以 ，由 可得 ，所以 ，1(,30)CBa2BD,2Ca3,2Ca设平面 的一个法向量为 ，由 ， ,1D0(,)mxyz10m0得 ，取 ，则 ， ，所以 ，00
14、32axyaz01030z(3,1)m又平面 的法向量为 ，所以 ，1AB(0,)ODa 3cos, 931ODma故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .1DC1BA39120.解：（1）设斜率为 的与直径平行的弦的端点坐标分别为 ， ，131(,)xy2(,)该弦中点为 ，则有 ， ，(,)xy214xy24xy相减得： ，1221212)()0由于 ， ，且 ，所以得： ，12xy123yx40xy故该直径的共轭直径所在的直线方程为 .40（2）椭圆的两条共轭直径为 和 ，它们的斜率分别为 ，ABCD12,k四边形 显然为平行四边形，设与 平行的弦的端点坐标分别为 ， ，ACBD 1(
15、,)xy2(,)则 ， ，而 ， ，12ykx12ykx214xy214xy，故 ，1221212()()04214kx由 得 的坐标分别为 ，124ykx,AB1221(,)4k1221(,)4k故 ，同理 的坐标分别为 ，2121k,CD22(,)4k 22(,)14k设点 到直线 的距离为 ，四边形 的面积为 ,CABdABS所以， ，12212144kkkd则 212 122 1121218844()644k kkkSdABk，为定值.21.解：（1） ，由 ，得 ，211()xafx()0fx210xa该方程的判别式 ，可知方程 有两个实数根 ，280a21a284又 ，故取 ，当
16、时， ，函数 单调递增；0x24x28(,)4x()0fx()fx当 时， ，函数 单调递减，28(,)a()0f()fx则函数 的单调递增区间是 ；递减区间是 ，()fx28(,)4a28(,)4a（2） ，当 时， ， 是增函数； 1xge0,1)(0gx)时， ， 是减函数，可得函数 在区间 的值域为 ，(1,)xe()(g(0,e(0,1令 ，则 ，由 ，Ffx2 1)xaFxf)Fx结合（1）可知，方程 在 上有一个实数根 ，(0(,)3若 ，则 在 上单调递增，不合题意，3xe)x,e可知 在 有唯一的解 ，(0F(, 2384ax在 上单调递增；在 上单调递减.()x28,)4a2(,)，方程 在 内有两个不同的实数根，所以 ，且0,e0(1()fxg,e()0Femax()1
