1、2016 年安徽省“江南十校”高三联考数学试题（理科）注意事项：1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第 I 卷一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合 ， ，则 中的元素个数为230Ax2BxZ
2、AB(A) (B) (C) (D)2 45（2）若复数 满足 ，则 的实部为z1ii、z(A) (B) (C) (D)2121（3） “ ”是“函数 为奇函数”的=0a()sinfxa(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件（4）已知是双曲线 的一条渐近线， 是上的一点， 是 的两个焦点，2:14xyCP12,FC若 ，则 到 轴的距离为120PFP(A) (B) (C) (D) 322263（5）在平面直角坐标系 中，满足 的点 的集合对应的平xOy1,0xyy(,)Pxy面图形的面积为 ；类似的，在空间直角坐标系 中，满足 ，4Oxyz221xy
3、z的点 的集合对应的空间几何体的体积为0,xyz(,)Pxyz(A) (B) (C) (D) 8643（6）在数列 中， ， 为 的前 项和.若 ，则数列na12nanSa105S的前 项和为1n0(A) (B) 0(C) (D)213（7）设 是 所在平面内一点， ，则DABC2ABDC(A) 12(B)(C) 3BAC(D) 2D（8）执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的50tn(A) (B) 6(C) 7(D)8（9）已知函数 的最小正周期为 ，且对 ，有()sin)(0,)2fx4xR成立，则 的一个对称中心坐标是()3ffx(A) (B) (C) (D)2,0(,)3(,0
4、)35(,0)3（10）若 满足约束条件 则 的取值范围为,xy20,41,xyzyx开始结束否是0,2San21,anSt输出输入 tn(A) (B) (C) (D) 2,1,21,21,2（11）某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为(A) 4163(B) 5(C) 2(D) 163（12）已知函数 存在极小值，且对于 的所有可能取值， 的21()lnfxaxbb()fx极小值恒大于 ，则 的最小值为 0(A) (B) (C) (D) 3e2ee1e第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 22
5、 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.（13） 年月日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育2016二孩意愿的调查活动.已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中， 岁以下的30约 人， 岁至 岁的约 人， 岁以上的约 人.为了解不同年龄层的30364060女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为 的样本进行调查，已知从 岁至 岁的女性中抽取的人数为 人，则 .N N（14） 的展开式中， 的系数为 .5(2)xy23xy（15）椭圆 的右顶点为 ，经过原点的直线交椭圆 于
6、两2:1(0)CabACPQ、点，若 ， ，则椭圆 的离心率为 .=PQAC（16）已知 为数列 的前 项和， ， ，若存在唯一的正整数 使得nSna1=a2(1)nnSan不等式 成立，则实数的取值范围为 .220t侧视图31213正视图 14俯视图三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.(17)(本小题满分 12 分)如图，平面四边形 中， ， ，ABCD52AD， ， ，求3CD3010（） ；（） 的面积 .S(18)(本小题满分 12 分)如图，多面体 中，四边形 是边长为 2 的正方形，四边形 为等腰梯ABCDEFABCDEFBD形， ， ，平面 平面 ./12（）证明
7、： 平面 ;/（）若梯形 的面积为 ，求二面角 的余弦值.3F(19)(本小题满分 12 分)第 31 届夏季奥林匹克运动会将于 2016 年 8 月 5 日21 日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.第 30 届伦敦 第 29 届北京 第 28 届雅典 第 27 届悉尼 第 26 届亚特兰 大中国 38 51 32 28 16俄罗斯 24 23 27 32 26（）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可） ；（
8、）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等） ，规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为 ，丙猜中国代表团的概率为 ，三人各自猜哪个代表团的4535结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为 ，求 的分布XADCCBFEDA列及数学期望 .EX中国 俄罗斯12345(20)(本小题满分 12 分)已知抛物线 经过点 ， 在点 处的切线交 轴于点 ，直线 经过2:Cypx(2,)MCxN1l点 且垂直于 轴.N（）求线段 的长；O（）设不经过点 和 的动直线 交 于点 和 ，
9、交 于点 ，若直线N2:lxmybAB1lE、 、 的斜率依次成等差数列，试问： 是否过定点？请说明理由.MAEB2l(21)(本小题满分 12 分)已知函数 .2(=1xfea（）当 时，讨论 的单调性；1f（）设函数 ，讨论 的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给()gx()gx出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有 和 的+区间）.请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.(22)(本小题满分 10 分) 选修 4-1 :几何证明选讲如图，过 外一点 作 的两条切线 ，其中 为切点， 为 的一条O
10、AEAEAB、BCOA直径，连 并延长交 的延长线于 点.CBD（）证明： ；（）若 ,求 的值.3D:C(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在xOyx极坐标系中， ，圆 的方程为），（） ，（ 323BACcos2（）求在平面直角坐标系 中圆 的标准方程；xy（）已知 为圆 上的任意一点，求 面积的最大值.PCAP(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲已知函数 ，记 1)(xf的解集为 .12(xf M（）求 ；M（）已知 ,比较 与 的大小.a2a2016 年安徽省“江南
11、十校”高三联考数学（理科）试题参考答案与评分标准OBAED（1）B【解析】 ， ， 中有 3 个元素，故选 B132Ax0,12ABAB（2）A【解析】由 ，得 ，zii、 ()21iiz i的实部为 ，故选 Az12（3）C【解析】 的定义域为 ，关于原点对称()fx0x当 时， ，=0a1sin，故 为奇函数；1()i()i(sin)(fxxxfx()f反之，当 为奇函数时，1sinfa0ff又 ，故1()i()sin2fxfxxa=所以“ ”是“函数 为奇函数”的充要条件，故选 C=0asif（4）C【解析】 ，不妨设的方程为 ，设12(6,0)(,)F2yx0(,2)Px由 12 00
12、6,2)36Pxx 得 ，故 到 轴的距离为 ，故选 C0x（5）B【解析】所求的空间几何体是以原点为球心，为半径的球位于第一卦限的部分，体积为 ，故选 B31486（6）C【解析】 的前 项和为1na012310aa，故选 C1210()a 2S（7）D【解析】 ，故选322BADCABABD（8）B【解析】第一次运行后 ；第二次运行后 ；第三次1,32nas ,5nas运行后 ；第四次运行后 ；第五次运行后3,910nas 4,7,9ns；第六次运行后 ；此时不满足 ，输出 ，5,3,6nas 6,5,69nas ts6n故选 B（9）A【解析】由 的最小正周期为 ，得 .因为 恒)i()
13、xf 421()3fx成立，所以 ，即 ，由 ，得 ，故max(312()2kZ.令 ，得 ，故 的对称)21sin)(xf ()kZ()3xk()fx中心为 ，当 时， 的对称中心为 ，故选 A(0,Zkk0f 0,2（10）B【解析】作出可行域 ，设直线 ，平移直线，易知当过 与:lyxzxy的交点 时， 取得最大值 ；当与抛物线 相切时 取得最小值4xy(1,3)z221yz由 ，消去 得： ，由 ，得 ，故2zy20x480z，故选 B1z（11）D【解析】由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为 ，两个底面面积之和为 ；半圆柱的1624 32
14、12侧面积为 ，两个底面面积之和为 ，所以几何体的表面积为，故选 D32165（12）A【解析】2()axbafx因为 存在极小值，所以方程 有两个不等的正根()fx20故12+04baa由 得 ， ，分析易得 的极小值点为 ， ()0fx214b224bax()fx1x因为 ，所以2ba1 2(0,)4xba2111()=()lnfxfaxbx极 小 值 21lnaa设 ，则 的极小值恒大于 等价于 恒大于2()l(0)gxx()fx0()gx0因为 ，所以 在 单调递减ag0,a故 ，解得 ，故 ，故选 A3()ln2gxa3e3mine（13） 【解析】由题意可得 ，故206=40+0N
15、20（14） 【解析】 的系数为423xy4)1(3235C（15） 【解析】不妨设点 在第一象限，由对称性可得 ，因为25P2PQaO在 中， ，故 ，易得 ，APQRtOA1cos2A60A13(,)4代入椭圆方程得： ，故 ，所以离心率1632ba225()bac52e（16） 或 【解析】 时， 21ttn11()nnnaS整理得 ，又 ，故na=a不等式 可化为：220nt 220t设 ，由于 ，由题意可得()ft()f，解得 或21()40tf21tt(17) 【解析】 （）在 中，由正弦定理得：BCD， 2 分3sin1si 2BD在 中，由余弦定理得：A22cosBDA4 分2
16、2()3(5)所以 6 分45ADB（）因为 ， ，所以30C120BD30CDB因为 8 分6sinsi(45)4所以 1in2SAD12 分62334（18） 【解析】 （）设 的交点为 ，则 为 的中点，连接CB、OBDOF由 ，得DEFB21,/EF,/所以四边形 为平行四边形，故 3 分O/又 平面 , 平面AA所以 平面 6 分/（）方法一：因为平面 平面 ，交线为 ，EFBDACBDAO所以 平面 ，作 于 ，连AOOM平面 ， ，又=平面 ， ,BF故 为二面角 的平面角. 8 分M取 中点 ，连接 ，因为四边形 为等腰梯形，故EP P因为 1()2FBDSEP、 1(2)3O
17、所以 .由 ，得 OOB210FF因为 12FBSM所以 ，故 10 分05P 23105AOPMO CBFEDA所以 2cos3OMA故二面角 的余弦值为 12 分BFD方法二：取 中点 ，连接 ，因为四边形 为等腰梯形，故 ，又平面EPEFBDOPBD平面 ，交线为 ，故 平面 ，如图，以 为坐标原点，分别CBOPAC以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系 .OAxyz xyz因为 1()2EFBDSOP、 1(2)3OP所以 , OP )2,0(,0(, ， FCBA因此 8 分2(2,0)(,)BF、设平面 的法向量为A,nxyz由 ，得 ，令 ，则0nBF2
18、0yz1(2,1)n因为 ，所以 平面 ，AODAEFBD故平面 的法向量为 10 分(2,0)于是 22cos, 31n由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角 的余弦值为 ABFD2312 分(19) 【解析】 （）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下B yxFC3 分中国 俄罗斯12345682 814 3 7 62 通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散。 6 分（）解： 的可能取值为 ，设事件 分别表示甲、乙、丙猜中国代表团，X0,123ABC、则 24(0)()(
19、)()515PAPBC1 22434319()()5(2)()()()XAB126C3PAPBC243851故 的分布列为X023P21519255614812510 分12 分96480321E(20) 【解析】 （）由抛物线 经过点 ，得2:Cypx(2,)M，故 ， 的方程为 2 分24p1在第一象限的图象对应的函数解析式为 ，则 C2yx12yx故 在点 处的切线斜率为 ，切线的方程为M12()令 得 ，所以点 的坐标为0yxN(,0)故线段 的长为 5 分ON（） 恒过定点 ，理由如下：2l(,0)由题意可知 的方程为 ，因为 与 相交，故12x2l10m由 ，令 ，得 ，故2:lx
20、mybby2(,)bE设 12(,)(,)AB由 消去 得：2xyx20ymb则 ， 7 分12m12直线 的斜率为 ，同理直线 的斜率为MA1211yxyMB2y直线 的斜率为 E4bm因为直线 、 、 的斜率依次成等差数列，所以AB12214by即 10 分12121() 2()4yybm整理得： ， 2bm因为 不经过点 ，所以2lN所以 ，即 b故 的方程为 ，即 恒过定点 12 分2l2xyl(2,0)(21) 【解析】 （）当 时， =1a1xfe易知 在 上单调递增，且 ， 2 分()fxR()因此，当 时， ；当 时，0()0fx()0fx故 在 单调递减，在 单调递增 5 分
21、()fx,(,)（）由条件可得 ， ()2xgea(2xgea（i）当 时， ， 无零点0a()0xge()g（ii）当 时， ， 在 上单调递增R()12,()g若 ，即 时， ， 在 上有一个零点0a1(0)12ga()gx0,1若 ，即 时， ， 有一个零点122若 ，即 时， ， 在 上有一个0a1a21()0age()gx21,0a零点 8 分（iii ）当 时，令 ，得 ；令 ，得()0xln(2)a()ln()所以 在 单调递减，在 单调递增，()gx,ln2a,min)l()若 ，即 时， ， 无零点l(020e()0gx()若 ，即 时， ， 有一个零点ln2)a2a2若 ，
22、即 时， ， ， 在l(02e(1)0ge(ln)0ga()gx有一个零点； 1,n2)a10 分设 ，则 ，设 ，则 ，2(1)xhe()2xhe()2xue()2xue当 时， ，所以 在 单调递增，10xuh1,，所以 在 单调递增， ，即() ()1,)()10时， ，故x2xe2gax设 ，则 ，所以 在 单调递减，ln(1)k0kkx,)，即 时，()0ln因为 时， ，所以 ，2ea2ae(2)a又 ， 在 上有一个零点，故()()0g(gxln(2),a有两个零点x综上，当 时， 在 和 上各有一个零点，共有两个零2ea()gx1,ln(2)al(),2a点；当 时， 有一个零
23、点 ；当 时， 无零点；当 时，220e()gx102a在 上有一个零点；当 时， 有一个零点 ；当 时，()gx1,0a1a()x在 上有一个零点。 12 分(22) 【解析】 （）连接 、 ，因为 、 为圆 的切线，所以 垂直平分ABOEABOEAB又 为圆 的直径，所以 ，所以CCDE/又 为 的中点，故 为 的中点，所以 5 分O（）设 ，则 ，(0)t3t4t在 中，由射影定理可得：RtBD221BAt，在 中，23ttA13ED= 10 分:AEC(23) 【解析】 （）由 ，可得： ，所以cos2cos2xy22故在平面直角坐标系中圆的标准方程为： 5 分1-yx）（）在直角坐标系中 ），（） ，（ 2330BA所以 ，直线 AB 的方程为：)2()3(2AB 3yx所以圆心到直线 AB 的距离 ，又圆 C 的半径为 1，34d所以圆 C 上的点到直线 AB 的最大距离为 1故 面积的最大值为 10 分ABP23132）（S(24) 【解析】 （） 21,0,312)( xxxf由 ，得 或 或1)(xf10x13x1x解得： 20故 5 分M（）由（）知 a因为 aa )1(112232 当 时， ，所以00)(2a2当 时， ，所以1a)1(2a12当 时， ，所以0)(2a2综上所述：当 时， 10a12当 时，1aa2当 时， 10 分
