1、2015-2016 学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=x|x=3n+2，n N，B=6，8，10，12，14，则集合 AB 中元素的个数为（ ）A5 B4 C3 D22设 i 是虚数单位，复数 是纯虚数，则实数 a=（ ）A2 B2 C D3已知 M= ，由图示程序框图输出的 S 为（ ）A1 Bln2 C D04已知等比数列a n的公比为正数，且 a3a9=2a52，a 2=2，则 a1=（ ）A B C D25已知圆 x2+y2+mx =
2、0 与抛物线 y= 的准线相切，则 m 的值等于（ ）A B C D6正方体 ABCDA1B1C1D1 中 E 为棱 BB1 的中点（如图） ，用过点 A，E，C 1 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）A B C D7下列命题正确的个数是（ ）（1）命题“若 m0，则方程 x2+xm=0 有实根”的逆否命题为：“若方程 x2+xm=0 无实根，则 m0”（2）对于命题 p：“xR 使得 x2+x+10”，则p：“xR，均有 x2+x+10”（3） “x=1”是“x 23x+2=0”的充分不必要条件（4）若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题A4 B3 C2 D18对
3、于数列a n，定义数列a n+1an为数列a n的“等差列” ，若 a1=2，a n的“等差列” 的通项公式为 2n，则数列a n的前 2015 项和 S2015=（ ）A2 20161 B2 2016 C2 2016+1 D2 201629已知 x0 是 的一个零点，x 1（ ，x 0） ，x 2（x 0，0） ，则（ ）Af（x 1）0，f（x 2）0 Bf（x 1）0，f（x 2）0 Cf（x 1）0，f（x 2）0 Df（x 1）0，f（x 2）010已知函数 f（x）=cosx（sin x+ cosx） （ 0） ，如果存在实数 x0，使得对任意的实数 x，都有 f（x 0）f（x）
4、f（x 0+2016）成立，则 的最小值为（ ）A B C D11已知 O 是坐标原点，点 A（1，1） ，若点 M（x，y）为平面区域上的一个动点，则 的取值范围是（ ）A2， 0 B 2，0） C0，2 D （0，212正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 ，此时四面体 ABCD 外接球表面积为（ ）A7 B19 C D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13已知向量 =（cos，sin ） ，向量 =（ ，1） ，且 ，则 tan 的值是 14若函数 f（x）=x+alnx 不是单调函数，则实数 a 的取值范围是
5、 15若 的展开式的各项系数绝对值之和为 1024，则展开式中 x 项的系数为 16点 P 为双曲线 右支上第一象限内的一点，其右焦点为F2，若直线 PF2 的斜率为 ，M 为线段 PF2 的中点，且|OF 2|=|F2M|，则该双曲线的离心率为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知ABC 的面积为 S，且 （1）求 tan2A 的值；（2）若 ， ，求ABC 的面积 S18退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在 2080 岁（含 20 岁和 80 岁
6、）之间的 600 人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示若规定年龄分布在为“老年人” （1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的 600 人的平均年龄；（2）将上述人口分布的频率视为该城市在 2080 年龄段的人口分布的概率从该城市2080 年龄段市民中随机抽取 3 人，记抽到“老年人”的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望19在如图所示的空间几何体中，平面 ACD平面 ABC，ACD 与ACB 是边长为 2 的等边三角形，BE=2 ，BE 和平面 ABC 所成的角为 60，且点 E 在平面 ABC 上的射影落在ABC 的平分线上（）求证：DE平面
7、ABC；（）求二面角 EBCA 的余弦值20如图，椭圆 C： + =1（ab0）的右焦点为 F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|= |BF|（）求椭圆 C 的离心率；（）若点 M（ ， ）在椭圆 C 内部，过点 M 的直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点，M为线段 PQ 的中点，且 OPOQ求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程21已知函数 ，其中常数 a0（1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）已知 ，f（x）表示 f（x）的导数，若 x1，x 2（a，a） ，x 1x 2，且满足f（x 1）+f （x 2）=0 ，试比较 f（x 1+x2）与 f（0）的大小，并加以证明请考生在 2
8、2、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-1：几何证明选讲22如图，已知 PA 与圆 O 相切于点 A，经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B，C，APC的平分线分别交 AB，AC 于点 D，E（）证明：ADE=AED；（）若 AC=AP，求 的值选修 4-4：坐标系与参数方程 23在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C1 的极坐标方程为 =4sin，（1）求半圆 C1 的参数方程；（2）设动点 A 在半圆 C1 上，动线段 OA 的中点 M 的轨迹为 C2，点 D 在 C2 上，C 2 在点D
9、处的切线与直线 平行，求点 D 的直角坐标选修 4-5：不等式选讲24已知 m，nR +，f（x）=|x+m|+|2xn|（1）求 f（x）的最小值；（2）若 f（x）的最小值为 2，求 的最小值2015-2016 学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=x|x=3n+2，n N，B=6，8，10，12，14，则集合 AB 中元素的个数为（ ）A5 B4 C3 D2【考点】交集及其运算【分析】根据集合的基本运算进行求解【解答】解：
10、A=x|x=3n +2，n N=2，5，8，11，14， 17，则 AB=8，14，故集合 AB 中元素的个数为 2 个，故选：D2设 i 是虚数单位，复数 是纯虚数，则实数 a=（ ）A2 B2 C D【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数 = = = 是纯虚数， =0， 0，解得 a= 故选：D3已知 M= ，由图示程序框图输出的 S 为（ ）A1 Bln2 C D0【考点】定积分；程序框图【分析】根据积分的定义，分别解出 M 和 N，再判断 M 与 N 的大小，代入程序图进行求解【解答】解：M= dx=ln（x+1）| =ln2，N
11、= cosxdx=sinx| =1，ln21MN，由程序图可知求两个数的最大值，输出的是最小的一个数，S=ln2，故选：B4已知等比数列a n的公比为正数，且 a3a9=2a52，a 2=2，则 a1=（ ）A B C D2【考点】等比数列的通项公式【分析】设公比为 q0，由题意可得 =2 ，a 1q=2，由此求得 a1 的值【解答】解：设公比为 q0，由题意可得 =2 ，a 1q=2，解得 a1= =q，故选 C5已知圆 x2+y2+mx =0 与抛物线 y= 的准线相切，则 m 的值等于（ ）A B C D【考点】直线与圆的位置关系【分析】由抛物线的方程找出 P，写出抛物线的准线方程，因为
12、准线方程与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于 m 的方程，求出方程的解即可得到 m 的值【解答】解：由抛物线的方程得到 p=2，所以抛物线的准线为 y= =1，将圆化为标准方程得： +y2= ，圆心坐标为（ ，0） ，圆的半径r= ，圆心到直线的距离 d= =1=r= ，化简得：m 2=3，解得 m= 故选 D6正方体 ABCDA1B1C1D1 中 E 为棱 BB1 的中点（如图） ，用过点 A，E，C 1 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）A B C D【考点】简单空间图形的三视图【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图
13、【解答】解：过点 A，E，C 1 的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为 C故选：C7下列命题正确的个数是（ ）（1）命题“若 m0，则方程 x2+xm=0 有实根”的逆否命题为：“若方程 x2+xm=0 无实根，则 m0”（2）对于命题 p：“xR 使得 x2+x+10”，则p：“xR，均有 x2+x+10”（3） “x=1”是“x 23x+2=0”的充分不必要条件（4）若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题A4 B3 C2 D1【考点】命题的真假判断与应用【分析】直接写出命题的逆否命题判断（1） ；写出命题的否定判断（2） ；求出方程的解后利用充分必
14、要条件的判定方法判断 C；由复合命题的真假判断判断 D【解答】解：对于（1） ，命题“若 m0，则方程 x2+xm=0 有实根” 的逆否命题为：“若方程x2+xm=0 无实根，则 m0”，故（1）正确；对于（2） ，命题 p：“xR 使得 x2+x+10”，则p：“xR，均有 x2+x+10”，故（2）正确；对于（3） ，由 x23x+2=0，解得 x=1 或 x=2，“x=1 ”是“x 23x+2=0”的充分不必要条件，故（3）正确；对于（4） ，若 pq 为假命题，则 p，q 中至少一个为假命题，故（4）错误正确命题的个数有 3 个故选：B8对于数列a n，定义数列a n+1an为数列a
15、n的“等差列” ，若 a1=2，a n的“等差列” 的通项公式为 2n，则数列a n的前 2015 项和 S2015=（ ）A2 20161 B2 2016 C2 2016+1 D2 20162【考点】数列的求和【分析】利用“累加求和” 及其等比数列的前 n 项和公式可得 an，再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出【解答】解：a 1=2，a n的“等差列”的通项公式为 2n，a n=（a nan1）+（a n1an2）+（a 2a1）+a 1=2n1+2n2+2+2= +1=2n数列a n的前 2015 项和 S2015=2+22+22015= =220162故选：D9已知 x0 是 的一
16、个零点，x 1（ ，x 0） ，x 2（x 0，0） ，则（ ）Af（x 1）0，f（x 2）0 Bf（x 1）0，f（x 2）0 Cf（x 1）0，f（x 2）0 Df（x 1）0，f（x 2）0【考点】函数零点的判定定理【分析】已知 x0 是 的一个零点，可令 h（x）= ，g（x）= ，画出h（x）与 g（x）的图象，判断 h（x）与 g（x）的大小，从而进行求解；【解答】解：已知 x0 是 的一个零点，x 1（ ，x 0） ，x 2（x 0，0） ，可令 h（x）= ，g（x）= ，如下图：当 0xx 0，时 g（x）h（x） ，h（x）g（x）= 0；当 xx 0 时，g（x）h（x） ，h（x）g（x）= 0；x 1（，x 0） ，x 2（x 0，0） ，f（x 1）0，f（x 2）0，故选 C；
